Ejercicios: Ecuaciones racionales

Resuelve la siguiente ecuación racional, indicando claramente sus soluciones válidas:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$

Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad:

$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$

Determina la solución de la ecuación, prestando atención a los valores que anulan los denominadores:

$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$

Calcula los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión:

$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$

Resuelve la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación:

$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$

Determina el número real $x$ que satisface la igualdad entre estas dos fracciones algebraicas:

$\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x+3}$

Resuelve la siguiente ecuación racional:

$\frac{2}{x+3} + \frac{x}{x-3} = 1$

Resuelve la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo:

$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$

Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A tardaría $5$ horas menos que la impresora B en completar el mismo lote. Plantea una ecuación racional y determina cuánto tiempo tardaría la impresora A trabajando sola.

Un tren de mercancías debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el trayecto completo. Plantea una ecuación racional y calcula la velocidad media a la que circula el tren inicialmente.

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, descartando aquellas que resulten ser falsas (soluciones extrañas):

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$

Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un precio total de $400\text{ \euro}$. A última hora se apuntan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $4\text{ \euro}$ menos. Plantea una ecuación racional para calcular cuántos estudiantes formaban el grupo original.

Resuelve la ecuación simplificando las fracciones algebraicas:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$

Un diseñador gráfico está creando un cartel rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del cartel en $10\text{ cm}$ y redujera la altura en $5\text{ cm}$, el área total seguiría siendo la misma. Plantea una ecuación racional y determina las dimensiones originales del cartel.

Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación:

$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$

Dada la ecuación racional con parámetro $a$:

$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$

Determina para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene infinitas soluciones, y para qué valores no tiene ninguna solución.

En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se sabe que el valor de la resistencia $R_2$ es $5\ \Omega$ mayor que el de $R_1$, y que la resistencia equivalente del circuito es de $6\ \Omega$. Plantea y resuelve una ecuación racional para hallar el valor de ambas resistencias.

Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo total de navegación ha sido de $5\text{ horas}$. Si la velocidad de la corriente del río es de $2\text{ km/h}$, plantea una ecuación racional para calcular la velocidad del barco en aguas tranquilas.

Resuelve la siguiente ecuación racional, factorizando previamente los denominadores para operar con el mínimo común múltiplo:

$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$

Resuelve la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$:

$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$

En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una disolución salina con una concentración inicial de $0,04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo constante para aumentar su concentración (la cantidad de sal permanece invariable). Si se evaporan $x\text{ L}$ de agua, la nueva concentración debe ser de $0,1\text{ kg/L}$. Plantea la ecuación racional correspondiente y calcula la cantidad de agua que debe evaporarse.

Determina todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando identidades notables antes de operar:

$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{x^3+1}{x+1} + 3$

Dos postes verticales de alturas $x$ y $x+2$ metros están separados por una cierta distancia en un terreno llano. Se tienden dos cables rectilíneos y tensos desde la parte superior de cada poste hasta la base del poste opuesto. El punto donde se cruzan los cables se encuentra a una altura de $2,4\text{ m}$ del suelo. Sabiendo que la altura del cruce $h$ cumple la relación geométrica $\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$ (donde $h_1$ y $h_2$ son las alturas de los postes), plantea una ecuación racional y calcula la altura de ambos postes.