Ejercicios: Funciones lineales: interpolación

Observa la siguiente gráfica que representa el coste total de un pedido de camisetas personalizadas para un equipo de e-sports en función del número de unidades compradas.

A partir de la gráfica:

1. Identifica la ordenada en el origen ($n$) y explica su significado en este contexto.

2. Si por $10$ camisetas el coste total es de $65$ €, calcula la pendiente ($m$) de la recta.

3. Escribe la expresión analítica de la función $f(x)$.

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos cobra un cargo fijo por desbloquear el vehículo y una tarifa constante por cada minuto de uso. Un usuario ha pagado $4,50$ € por un trayecto de $15$ minutos, mientras que otro ha pagado $7,50$ € por un trayecto de $35$ minutos.

Halla la ecuación de la función lineal que relaciona el coste del servicio ($y$) con el tiempo de uso en minutos ($x$).

La siguiente tabla muestra la temperatura de un horno industrial a medida que se calienta de forma constante:

Utiliza la interpolación lineal para estimar la temperatura del horno cuando han transcurrido $12$ minutos desde el encendido.

Un jardinero observa que el crecimiento de una especie de bambú es lineal durante sus primeras semanas. Si a los $10$ días medía $45$ cm y a los $20$ días medía $75$ cm:

1. Determina la función lineal que modela la altura del bambú en función del tiempo.

2. Realiza una extrapolación lineal para predecir qué altura tendrá la planta a los $25$ días.

Halla la función lineal que pasa por los puntos $A(2, 7)$ y $B(5, 16)$. Una vez obtenida, comprueba si el punto $C(4, 13)$ pertenece a dicha función mediante interpolación lineal.

Dos plataformas de música ofrecen los siguientes planes mensuales:

• Plan A: $5$ € de cuota fija más $0,20$ € por cada canción descargada.

• Plan B: Sin cuota fija, pero $0,60$ € por cada canción descargada.

• Escribe la función de coste para cada plan.

• Representa ambas funciones en un mismo diagrama y localiza gráficamente el "punto de equilibrio" (donde ambos planes cuestan lo mismo).

Se sabe que la relación entre la longitud de la frenada de un coche ($d$) y su velocidad ($v$) es aproximadamente lineal en ciertos tramos de velocidad baja. Si a $20$ km/h la frenada es de $4$ metros y a $40$ km/h es de $12$ metros:

1. ¿Cuál sería la longitud de frenada estimada para una velocidad de $30$ km/h?

2. Si un coche ha dejado una marca de frenada de $10$ metros, ¿a qué velocidad circulaba aproximadamente? (Usa interpolación).

Dada la siguiente tabla de valores que relaciona el número de horas trabajadas por un programador freelance y sus honorarios totales:

Calcula, mediante la fórmula de la recta de interpolación, cuánto cobraría por un trabajo de $7$ horas. Indique también cuál es el precio que cobra por cada hora de trabajo (pendiente).

Comprueba que la parábola $y = x^{2} - 2x + 3$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 2)$ y $(2, 3)$, y úsala para estimar el valor de $y$ en $x = 1,5$.

Se quieren interpolar los puntos $(0, 1)$, $(1, 4)$ y $(2, 9)$ con una parábola $y = ax^{2} + bx + c$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones con incógnitas $a$, $b$ y $c$.

1. b) Comprueba que $a = 1$, $b = 2$ y $c = 1$ es solución del sistema y escribe la parábola interpoladora.

Una plataforma de contenido en streaming ha analizado el crecimiento de sus suscriptores en una ciudad joven. En el año 2021 contaban con $12\,400$ usuarios, y en el año 2023 la cifra aumentó hasta los $15\,200$.

Si suponemos que el crecimiento sigue un modelo lineal:

1. Halla la función de interpolación lineal que expresa el número de suscriptores en función del tiempo (considera $x=0$ para el año 2021).

2. Estima mediante interpolación el número de suscriptores que había a mediados de 2022.

3. Realiza una extrapolación para predecir cuántos usuarios habrá en el año 2026 y reflexiona sobre la fiabilidad de este último dato.

Un laboratorio de biología estudia la degradación de un compuesto orgánico. Se ha observado que a una temperatura de $15^\circ\text{C}$, el compuesto tarda $40$ horas en descomponerse, mientras que a $25^\circ\text{C}$ tarda solo $28$ horas.

