Ejercicios: Recta tangente a una curva

Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 3x$ en el punto de abscisa $x = 2$.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2 + 1$ en el punto de abscisa $x = 1$, como el de la figura, escribiéndola en la forma $y - f(1) = f'(1) \cdot (x - 1)$.

Determina la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = x^3 - 2x$ en el punto de abscisa $x = 1$.

¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ la recta tangente es horizontal? Indica las coordenadas del punto.

Encuentra el punto de la parábola $f(x) = x^2$ en el que la recta tangente es paralela a la recta $y = 4x - 1$.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «La recta tangente a una curva en un punto no puede volver a cortar a la curva en otro punto». Si es falsa, pon un contraejemplo con la función $f(x) = x^3$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Un ciclista que entrena en un velódromo recorre $s(t) = 2t^2 + 3t$ metros durante los primeros $t$ segundos.

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $s(t)$ en el instante $t = 2$.

1. b) ¿Qué magnitud física representa la pendiente de esa recta tangente? Indica su valor y sus unidades.

La figura muestra la rama de la hipérbola $f(x) = \frac{1}{x}$ correspondiente a $x > 0$ y el punto de abscisa $x = 2$. Halla la ecuación de la recta tangente en ese punto y comprueba que corta al eje de ordenadas en $y = 1$.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \ln x$ en el punto de abscisa $x = 1$. ¿Qué relación guarda esa recta con los valores de $\ln x$ cuando $x$ está muy cerca de $1$?

Encuentra los puntos de la gráfica de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 9x + 5$, e indica las coordenadas de cada uno.

Sea la función $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa $x = 3$.

1. b) Determina los puntos de corte de esa recta tangente con los ejes de coordenadas.

1. c) Calcula el área del triángulo que la recta tangente forma con los dos ejes.

La recta normal a una curva en un punto es la perpendicular a la recta tangente en ese punto. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la parábola $f(x) = x^2$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Desde el punto $P(0, -4)$, exterior a la parábola $f(x) = x^2$ y representado en la figura, se quieren trazar rectas tangentes a la curva.

1. a) Escribe la ecuación de la recta tangente a la parábola en un punto genérico de abscisa $x = a$.

1. b) Impón la condición de que pase por $P$ y halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes posibles, indicando los puntos de tangencia.

Determina el punto de la curva $f(x) = \ln x$ en el que la recta tangente pasa por el origen de coordenadas, y escribe la ecuación de dicha tangente. (Sugerencia: plantea la tangente en un punto genérico de abscisa $x = a$ e impón que pase por $(0, 0)$.)

Las parábolas $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2 - x^2$ se cortan formando un ángulo, el que forman sus rectas tangentes en el punto de corte, como se muestra en la figura.

1. a) Comprueba que las dos curvas se cortan en los puntos de abscisa $x = -1$ y $x = 1$.

1. b) Calcula las pendientes de las tangentes de ambas curvas en el punto de abscisa $x = 1$.

1. c) Utilizando la fórmula del ángulo entre dos rectas, $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$, halla el ángulo que forman las dos curvas en ese punto.

Se quiere estimar el valor de $\sqrt{102}$ sin calculadora.

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente a $f(x) = \sqrt{x}$ en el punto de abscisa $x = 100$.

1. b) Utiliza esa recta para dar una estimación de $\sqrt{102}$ con dos cifras decimales.

1. c) Sabiendo que el valor real redondeado a cuatro decimales es $10,0995$, comenta si la aproximación por la tangente es por exceso o por defecto y razona a qué se debe.