Ejercicios: Inecuaciones de segundo grado

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:

$-x^2 + 4x + 5 > 0$

Resuelve la inecuación incompleta:

$2x^2 - 8x \le 0$

Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad:

$3x^2 - 27 < 0$

Halla el conjunto solución de la inecuación:

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta:

$x^2 - 2x + 5 > 0$

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita:

$x^2 - 4 \le 0$

$x^2 - x \ge 0$

Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:

$4x^2 - 12x + 9 > 0$

La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Plantea y resuelve la inecuación correspondiente para determinar durante qué intervalo de tiempo el proyectil se encuentra a una altura estrictamente superior a $17$ metros.

El beneficio diario de una empresa, expresado en cientos de euros, al fabricar $x$ unidades de un producto se modeliza mediante la función cuadrática $B(x) = -0,5x^2 + 40x - 350$. ¿Cuántas unidades debe fabricar diariamente para no tener pérdidas? Expresa el resultado en forma de intervalo.

Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, ¿para qué valores de $x$ el área cercada será de al menos $150 \text{ m}^2$? Ten en cuenta que las dimensiones del huerto deben ser positivas.

Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo:

$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$

A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.

Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real:

$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$

El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más $10$ metros, plantea la inecuación correspondiente y deduce qué valores puede tomar el ancho de la pista.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo:

$x^2 - 3x - 10 < 0$

$2x + 5 \ge 1$

Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.

La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que se detectó la invasión. Las autoridades deciden intervenir cuando la población supera los $14.000$ individuos. Sin embargo, el tratamiento ecológico solo es efectivo si se puede aplicar durante al menos $3$ meses consecutivos en los que la población se mantenga por encima de ese umbral. Plantea la inecuación y determina si será posible aplicar el tratamiento con éxito según este modelo.

Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas resultantes hacia arriba. Si por requisitos de diseño se necesita que el área de la base de la bandeja sea de al menos $200 \text{ cm}^2$, plantea y resuelve la inecuación correspondiente para hallar el intervalo de posibles valores de $x$.

Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos:

$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$

El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros) del cable respecto a la calzada a una distancia horizontal $x$ (en metros) del centro viene dada por la función $y = 0,005x^2 + 2$. Por razones de seguridad aeronáutica, se deben instalar luces de gálibo en los tramos del cable cuya altura respecto a la calzada esté comprendida entre $10 \text{ m}$ y $22 \text{ m}$. Plantea el sistema de inecuaciones y calcula en qué intervalos de distancia horizontal desde el centro se instalarán estas luces.

Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado:

$|x^2 - 4x| \le 5$

Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores:

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$

Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$. Basándote en la gráfica adjunta que representa ambas funciones y el área comprendida entre ellas, comprueba la coherencia de tu resultado.