1. Determina la recta de interpolación lineal que relaciona el tiempo de descomposición ($y$) con la temperatura ($x$).

2. ¿Cuál sería el tiempo estimado de descomposición si la temperatura fuera de $22^\circ\text{C}$?

3. Si el laboratorio necesita que el compuesto se degrade en $20$ horas, ¿a qué temperatura debería ajustarse el termostato según este modelo?

Los organizadores de un festival de música urbana han observado la relación entre el precio de la entrada y el número de abonos vendidos. Si el precio es de $45$ €, se venden $3\,200$ abonos. Si el precio sube a $60$ €, las ventas bajan a $2\,450$ abonos.

1. Halla la ecuación de la demanda suponiendo que es una función lineal.

2. Estima cuántos abonos se venderían si se fijara un precio "intermedio" de $52$ €.

3. ¿A partir de qué precio la demanda sería nula según este modelo de extrapolación?

El porcentaje de reciclaje de envases plásticos en una comunidad autónoma ha evolucionado de forma casi lineal en la última década. En el año 2012 se reciclaba el $18\,\%$ y en el año 2020 se alcanzó el $34\,\%$.

1. Calcula la tasa de variación media anual del porcentaje de reciclaje entre esos años.

2. Utiliza la interpolación lineal para estimar el porcentaje de reciclaje en el año 2015.

3. Si la tendencia continúa igual, ¿en qué año se espera alcanzar el objetivo del $50\,\%$ fijado por la Unión Europea?

Un coche eléctrico consume energía de su batería de forma proporcional a la distancia recorrida. Al salir del garaje con el $100\,\%$ de carga, tras recorrer $120$ km, la batería marca un $64\,\%$ de carga restante.

1. Expresa la función lineal que indica el porcentaje de batería que queda en función de los kilómetros recorridos.

2. Si el conductor decide parar a recargar cuando le quede el $15\,\%$ de batería, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en total según la interpolación?

3. Mediante extrapolación, determina qué porcentaje de batería marcaría tras un viaje de $300$ km. ¿Tiene sentido físico el resultado obtenido? Justifica tu respuesta.

En un estudio sociológico sobre el uso de dispositivos digitales, se recogen los siguientes datos sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes frente a la pantalla en función de su edad:

1. Determina la función lineal que ajusta estos datos.

2. Estima, por interpolación, el tiempo diario de pantalla para un adolescente de $14$ años.

3. Si un joven de $18$ años pasa $250$ minutos al día, ¿se ajusta este dato al modelo lineal calculado anteriormente? Compruébalo mediante extrapolación.

El coste total de producir camisetas personalizadas para una graduación incluye un coste fijo por el diseño y un coste variable por cada unidad fabricada. Sabemos que $50$ camisetas cuestan $410$ € y que $120$ camisetas cuestan $830$ €.

1. Calcula el coste de fabricar $85$ camisetas utilizando la técnica de interpolación lineal.

2. Identifica, a partir de la recta obtenida, cuál es el coste fijo (ordenada en el origen) y el coste por cada camiseta adicional (pendiente).

3. Si el presupuesto máximo de la clase es de $600$ €, ¿cuál es el número máximo de camisetas que pueden encargar?

Se está midiendo la profundidad de la nieve en una estación de esquí durante un día de nevada constante. A las $8:00$ h la profundidad era de $45$ cm y a las $13:00$ h ha subido hasta los $62$ cm.

1. Halla la ecuación de la recta que relaciona la profundidad del espesor ($y$) con las horas transcurridas desde las $8:00$ h ($x$).

2. ¿Qué espesor de nieve se estimaba que habría a las $11:30$ h?

3. Si la nevada comenzó a las $5:00$ h de la mañana con la misma intensidad, ¿cuánta nieve había en el suelo en ese momento? Utiliza la extrapolación lineal.

La figura muestra una parábola que pasa por los puntos $(1, 3)$, $(3, 7)$ y $(5, 5)$.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones que deben cumplir $a$, $b$ y $c$ para que $y = ax^{2} + bx + c$ pase por los tres puntos, y resuélvelo.

1. b) Usa la parábola obtenida para estimar el valor de $y$ en $x = 4$ (el marcado con «?» en la figura).

1. c) Comprueba con la gráfica que la estimación es coherente.

La promotora de un concierto ha probado tres precios de entrada con resultados distintos: a $10\ \text{ €}$ vendió $400$ entradas; a $20\ \text{ €}$, $700$; y a $30\ \text{ €}$, $600$. La figura muestra los datos y la parábola de interpolación.

