Ejercicios: Coeficiente de correlación lineal

En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, se ha calculado que la covarianza entre la radiación solar recibida ($X$) y la energía generada ($Y$) es $\sigma_{xy} = 15,2$. Sabiendo que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 4,0$ y $\sigma_y = 3,9$, calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson e interpreta el resultado.

Considera las siguientes parejas de variables estadísticas. Indica, razonadamente, si el coeficiente de correlación lineal entre ellas será positivo, negativo o cercano a cero:

1. a) El número de horas de entrenamiento semanal de un atleta y su tiempo en recorrer 100 metros lisos.
2. b) La cantidad de lluvia caída en un mes y las ventas de paraguas en ese mismo mes.
3. c) El último dígito del DNI de una persona y su altura en centímetros.

El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad ($X$, en miles de euros) y los ingresos por ventas ($Y$, en miles de euros) de una empresa es $r = 0,88$. Si las desviaciones típicas marginales son $\sigma_x = 2,5$ y $\sigma_y = 12,4$, determina el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$.

Observa los tres diagramas de dispersión etiquetados como A, B y C. Asocia cada uno de ellos con el valor del coeficiente de correlación lineal que mejor lo describa, eligiendo entre los siguientes valores: $r = -0,92$, $r = 0,05$ y $r = 0,95$.

En una distribución bidimensional, se sabe que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,25$ y la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $m_{xy} = 0,65$. Sabiendo que la dependencia entre las variables es directa, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.

Se ha medido el tiempo de reacción ($X$, en segundos) y el número de errores cometidos ($Y$) en una prueba de coordinación psicomotriz para 3 individuos, obteniendo los siguientes pares de valores: $(1, 2)$, $(2, 4)$ y $(3, 5)$. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para este pequeño conjunto de datos.

El coeficiente de determinación de un modelo matemático que relaciona la edad de un vehículo comercial ($X$, en años) con su valor de mercado ($Y$, en euros) es $R^2 = 0,7225$. Sabiendo que a mayor edad el valor del vehículo disminuye, ¿cuál es el valor exacto del coeficiente de correlación lineal $r$?

Clasifica la fuerza (fuerte, moderada o débil/nula) y el sentido (positiva o negativa) de la correlación lineal para cada uno de los siguientes coeficientes obtenidos en distintos estudios estadísticos:

1. a) $r = 0,98$
2. b) $r = -0,12$
3. c) $r = -0,85$
4. d) $r = 0,55$

Una empresa de logística quiere estudiar la relación entre el peso de los envíos ($X$, en kg) y el coste del transporte ($Y$, en euros). Para ello, selecciona una muestra de 5 envíos, obteniendo los siguientes datos:

• Peso ($X$): 2, 4, 5, 8, 11

• Coste ($Y$): 12, 15, 18, 25, 30

Calcula las medias, las desviaciones típicas marginales, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. Según el resultado, ¿es el peso un buen predictor lineal del coste del transporte?

En un estudio de agronomía, se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal entre la temperatura media mensual en grados Celsius ($C$) y la producción de un cultivo en toneladas ($P$) es $r = 0,82$. Si decidimos expresar la temperatura en grados Fahrenheit utilizando la fórmula $F = 1,8C + 32$ y la producción en kilogramos mediante $K = 1000P$, ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación entre $F$ y $K$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades matemáticas de este coeficiente.

Los datos de un ensayo clínico sobre la dosis de un medicamento ($X$, en mg) y el tiempo de recuperación ($Y$, en días) para $N=10$ pacientes se resumen en los siguientes sumatorios:

$\sum x_i = 120$, $\sum y_i = 80$, $\sum x_i^2 = 1540$, $\sum y_i^2 = 680$, $\sum x_i y_i = 910$.

Calcula el coeficiente de correlación lineal e interpreta el resultado en el contexto del problema médico.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para un grupo de estudiantes.

Analiza visualmente la nube de puntos y responde de forma justificada:

1. a) Si no tuviéramos en cuenta el punto anómalo (outlier) situado en la parte inferior derecha, ¿cómo sería el coeficiente de correlación lineal?
2. b) ¿Qué efecto produce la inclusión de este punto anómalo sobre el valor del coeficiente de correlación de Pearson respecto al caso anterior?

En una investigación de mercado, se han obtenido las dos rectas de regresión lineal que relacionan el precio de un producto ($X$) y su demanda mensual ($Y$). Las ecuaciones de dichas rectas son:

Recta 1: $y = -1,5x + 120$

Recta 2: $x = -0,6y + 75$

Calcula el coeficiente de correlación lineal e indica el grado de relación entre el precio y la demanda.

