Ejercicios: Tabla y gráfica de una función

Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$:

1. a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
2. b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.

Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$:

1. a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla.
2. b) Dibuja la gráfica de la función e identifica las coordenadas de su vértice.

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos:

A partir de la gráfica, determina:

1. a) El dominio y el recorrido de la función.
2. b) El valor de $f(-2)$ y $f(1)$.

Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:

1. a) Determina analíticamente su dominio.
2. b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para esbozar la gráfica.

Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.

Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$:

1. a) Evalúa la función en los puntos $x = 0; 2; 2,5; 3; 5$ y construye una tabla de valores.
2. b) Representa gráficamente la función.

Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A continuación, obtén su expresión analítica $y = f(x)$.

El coste $C(t)$ en euros de dejar un coche en un parking viene dado por la función $C(t) = 2 + 1,5t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Haz una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Representa gráficamente la función en ese intervalo.

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos.

1. a) ¿Cuál es la temperatura inicial del horno?
2. b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
3. c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el horno alcance los $200^\circ\text{C}$?

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. a) Construye una tabla de valores evaluando la función en $x = -2; 0; 0,99; 1; 2; 3$.
2. b) Representa gráficamente la función e indica si es continua en $x = 1$.

Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

1. a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes.
2. b) Crea una tabla de valores tomando dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.
3. c) Representa gráficamente la parábola.

El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve.

A partir de la gráfica:

1. a) Indica la temperatura inicial del café.
2. b) ¿Hacia qué valor tiende la temperatura a medida que transcurre mucho tiempo? ¿Qué significado físico tiene la asíntota horizontal?
3. c) ¿La función es creciente o decreciente? Justifica tu respuesta.

Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:

1. a) Determina su dominio.
2. b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la izquierda y por la derecha ($x = 1,9; 1,99; 2,1; 2,01$).
3. c) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué elemento gráfico presenta la función en $x = 2$?

En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Construye una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Representa gráficamente la función. ¿Qué tipo de crecimiento se observa?

Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.

1. a) Calcula analíticamente su dominio de definición.
2. b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
3. c) Representa gráficamente la función e indica cuál es su recorrido.

Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:

1. a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto.
2. b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.
3. c) Construye una tabla de valores en el intervalo $[-3, 3]$ y dibuja su gráfica.

El beneficio mensual $B(x)$, en euros, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modeliza mediante la función $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.

1. a) Encuentra los puntos de equilibrio (producción para la cual el beneficio es cero).
2. b) Genera una tabla de valores estratégica que incluya los puntos de equilibrio y el vértice.
3. c) ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar el beneficio y de cuánto es dicho beneficio máximo?

Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$.

1. a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a, b$ y $c$.
2. b) Con la expresión analítica obtenida, calcula el vértice y construye una tabla de valores para representar la parábola.

Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

1. a) Halla el valor de $k$ para que las dos ramas de la función "conecten" en el punto $x = 2$ (es decir, para que la función sea continua).
2. b) Con el valor de $k$ hallado, construye una tabla de valores en el intervalo $[0, 4]$ y esboza la gráfica de la función.

La masa $M(t)$ en gramos de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$ es la masa inicial y $T$ es el periodo de semidesintegración.

Sabiendo que en el instante $t=0$ había $200\text{ g}$ de sustancia y que tras $60\text{ días}$ quedan $50\text{ g}$:

1. a) Calcula el valor de los parámetros $M_0$ y $T$.
2. b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ y esboza la gráfica.

Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:

A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos de corte):

1. a) Determina el dominio y el recorrido de la función.
2. b) Deduce la expresión analítica de la función $f(x)$.

Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:

1. a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical.
2. b) Construye una tabla de valores eligiendo valores estratégicos de $x$ que den como resultado potencias exactas de base 2 para el argumento del logaritmo.
3. c) Representa la gráfica de la función.

Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres lados.

1. a) Expresa el área $A(x)$ del corral en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
2. b) Determina el dominio de validez de la función $A(x)$ en el contexto del problema.
3. c) Construye una tabla de valores y utilízala para esbozar la gráfica y encontrar las dimensiones que maximizan el área.

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$.

1. a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$, construye una tabla de valores para su función inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la función inversa aprovechando la simetría respecto a la recta $y=x$.
3. c) Escribe la expresión analítica de $f^{-1}(x)$.