Ejercicios: La recta real

Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.

Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.

Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.

Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.

Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4,5$ y $B = 2,3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.

Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$:

$-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.

Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.

Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.

En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0,5^{\circ}\text{C}$. Expresa esta condición de tolerancia mediante una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de temperaturas permitidas.

Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0,02$. Escribe el intervalo de diámetros que son aceptados por el control de calidad.

Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.

Dados los conjuntos $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ y $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ y expresa el resultado como un único intervalo numérico.

Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.

El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112,5 , 127,5]$, expresa este rango utilizando la notación de entorno $E(a, r)$ y mediante una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.

Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.

En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple $|d| < 2,5\text{ cm}$. Si la diana está situada de modo que su centro es el origen de coordenadas de un eje unidimensional, indica el intervalo de posiciones "excelentes".

Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de longitud exactamente igual a $5$.

Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.

En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por qué la construcción mostrada determina exactamente el valor de $\phi$ en la recta real.

Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.

Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.

Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.

En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté enfocada: la distancia a la fuente de luz $A$ (situada en $x=10$) debe ser mayor de $5\text{ cm}$, y la distancia a la pantalla $B$ (situada en $x=30$) debe ser menor de $12\text{ cm}$. Expresa estas condiciones mediante un sistema de inecuaciones con valor absoluto y determina el intervalo válido para la posición $x$.

La medida del radio de una esfera es $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el intervalo estricto en el que se encuentra el volumen exacto de la esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sin aproximar en los extremos del intervalo resultante.