Ejercicios: Forma polar y trigonométrica de un número complejo

Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.

Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.

Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.

Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.

Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.

Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y $360^\circ$.

Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.

Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.

En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de Ohm para corriente alterna establece que la intensidad es $I = \frac{V}{Z}$. Calcula la intensidad $I$ en forma polar y exprésala posteriormente en forma binómica.

En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de $60^\circ$ en sentido antihorario multiplicando su posición por el complejo $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nueva posición del personaje en forma binómica.

Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano complejo.

Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.

En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la segunda es $z_2 = 2_{135^\circ}$, halla en forma trigonométrica el resultado de $z_1 \cdot z_2^2$.

Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.

Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.

Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 - i}$ sea de $45^\circ$.

Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del hexágono es el afijo del número $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina el valor del número complejo $W$ en forma binómica y calcula el área exacta del hexágono.

Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento, $z_2$, tiene una longitud de $3$ unidades y está rotado $45^\circ$ en sentido antihorario respecto a la dirección de $z_1$. Calcula la posición final del extremo del brazo robótico (es decir, $z_1 + z_2$) en forma binómica, redondeando a dos decimales.

Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ y $\sin(3\alpha)$ en función de $\cos \alpha$ y $\sin \alpha$.

Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).

Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa ambos números en forma polar.

Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a los afijos de las raíces quintas del número complejo $z = 100000_{0^\circ}$. Demuestra matemáticamente, utilizando las propiedades de los números complejos en forma polar, que la fuerza resultante es nula.

Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.

Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.