Ejercicios: Ecuación de segundo grado

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:

$3x^2 - 12x = 0$

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$2x^2 - 18 = 0$

Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:

$5x^2 - 3x + 2 = 0$

Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.

En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ metros de altura.

Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.

Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación y halla el ancho del marco.

El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?

En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro $m$ y halla la otra solución.

Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.

En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y halla las dimensiones posibles del rectángulo.

Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$

Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un coste total de $360$ euros, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $9$ euros más cada uno para cubrir el coste total. Plantea una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.