Ejercicios: Otras ecuaciones

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas:

$\sqrt{2x+5} - x = 1$

Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación exponencial:

$3^{2x+1} - 27 = 0$

Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación:

$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$

Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto:

$|2x - 5| = 7$

Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación racional reduciéndola a una ecuación polinómica:

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$

La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.

Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto tarda cada una? Plantea y resuelve la ecuación racional correspondiente.

Resuelve la siguiente ecuación irracional con dos radicales y comprueba la solución obtenida:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Halla los valores de $x$ aplicando un cambio de variable.

Aplica las propiedades de los logaritmos para agrupar los términos y resuelve la ecuación:

$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$

Encuentra todos los valores reales de $x$ que verifican la siguiente ecuación con valor absoluto cuadrático:

$|x^2 - 5x + 4| = 2$

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los bordes. Si el volumen de la caja debe ser de $378\text{ cm}^3$, plantea la ecuación polinómica de tercer grado correspondiente y halla el valor de $x$, sabiendo que es un número entero.

Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \cdot e^{-0,05t}$. ¿Cuántos años deben transcurrir para que queden exactamente $50$ gramos de material? Expresa el resultado exacto usando logaritmos neperianos.

Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu respuesta.

Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad disminuye en $5$ km/h, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo recorrido. Plantea la ecuación racional que modeliza la situación y determina la velocidad de ida.

Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y otro cable desde $P$ hasta una cabaña situada a $5$ km río abajo de la torre y a $1$ km tierra adentro. Si la longitud total del cable utilizado es de $6$ km, plantea una ecuación irracional y determina a qué distancia de la torre se encuentra el punto $P$.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro:

$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$

La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11,8 + 1,5M$. Si un terremoto libera $1000$ veces más energía que otro cuya magnitud es de $4,2$, ¿cuál es la magnitud del primer terremoto en la escala de Richter?

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación con valor absoluto anidado:

$||x - 2| - 3| = 1$

Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$ cuyas raíces sean exactamente esas cuatro cifras, resulta que su término independiente es igual a $24$. Determina el polinomio $P(x)$ desarrollado y el número PIN de cuatro cifras.

Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte algebraicamente.