Ejercicios: Signo de la función. Puntos de corte y asíntotas de la función racional

Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la función $f(x) = \frac{2x-6}{x+4}$.

Determina los intervalos en los que la función $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ toma valores estrictamente positivos.

Halla las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal de la función racional $f(x) = \frac{5x+1}{2x-4}$.

Calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-1}$.

Encuentra el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función $f(x) = \frac{x+7}{x^2-9}$.

Observa la siguiente gráfica de una función racional y determina, a partir de ella, las ecuaciones de sus asíntotas y las coordenadas de sus puntos de corte con los ejes.

Dada la función $f(x) = \frac{3x^2-2}{x^2+1}$, determina la ecuación de su asíntota horizontal evaluando los límites pertinentes cuando $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$.

Estudia analíticamente el signo de la función $f(x) = \frac{-2x}{x^2-4}$ en todo su dominio.

La población de una especie de alga en un estanque, medida en miles de individuos, evoluciona según la función $P(t) = \frac{120t+50}{2t+5}$, donde $t \geq 0$ es el tiempo transcurrido en días. Calcula la población inicial, el instante en que la población alcanza los $40$ mil individuos y el límite de la población a muy largo plazo (asíntota horizontal).

La concentración de un gas contaminante en una cámara de pruebas viene dada por la expresión $C(t) = \frac{5t}{t^2+4}$ partes por millón (ppm), con $t \geq 0$ medido en horas. Determina en qué instantes la concentración es nula, estudia el signo de $C(t)$ para interpretar su significado físico, y halla la asíntota horizontal indicando qué ocurre a largo plazo.

El coste total de producción de $x$ cientos de piezas de un componente electrónico es $C(x) = 3x^2+5x+12$ cientos de euros. Si la función de coste medio por cien piezas se define como $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$, halla la asíntota oblicua de $C_m(x)$ y explica su significado económico para valores muy grandes de producción.

Determina los valores numéricos de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la función $f(x) = \frac{ax+3}{bx-2}$ posee una asíntota vertical en la recta $x = 1$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 4$.

Calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \frac{2x^2+1}{x-1}$ y estudia analíticamente la posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

La cantidad de un medicamento presente en el torrente sanguíneo, en miligramos, tras $t$ horas de su administración oral se modeliza mediante la función $M(t) = \frac{50t^2}{t^3+8}$. Estudia los puntos de corte con los ejes, el signo de la función para $t \geq 0$ y su comportamiento asintótico.

A partir de la gráfica de la función racional $f(x)$ que se muestra a continuación, deduce su expresión analítica sabiendo que es de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Halla las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$. Presta especial atención a las posibles discontinuidades evitables al simplificar la expresión.

Encuentra los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$ posea una asíntota oblicua de ecuación $y = 3x - 1$ y cruce el eje de abscisas exactamente en el punto $x = 1$.

La deflexión de una viga apoyada, sometida a una carga variable, se puede aproximar mediante la función $D(x) = \frac{x^3-4x^2+3x}{x^2+1}$, donde $x$ es la distancia en metros medida desde el extremo izquierdo del apoyo. Determina los puntos donde la deflexión es nula, estudia el signo de $D(x)$ en el intervalo $x \in [0, 4]$ y calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la función.

Discute, en función de los valores del parámetro real $k$, el número y tipo de asíntotas verticales que presenta la función $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-k}$. Determina también para qué valor exacto de $k$ la función presenta una discontinuidad evitable.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^3+kx^2+x-1}{x^2-1}$, halla el valor del parámetro $k$ para que la curva representativa de la función cruce a su propia asíntota oblicua en el punto de abscisa $x = 2$.

La eficiencia de un ciclo térmico modificado, en función de una relación de compresión $v > 1$, viene dada por el modelo $E(v) = \frac{v^2-3v+2}{v^2+v}$. Analiza el signo de la eficiencia para determinar en qué rango de $v$ el ciclo produce trabajo útil (es decir, cuando $E(v) > 0$) y halla la eficiencia límite teórica cuando $v \to +\infty$.

La siguiente gráfica muestra una función racional que posee una asíntota oblicua y una asíntota vertical. Sabiendo que la función es de la forma $f(x) = \frac{x^2+ax+b}{x+c}$, analiza sus elementos visuales (asíntotas y cortes) para determinar el valor de los coeficientes $a$, $b$ y $c$.

Estudia de forma completa las asíntotas y la posición relativa de la curva respecto a ellas para la función $f(x) = \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{x^2-2x+1}$. Ten en cuenta las posibles raíces múltiples que puedan aparecer en el denominador durante el cálculo de límites.

Un modelo demográfico establece que la tasa de crecimiento de una población, medida en porcentaje anual, viene dada por la función $T(x) = \frac{x^2-8x+15}{x^2+4}$, donde $x \geq 0$ es el tiempo transcurrido en décadas. Estudia el signo de $T(x)$ para determinar los periodos históricos de crecimiento y decrecimiento poblacional, y calcula la asíntota horizontal para interpretar la tendencia límite de la tasa a muy largo plazo.