En una distribución estadística bidimensional, se conoce que la varianza de la primera variable es $\sigma_x^2 = 25$, la covarianza conjunta es $\sigma_{xy} = 18$ y el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,6$. A partir de estos datos, determina el valor exacto de la varianza de la segunda variable, $\sigma_y^2$.

Un entrenador de baloncesto analiza los minutos jugados ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por 6 de sus jugadores en un partido, obteniendo los siguientes pares de datos: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calcula el coeficiente de determinación $R^2$ y explica qué porcentaje de la variabilidad de los puntos anotados queda explicada linealmente por los minutos jugados.

Dadas las rectas de regresión $y = 0,8x + 2,5$ y $x = 1,1y - 1,2$, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$. A continuación, sabiendo que la media de la variable $X$ es $\bar{x} = 5$, determina la media de la variable $Y$.

Se está estudiando la relación entre dos variables $X$ e $Y$ a partir de tres observaciones experimentales: $(0, 2)$, $(3, 8)$ y $(5, k)$. Sabemos de antemano que existe una dependencia funcional lineal perfecta y positiva entre ambas variables, es decir, el coeficiente de correlación es $r = 1$. Sin necesidad de calcular las desviaciones típicas, determina el valor del parámetro $k$.

Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ donde la variable $Y$ se obtiene a partir de la variable $X$ mediante la transformación afín $Y = -4X + 7$. Demuestra analíticamente, utilizando las definiciones algebraicas de la covarianza y la desviación típica, que el coeficiente de correlación lineal entre $X$ e $Y$ es exactamente $-1$.

Dadas dos variables estadísticas $X$ e $Y$, se definen sus correspondientes variables tipificadas como $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Demuestra paso a paso que la covarianza entre las variables tipificadas, $\sigma_{z_x z_y}$, es exactamente igual al coeficiente de correlación lineal $r_{xy}$ de las variables originales.

En un estudio de ingeniería sobre la resistencia de ciertos materiales poliméricos, se han obtenido dos rectas de regresión cuyas ecuaciones implícitas son $3x - 2y - 8 = 0$ y $x - 2y + 4 = 0$.

1. a) Identifica razonadamente cuál es la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y cuál es la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ entre ambas variables.

El siguiente diagrama de dispersión representa la relación entre la temperatura de un reactor químico ($X$, centrada en 0) y el rendimiento de la reacción ($Y$). Los puntos registrados son $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 4)$.

1. a) Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para estos datos.
2. b) A la vista del resultado matemático y del gráfico adjunto, explica detenidamente por qué el coeficiente de correlación toma ese valor a pesar de que existe una dependencia funcional exacta ($y = x^2$) entre las variables.

Las variables aleatorias $X$ e $Y$ tienen varianzas $\sigma_x^2 = 16$ y $\sigma_y^2 = 25$, y su coeficiente de correlación lineal es $r_{xy} = 0,4$. Se define una nueva variable sintética $W = X + kY$, donde $k$ es una constante real. Determina el valor exacto de $k$ para que las variables $X$ y $W$ estén incorrelacionadas (es decir, $r_{xw} = 0$).

Nota: Puedes utilizar la propiedad de linealidad de la covarianza: $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.

En un experimento de termodinámica, se mide la presión ($P$) de un gas a diferentes volúmenes ($V$) manteniendo la temperatura constante. La teoría física predice una relación del tipo $P = \frac{k}{V}$. Para linealizar el modelo y aplicar regresión lineal, se define una nueva variable auxiliar $X = \frac{1}{V}$. Se han obtenido los siguientes pares experimentales $(V, P)$: $(2; 12,1)$, $(4; 5,9)$, $(5; 4,8)$, $(8; 3,0)$.

Calcula el coeficiente de correlación lineal entre $X$ y $P$. ¿Confirma el resultado obtenido la teoría física subyacente?

La varianza residual (o error cuadrático medio) de la regresión de $Y$ sobre $X$ proporciona una medida de la dispersión de los puntos en torno a la recta de ajuste, y se puede calcular mediante la expresión $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. En un estudio socioeconómico, se sabe que la varianza de la variable dependiente $Y$ es $36$ y que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ deja una varianza residual de $6,25$. Si se conoce que la pendiente de dicha recta de regresión es negativa, halla el coeficiente de correlación lineal $r$ e interpreta estadísticamente su significado.