1. a) Halla la parábola $y = ax^{2} + bx + c$ que interpola los tres puntos (precio, entradas vendidas).

1. b) Estima cuántas entradas vendería a $25\ \text{ €}$.

1. c) Según el modelo, ¿qué precio maximiza el número de entradas vendidas? Calcula el vértice de la parábola e interpreta el resultado.

La tabla muestra los primeros valores de una sucesión:

• $n$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $a_n$: $4$, $9$, $18$, $31$, $48$

1. a) Calcula las primeras diferencias (cada término menos el anterior) y las segundas diferencias (diferencias de las diferencias). ¿Qué observas en las segundas?

1. b) Justifica que si las segundas diferencias son constantes, la sucesión sigue un modelo cuadrático $a_n = an^{2} + bn + c$, y halla ese modelo.

1. c) Calcula $a_6$ con el modelo y compruébalo prolongando las diferencias.

Una empresa de mensajería sostenible utiliza bicicletas eléctricas para sus repartos. Se ha observado que el coste de mantenimiento mensual por cada bicicleta depende de los kilómetros recorridos. Si una bicicleta recorre $400\text{ km}$, el coste es de $120\text{ €}$, mientras que si recorre $1000\text{ km}$, el coste asciende a $210\text{ €}$.

1. a) Utilizando la interpolación lineal, determina la expresión analítica de la función que relaciona el coste mensual $C(x)$ con la distancia recorrida $x$.

1. b) Si el presupuesto máximo de mantenimiento por bicicleta es de $180\text{ €}$, ¿cuál es el número máximo de kilómetros que se estima que puede recorrer según este modelo?

1. c) La empresa planea expandirse y estima que algunas bicicletas realizarán $1500\text{ km}$ mensuales. Calcula el coste mediante extrapolación lineal y razona si esta estimación es fiable a largo plazo basándote en el desgaste físico de los componentes.

El valor de mercado de un modelo específico de smartphone de alta gama se deprecia de forma lineal durante los primeros meses tras su lanzamiento. A los 2 meses de su salida, su precio era de $950\text{ €}$. A los 8 meses, su precio bajó hasta los $710\text{ €}$.

1. a) Calcula, mediante interpolación lineal, el precio del dispositivo a los 5 meses de su lanzamiento.

1. b) Determina el precio original de salida ($x = 0$) utilizando la extrapolación.

1. c) Si un usuario decide vender su smartphone cuando su valor sea exactamente la mitad del precio original, ¿en qué mes debería ponerlo a la venta según este modelo?

Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de horas semanales dedicadas al ocio digital y la puntuación en un test de bienestar emocional (de 0 a 100). Se sabe que para 10 horas de ocio la puntuación es de 85 puntos, y para 35 horas la puntuación desciende a 60 puntos.

1. a) Obtén la recta de interpolación lineal que modele esta situación.

1. b) Un grupo de estudiantes presenta una puntuación media de 72 puntos. Estima cuántas horas de ocio digital consumen a la semana.

1. c) Si una persona no consume nada de ocio digital ($x = 0$), ¿qué puntuación se le asignaría? ¿Y si consume 80 horas? Discute la validez de los resultados en los extremos de la función.

Una ONG que trabaja en la reforestación de una zona incendiada ha registrado el crecimiento de un tipo de pino. A los 3 años del trasplante, la altura media era de $1,8\text{ m}$. A los 7 años, la altura alcanzó los $3,4\text{ m}$.

1. a) Suponiendo un crecimiento lineal, estima la altura que tenían los pinos a los 5 años y medio.

1. b) El equipo forestal considera que los pinos son "adultos" cuando superan los $5\text{ metros}$. ¿Cuántos años deben pasar desde el trasplante para que alcancen esa altura según la extrapolación lineal?

1. c) Si el pino medía $40\text{ cm}$ en el momento del trasplante ($t = 0$), comprueba si el modelo lineal de los apartados anteriores se ajusta a este dato inicial. En caso negativo, explica qué podría estar ocurriendo biológicamente.

La factura de gas de una comunidad de vecinos tiene un término variable que depende del consumo en $kWh$. En enero, con un consumo de $2500\text{ kWh}$, la factura total (incluyendo un término fijo) fue de $310\text{ €}$. En febrero, el consumo bajó a $1800\text{ kWh}$ y la factura fue de $233\text{ €}$.

