Ejercicios: Parábola

Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.

Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.

Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.

Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.

Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.

Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.

El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las medidas expresadas en centímetros), ¿a qué distancia del vértice debe colocarse la bombilla para que los rayos de luz se reflejen paralelos al eje de simetría?

Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.

Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su vértice, su foco y la ecuación de su directriz.

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.

Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se encuentra el arco a una distancia horizontal de $8\text{ m}$ del centro de la base.

Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la cónica resultante y detalla sus elementos principales.

El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0,25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se encuentra el foco donde debe situarse el receptor de la señal.

Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.

Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al intersecar con la parábola.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.

Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua $x + y - 1 = 0$.

Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de $15\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$. Determina analíticamente si el chorro de agua logrará pasar por encima de un muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distancia horizontal del punto de salida.

Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes a la parábola es exactamente la recta tangente en el vértice.

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical $x = 2$.

Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha distancia mínima.

Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto $P(1, 2)$. Demuestra de forma analítica que la recta que contiene al rayo reflejado pasa exactamente por el foco de la parábola.

Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$, halla la ecuación general de dicha parábola y las coordenadas exactas de su foco.