Ejercicios: Valor absoluto de un número real

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.

Resuelve la ecuación con valor absoluto: $|3x| = 12$.

Expresa la desigualdad $|x| \le 5$ en forma de intervalo.

Escribe el intervalo $(-8, 8)$ utilizando la notación de valor absoluto.

Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.

Resuelve la ecuación $|x - 4| = 3$.

Expresa la desigualdad $|x + 2| > 4$ como una unión de intervalos.

Determina qué valores reales de $x$ cumplen la ecuación $|x| = -5$ y justifica tu respuesta.

Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud difiera de la ideal en más de $1,2 \text{ mm}$. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de longitudes válidas.

Resuelve la inecuación $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ y representa la solución en forma de intervalo.

Expresa el intervalo cerrado $[3, 11]$ mediante una inecuación de la forma $|x - c| \le r$, determinando el valor del centro $c$ y del radio $r$.

Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología debe mantenerse a una temperatura exacta de $37^\circ\text{C}$. El experimento se arruina si la temperatura oscila en $2,5^\circ\text{C}$ o más. Escribe la condición de fracaso del experimento usando valor absoluto y resuélvela para hallar los intervalos de temperatura críticos.

Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.

El precio de una acción en bolsa es hoy de $60$ euros. Un modelo financiero predice que el precio $p$ de la próxima semana cumplirá la relación $|p - 60| \le 4,8$. ¿Cuáles son los precios máximo y mínimo que contempla la predicción?

Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.

Halla todos los números reales $x$ tales que su distancia al punto $7$ es exactamente el doble de su distancia al punto $-2$.

Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto: $|x^2 - 2x| < 3$.

El sistema de navegación de un submarino requiere que su profundidad ideal $h$ (en metros, donde $h > 0$) se mantenga en el rango $|h - 250| \le 30$. Sin embargo, las fuertes corrientes marinas introducen una perturbación, de modo que la profundidad real $h_r$ del submarino cumple $|h_r - h| \le 12$. Calcula el intervalo absoluto de profundidades reales entre las que puede moverse el submarino en el peor de los casos.

Discute el número de soluciones de la ecuación $|x - 4| + |x + 1| = k$ en función de los valores del parámetro real $k$.

Resuelve la siguiente ecuación que contiene valores absolutos anidados: $||x - 2| - 5| = 3$.

Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad $|a - b| \ge ||a| - |b||$.

La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y los tramos constantes en la figura, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$, y escribe la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos sin usar valores absolutos.

Resuelve la inecuación fraccionaria $\frac{3}{|x - 1|} \ge 2$.

En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo que $|y - 15| \le 1,5$ y $|t - 15| \le 2,5$, determina una cota superior para el error máximo posible $E$ utilizando las propiedades del valor absoluto, y encuentra el intervalo de valores posibles para la diferencia $y - t$.