Ejercicios: Métodos de resolución

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción:

$3x - 2y = 7$

$5x + 4y = 8$

Halla el valor de las incógnitas $x$, $y$, $z$ en el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada:

$2x - y + 3z = 14$

$3y - z = 5$

$2z = 8$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales empleando el método de sustitución:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 10$

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones que involucra expresiones con radicales:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$

$x - y = 5$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales expresando ambos miembros de cada ecuación como potencias de la misma base:

$2^{x+y} = 32$

$3^{x-y} = 9$

Aplica la definición de logaritmo para plantear un sistema lineal equivalente y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\log_2(x + y) = 3$

$x - 2y = 2$

Un agricultor ha recolectado $500$ kg de fruta entre manzanas y peras. Sabiendo que el triple de los kilos de manzanas equivale exactamente al doble de los kilos de peras, plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántos kilos de cada fruta ha recolectado.

Aplica el método de Gauss para transformar y resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

$x + y + z = 6$

$x - y + 2z = 5$

$x + y - z = 0$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss e indica si es un sistema compatible determinado:

$2x - y + 3z = 1$

$x + 2y - z = 4$

$4x - y + z = 2$

Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales, en el que ambas ecuaciones son de segundo grado:

$x^2 + y^2 - 4x = 5$

$x^2 - y^2 - 4x = -3$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales efectuando los cambios de variable $u = 3^x$ y $v = 2^y$:

$3^x + 2^{y+1} = 17$

$3^{x-1} - 2^y = 1$

Halla el valor de $x$ e $y$ en el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresiones:

$\log(x) + \log(y) = 2$

$\log(x^2) - \log(y) = 1$

En un laboratorio químico se desea obtener $100$ litros de una disolución de ácido al $30\%$. Para ello se van a mezclar dos disoluciones disponibles en el almacén: una al $20\%$ de concentración y otra al $45\%$. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos litros de cada disolución se deben emplear.

El perímetro de una parcela rectangular mide $140$ m y la longitud de su diagonal es de $50$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales que describa la situación y resuélvelo para determinar las dimensiones de la parcela.

Una empresa tecnológica ensambla tres tipos de drones: A, B y C. En total fabrican $60$ drones al mes. El número de drones del tipo A es el doble que los del tipo C, y la suma de los drones tipo B y C supera en $10$ a los del tipo A. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo mediante el método de Gauss.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones que contiene fracciones algebraicas, indicando claramente las restricciones previas sobre las incógnitas:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$

$\frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$:

$x + 2y = 5$

$3x + ky = 15$

Halla el valor de $k$ para el cual el sistema tiene infinitas soluciones y expresa la solución general en función de un parámetro real $\lambda$.

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss. Comprueba que se trata de un sistema compatible indeterminado y expresa su conjunto de soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$x - 2y + z = 3$

$2x + y - 3z = 1$

$4x - 3y - z = 7$

Analiza el siguiente sistema de ecuaciones lineales y demuestra, utilizando las transformaciones del método de Gauss, que es un sistema incompatible:

$x + y + z = 4$

$2x - y + 3z = 5$

$3x + 4z = 10$

Resuelve el siguiente sistema mixto que combina una ecuación exponencial y una ecuación logarítmica:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$

Un inversor reparte un capital total de $50000$ € entre tres fondos de inversión: renta variable, renta fija y bonos del Estado. El fondo de renta variable ofrece un $8\%$ de rentabilidad anual, el de renta fija un $5\%$ y los bonos un $3\%$. El inversor decide destinar a renta fija el doble de capital que a bonos del Estado. Si al cabo de un año los beneficios totales generados ascienden a $2900$ €, ¿cuánto dinero invirtió en cada fondo? Plantea el sistema correspondiente y resuélvelo por el método de Gauss.

Dos ciclistas parten simultáneamente desde dos ciudades A y B, separadas por una distancia de $120$ km, y circulan en sentidos opuestos para encontrarse. El ciclista que parte de A viaja a una velocidad constante que supera en $5$ km/h a la del ciclista que parte de B. Sabiendo que se cruzan exactamente al cabo de $3$ horas, plantea un sistema de ecuaciones para hallar la velocidad de cada uno y la distancia que ha recorrido cada ciclista hasta el punto de encuentro.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales simétrico. Para facilitar la resolución, utiliza el cambio de variables $S = x + y$ y $P = x \cdot y$:

$x^2 + y^2 = 34$

$x \cdot y = 15$

Determina analíticamente los puntos de intersección entre la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 25$ y la hipérbola equilátera de ecuación $x \cdot y = 12$. Plantea el sistema no lineal asociado, resuélvelo detallando los pasos y explica cuántas soluciones reales existen.