Ejercicios: Paridad de una función

Determina analíticamente si la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ es par, impar o ninguna de las dos.

Estudia la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.

Observa la siguiente gráfica y clasifica la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando tu respuesta a partir de los puntos destacados.

Sabiendo que el coste de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que $C(4) = 150$ euros, ¿cuál será el valor de $C(-4)$?

La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es $p(3) = -12$ m, ¿cuál era su posición en el instante $t=-3$ s?

Comprueba matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.

Completa los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$

Determina analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.

El perfil de un arco arquitectónico se modeliza mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en metros. Demuestra analíticamente si este perfil es simétrico respecto al eje central vertical (función par).

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función de beneficios de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica respecto a $x=0$.

La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modeliza con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la distancia. Determina el valor que debe tener obligatoriamente el parámetro $b$ para que se cumpla dicha simetría.

Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestra analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.

La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describe cómo sería la mitad izquierda y qué valor tomará $f(-x)$ en función de $f(x)$.

Estudia la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.

Determina analíticamente si la función $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ es par, impar o ninguna de las dos.

Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analiza y demuestra la paridad de esta función.

Demuestra que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las expresiones $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

Sabiendo que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ y una función impar $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$, descompón la función exponencial $f(x) = e^x$ en la suma de una función par y una función impar.

Estudia la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelizar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.

Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determina y demuestra rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.

Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por los puntos $(2, \frac{10}{3})$ y $(3, \frac{15}{4})$, y tiene una asíntota vertical en $x=1$ (para $x>0$), calcula los valores exactos de los parámetros $a, b$ y $c$.

Analiza la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias a dos focos emisores de calor en un plano unidimensional.

Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determina la expresión analítica completa de $f(x)$.

La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestra matemáticamente que su función derivada $f'(x)$ debe ser obligatoriamente una función par.