1. a) Calcula el precio de cada $kWh$ y el valor del término fijo de la factura utilizando interpolación lineal.

1. b) Estima la factura para un consumo de $3000\text{ kWh}$.

1. c) Debido a una nueva tasa municipal, el término fijo aumentará un $15\%$ y el precio por $kWh$ un $5\%$. Escribe la nueva función de coste y compárala gráficamente con la anterior.

Dos magnitudes $X$ e $Y$ están relacionadas de forma que para $x_1 = 12$ se obtiene $y_1 = 40$, y para $x_2 = 20$ se obtiene $y_2 = 30$.

1. a) Determina el valor de $y$ para $x = 15$ mediante interpolación lineal.

1. b) Halla el valor de $x$ para el cual $y$ se anula ($y = 0$).

1. c) Si se sabe que esta relación lineal solo es válida en el intervalo $x \in [10, 30]$, calcula los valores máximo y mínimo que puede tomar la magnitud $Y$ en dicho intervalo.

Las leyes de oferta y demanda de un producto se han modelado linealmente a partir de los siguientes datos recogidos en un estudio de mercado:

• A un precio de $15\text{ €}$, se ofrecen $200$ unidades y se demandan $500$.

• A un precio de $25\text{ €}$, se ofrecen $400$ unidades y se demandan $300$.

1. a) Calcula las funciones de oferta $O(p)$ y demanda $D(p)$ mediante interpolación lineal.

1. b) Encuentra el precio de equilibrio (donde la oferta es igual a la demanda) y la cantidad de equilibrio.

1. c) Si el gobierno impone un precio máximo de $18\text{ €}$, ¿habrá exceso de oferta o escasez de demanda? Calcula la diferencia exacta de unidades.

Un corredor de maratón mantiene un ritmo constante durante un tramo de su entrenamiento. En el kilómetro 5 de su ruta, el cronómetro marcaba 22 minutos y 30 segundos. En el kilómetro 12, el tiempo transcurrido era de 54 minutos.

1. a) Expresa el tiempo $T$ (en minutos) en función de la distancia $d$ (en kilómetros) suponiendo que el ritmo es constante.

1. b) Calcula, mediante interpolación, en qué kilómetro se encontraba el corredor cuando el cronómetro marcaba exactamente 45 minutos.

1. c) Si el corredor comenzó la maratón en el kilómetro 0, ¿cuánto tiempo tardó en realizar los primeros 500 metros? Utiliza la extrapolación y expresa el resultado en minutos y segundos.

La figura muestra los puntos $(0, 2)$, $(1, 5)$ y $(2, 10)$, la recta que interpola los dos primeros y la parábola que interpola los tres.

1. a) Halla la recta de interpolación lineal que pasa por $(0, 2)$ y $(1, 5)$.

1. b) Halla la parábola $y = ax^{2} + bx + c$ que pasa por los tres puntos.

1. c) Calcula la predicción de cada modelo para $x = 3$ y su diferencia. Si los datos fueran el importe de una factura eléctrica que crece cada vez más deprisa por los tramos de consumo, ¿qué modelo te parece más fiable? Razona la respuesta.

Demuestra que por tres puntos de abscisas distintas $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$ pasa una única función polinómica de grado menor o igual que $2$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones con incógnitas $a$, $b$ y $c$ que resulta de imponer que $y = ax^{2} + bx + c$ pase por los tres puntos.

1. b) Justifica que el sistema es compatible determinado calculando su determinante (o discutiendo el sistema) y usando que las abscisas son distintas.

1. c) Explica por qué el «grado menor o igual que $2$» incluye la posibilidad de que la solución sea una recta: ¿qué condición cumplirían entonces los tres puntos?

Un día de verano se han medido las temperaturas de una ciudad: a las $8$ h, $12$ °C; a las $14$ h, $24$ °C; a las $20$ h, $18$ °C.

1. a) Tomando $t = 0$ en las $8$ h, halla la parábola $T(t) = at^{2} + bt + c$ que interpola los tres datos.

1. b) Según el modelo, ¿a qué hora se alcanzó la temperatura máxima y cuánto valió?

1. c) ¿Qué temperatura predice el modelo para las $2$ h de la madrugada siguiente ($t = 18$)? ¿Es razonable? Comenta los límites de la interpolación cuando se usa para extrapolar fuera del rango de los datos.