Ejercicios: Derivadas de funciones usuales

Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica:

$f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$

Aplica la regla del producto para determinar la derivada de la función:

$g(x) = x^3 \ln x$

Halla la función derivada del siguiente cociente de funciones:

$h(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$

Calcula la derivada de la siguiente función trigonométrica:

$f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$

Aplica la regla de la cadena para derivar la siguiente potencia de una función:

$p(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4$

Encuentra la función derivada de la siguiente función exponencial compuesta:

$q(x) = e^{4x^3 - 7x}$

Calcula la derivada de la función con radical:

$r(x) = \sqrt{5x^2 - 3x + 2}$

Determina la derivada de la siguiente función logarítmica compuesta:

$s(x) = \ln(2x^4 + x^2 - 3)$

El número de usuarios activos de una red social emergente, en miles, en función del tiempo $t$ (en meses) viene dado por la expresión $U(t) = 50 e^{0,2t^2 - 0,1t}$. Calcula la tasa de crecimiento instantánea del número de usuarios en el instante $t = 3$ meses.

La posición de una masa unida a un muelle amortiguado viene dada por la función $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$, donde $x$ se mide en centímetros y $t$ en segundos. Determina la función velocidad $v(t)$ del oscilador derivando la función de posición.

El coste total de producción, en euros, de $q$ unidades de un componente electrónico de alta precisión se modela mediante la función $C(q) = \frac{200q^2 + 500}{q+2}$. Calcula el coste marginal $C'(q)$ cuando se producen exactamente $q = 10$ unidades.

Aplica reiteradamente la regla de la cadena para hallar la función derivada de la siguiente función trigonométrica:

$f(x) = \sin^3(2x^2 + \pi)$

Utiliza las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión antes de derivar, y halla la derivada de la función:

$g(x) = \ln\left(\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}\right)$

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva definida por $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un motor industrial en función del tiempo $t$ (en minutos) tras ser apagado sigue la ley de enfriamiento de Newton, dada por $T(t) = 25 + 85 e^{-0,05t}$. Calcula e interpreta el valor de $T'(10)$, es decir, la velocidad a la que disminuye la temperatura a los 10 minutos.

Calcula la derivada de la siguiente función que combina funciones trigonométricas inversas con exponenciales y polinomios:

$h(x) = \arctan(e^x) + \arcsin(2x)$

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+b}{x^2+4}$ tenga un extremo relativo en el punto $P(2, 1)$.

Demuestra, utilizando la regla de derivación de un cociente y la identidad fundamental de la trigonometría ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), que la derivada de la función secante $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ es $f'(x) = \tan x \cdot \sec x$.

Un rayo de luz viaja desde el punto $A(0, a)$ hasta el punto $B(d, b)$ reflejándose en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas en el punto $P(x, 0)$. La distancia total recorrida por la luz viene dada por la función $L(x) = \sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(d-x)^2 + b^2}$. Calcula $L'(x)$ y demuestra que la condición de distancia mínima $L'(x) = 0$ implica que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión ($\sin \theta_1 = \sin \theta_2$).

En un modelo epidemiológico, la proporción de población infectada por un virus a lo largo del tiempo $t$ (en semanas) sigue una curva logística dada por $I(t) = \frac{1}{1 + 49e^{-0,5t}}$. Calcula la tasa de cambio de la infección $I'(t)$ y determina en qué semana la enfermedad se propaga con mayor rapidez (es decir, el punto de inflexión donde $I''(t) = 0$).

Encuentra la expresión general para la derivada enésima (de orden $n$) de la función $f(x) = \ln(2x - 1)$.

Determina la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = e^x \cos x$ que sea paralela a la recta $y = -e^{\pi} x + 5$, sabiendo que el punto de tangencia se encuentra en el intervalo $[0, 2\pi]$.

El beneficio mensual de una empresa de software, en miles de euros, está modelado por la función $B(x) = x^2 \ln\left(\frac{10}{x}\right)$, donde $x$ es la inversión en marketing en miles de euros ($0 < x \le 10$). Calcula la inversión óptima $x$ que maximiza el beneficio y demuestra que se trata de un máximo relativo.