Ejercicios: Distancias en el plano

Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.

Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.

Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.

Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.

Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.

Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.

Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.

Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.

Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en kilómetros. Calcula el área exacta del terreno evaluando primero la longitud de la base $AB$ y luego la altura correspondiente desde el vértice $C$.

Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma distancia del pueblo $P(-2, 3)$ y del pueblo $Q(4, 1)$. ¿En qué coordenadas exactas debe situarse la antena?

Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma dirección. Calcula la distancia mínima que separa ambas trayectorias.

En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor sobre la tubería que diste exactamente $5$ unidades del centro de la plaza. Halla las coordenadas de las dos posibles ubicaciones del aspersor.

Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos cortes paralelos de seguridad a una distancia exacta de $10$ mm a cada lado del corte principal. Halla las ecuaciones generales de las rectas de los cortes de seguridad.

Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de emergencia. Determina en qué punto exacto de su trayectoria el vehículo estará a la mínima distancia de la base y calcula dicha distancia.

Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en metros. Calcula el perímetro exacto del panel.

Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las coordenadas $S(2, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cometa del satélite.

Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.

Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril bici que equidiste de ambas avenidas en todo momento. Halla las ecuaciones de las dos posibles trayectorias del carril bici (las bisectrices) y demuestra analíticamente que son perpendiculares.

Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo es de $12$ u$^2$. Calcula la longitud exacta de la base y de los dos lados iguales.

Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$, y su distancia al origen de coordenadas es exactamente $5$ unidades.

Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta $d: x - y + 1 = 0$.

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto fijo $Q(0, 2)$. Simplifica la ecuación resultante.

Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.

Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 4 = 0$. Si el área del rombo es de $20$ u$^2$, halla las coordenadas de los tres vértices restantes.