Ejercicios: Elipse

Dada la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determina las coordenadas de sus vértices, las de sus focos y el valor de su excentricidad.

Escribe la ecuación reducida de una elipse centrada en el origen de coordenadas, sabiendo que uno de sus focos es el punto $F(4, 0)$ y que la longitud de su eje mayor es $10$.

Calcula la excentricidad de la elipse cuya ecuación es $16x^2 + 25y^2 = 400$.

Una elipse tiene su centro en el punto $C(-2, 3)$, su eje mayor es paralelo al eje de abscisas y mide $12$ unidades, y su eje menor mide $8$ unidades. Escribe su ecuación en forma canónica.

Comprueba si los puntos $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ y $R(4, 2)$ son interiores, exteriores o pertenecen a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Halla la ecuación de una elipse centrada en el origen, cuyos focos están sobre el eje de ordenadas, sabiendo que la distancia focal es de $8$ unidades y la excentricidad es $0,8$.

A partir de la ecuación de la elipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica las coordenadas de su centro y la longitud de sus semiejes.

La excentricidad de una elipse es $\frac{1}{3}$ y su semieje menor mide $4\sqrt{2}$. Calcula la medida de su semieje mayor.

La órbita de Mercurio alrededor del Sol es una elipse en la que el Sol ocupa uno de sus focos. La distancia mínima de Mercurio al Sol (perihelio) es de $46$ millones de kilómetros, y la distancia máxima (afelio) es de $70$ millones de kilómetros. Calcula la excentricidad de la órbita de Mercurio y la longitud de su semieje menor en millones de kilómetros.

Un puente de piedra sobre un río tiene la forma de un semiarco elíptico. La anchura del río (eje mayor de la elipse) es de $20\text{ m}$ y la altura máxima del arco en el centro del río es de $6\text{ m}$. Calcula a qué altura se encuentra el arco a una distancia de $4\text{ m}$ del centro del río.

Dada la ecuación general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demuestra que corresponde a una elipse. Para ello, exprésala en forma canónica y determina las coordenadas de su centro, sus vértices y sus focos.

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya suma de distancias a los puntos $F_1(-3, 0)$ y $F_2(3, 0)$ es siempre igual a $10$. Simplifica la expresión hasta obtener la ecuación reducida de una elipse.

En la galería de los suspiros, que tiene forma de elipse, dos personas situadas en los focos pueden escucharse perfectamente aunque hablen en un susurro. Si la galería tiene una longitud total de $34\text{ m}$ y una anchura máxima de $16\text{ m}$, ¿a qué distancia del centro de la sala debe situarse cada persona para aprovechar este fenómeno acústico?

Estudia la posición relativa de la recta de ecuación $2x + y - 5 = 0$ y la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Si se cortan, halla las coordenadas de los puntos de intersección.

Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta de ecuación $x - 16 = 0$. Identifica la cónica resultante y calcula su centro y la longitud de sus semiejes.

En un mecanismo de relojería, un engranaje tiene forma elíptica. Se sabe que su ecuación de contorno viene dada por $x^2 + 4y^2 = 16$. Se desea colocar un pequeño pasador en un punto de la elipse cuya abscisa sea el doble que su ordenada. Calcula las coordenadas de dicho punto (asumiendo que ambas son positivas) y la distancia exacta de este punto al centro del engranaje.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que pasan por el punto exterior $P(0, 5)$.

Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse $x^2 + 2y^2 = 18$ que son paralelas a la recta de ecuación $x - y + 4 = 0$.

Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $x + 2y + k = 0$ sea tangente a la elipse de ecuación $x^2 + 4y^2 = 20$.

Considera la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$. A cada punto $A(x, y)$ de la circunferencia se le asocia un punto $P(x, y')$ que tiene la misma abscisa, pero su ordenada es el $60\%$ de la ordenada de $A$. Demuestra que el lugar geométrico de los puntos $P$ es una elipse y determina su ecuación, su centro y sus focos.

Se quiere diseñar una ventana rectangular que esté inscrita en un hueco elíptico de ecuación $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes de la elipse. Si se desea que el rectángulo tenga un área total de $24\text{ m}^2$, ¿cuáles deben ser sus dimensiones exactas?

Una plaza mayor tiene forma de elipse. Se quiere pavimentar un camino recto que una el foco situado más a la izquierda, $F_1$, con un punto $P$ de la elipse situado en el primer cuadrante. Se sabe que el eje mayor de la plaza mide $100\text{ m}$ y el eje menor $60\text{ m}$. Si el ángulo que forma el segmento $F_1P$ con el semieje positivo de abscisas es de $60^\circ$, calcula la longitud exacta del camino pavimentado.

Una elipse está centrada en el origen y sus ejes de simetría coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas. Si se sabe que la elipse pasa por los puntos $A(2, \sqrt{3})$ y $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, halla la ecuación de la elipse y calcula la distancia exacta entre sus focos.

Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiormente a la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$ y que pasan por el punto fijo $A(6, 0)$. Demuestra que dicho lugar geométrico es una elipse, halla su ecuación canónica y determina las coordenadas de sus focos.