Ejercicios: Progresiones geométricas

Un joven creador de contenido en una red social observa que el número de reproducciones de sus videos aumenta de forma constante. El primer día obtuvo $200$ visualizaciones, el segundo $600$, el tercero $1800$, y así sucesivamente siguiendo una progresión geométrica.

1. a) Determina la razón $r$ de la progresión.
2. b) Calcula cuántas visualizaciones recibirá el sexto día si se mantiene esta tendencia.

Para comprarse una bicicleta eléctrica, una estudiante decide hacer el "reto del ahorro semanal": guarda dinero cada semana de forma que cada entrega sea el doble de la anterior. La primera semana guarda $2$ €, la segunda $4$ €, la tercera $8$ €, y así sucesivamente.

1. a) Escribe el término general $a_n$ de esta progresión.
2. b) Utiliza la fórmula de la suma de una progresión geométrica para averiguar cuánto dinero habrá acumulado en total al cabo de $8$ semanas.

Un abuelo abre una cuenta de ahorros para su nieto recién nacido con un capital inicial de $2000$ €. La entidad bancaria ofrece un interés simple anual del $2,5 \%$.

1. a) Calcula los intereses que generará la cuenta al cabo de $10$ años.
2. b) ¿A cuánto ascenderá el capital total acumulado tras ese periodo?

Debido a la inflación, el precio del alquiler de una zona joven de la ciudad ha ido subiendo un $4 \%$ cada año de manera acumulativa. Si el precio actual de un estudio es de $650$ € al mes:

1. a) ¿Cuál será el precio del alquiler dentro de $3$ años?
2. b) Identifica los elementos de la progresión geométrica que modeliza esta situación (capital inicial $C_0$ y razón $r$).

Un banco ofrece un depósito a interés compuesto con un rédito anual del $3 \%$. Si ingresamos $5000$ € y no realizamos ninguna otra aportación ni retirada:

1. a) ¿Cuál será el capital final al cabo de $4$ años?
2. b) ¿Cuánto dinero habremos ganado exclusivamente en concepto de intereses?

El valor de mercado de un modelo de consola de videojuegos se deprecia un $12 \%$ cada año que pasa. Si el precio de lanzamiento es de $499$ €:

1. a) Escribe los tres primeros términos de la sucesión de precios anuales.
2. b) Calcula el valor de la consola después de $5$ años.

Calcula el capital final que se obtendría al invertir $1500$ € durante $2$ años a un interés compuesto del $4 \%$ anual, si el periodo de capitalización de los intereses es mensual (es decir, los intereses se abonan cada mes).

Pista: Recuerda ajustar la tasa de interés y el número de periodos al formato mensual.

Una joven decide invertir sus ahorros de $2500 €$ en un producto financiero que ofrece un interés compuesto del $3,2 \%$ anual.

1. a) ¿Cuál será el capital final si los intereses se capitalizan anualmente durante 6 años?
2. b) ¿Cuál sería la diferencia si la capitalización fuera mensual en lugar de anual para ese mismo periodo de tiempo?

Un inversor analiza dos cuentas de ahorro distintas:

• Cuenta A: Ofrece un interés del $4 \%$ anual con capitalización trimestral.

• Cuenta B: Ofrece un interés del $4,05 \%$ anual con capitalización anual.

Determina razonadamente, calculando la Tasa Anual Equivalente (TAE) de la Cuenta A, cuál de las dos opciones es más beneficiosa para el inversor.

Un pequeño emprendedor solicita un préstamo de $15000 €$ para adquirir maquinaria. El banco le concede el préstamo a un interés del $5,5 \%$ anual, que debe devolver en cuotas mensuales iguales durante 4 años.

1. a) Calcula el importe de la mensualidad que deberá abonar.
2. b) ¿A cuánto ascenderán los intereses totales pagados al finalizar el préstamo?

Un estudiante universitario compra un ordenador portátil de última generación por $1200 €$. Se estima que el valor del equipo se deprecia un $15 \%$ cada año de forma acumulativa.

1. a) ¿Cuál será el valor del ordenador tras 3 años de uso?
2. b) ¿Cuántos años deben transcurrir para que el valor del ordenador sea inferior a la cuarta parte de su precio original? (Utiliza logaritmos para el cálculo).

Una joven de 18 años quiere constituir un fondo de $150000 €$ dentro de 20 años, cuando cumpla 38, para la entrada de una vivienda y montar su propio negocio. Si la entidad financiera le garantiza un interés medio del $3,5 \%$ anual capitalizable anualmente:

¿Qué cantidad fija debería ingresar al comienzo de cada año para alcanzar su objetivo?

Dada la progresión geométrica definida por los términos $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$:

1. a) Halla la razón $r$ y el primer término $a_1$.
2. b) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión.
3. c) ¿Sería posible calcular la suma de sus infinitos términos? Justifica tu respuesta.

Una joven emprendedora decide abrir una cuenta de ahorro para financiar su proyecto de una marca de ropa sostenible dentro de 5 años. Para ello, se compromete a ingresar $150$ € al principio de cada mes. La entidad bancaria le ofrece un interés nominal anual del $4,5\%$, con capitalización mensual de los intereses.

Calcula el capital total que habrá acumulado al finalizar los 5 años. Para resolverlo, debes obtener primero la tasa de interés mensual equivalente y aplicar la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica (anualidad de capitalización).

Una familia solicita un préstamo hipotecario de $180.000$ € a devolver en 20 años mediante cuotas mensuales constantes (sistema francés). El banco aplica un interés del $3,25\%$ anual. Sin embargo, el contrato incluye una cláusula de "carencia parcial" durante los dos primeros años, en los que la familia solo pagará los intereses generados, sin amortizar nada de capital.

1. a) Calcula la cuota mensual que pagará la familia durante los dos primeros años (periodo de carencia).
2. b) Calcula la cuota mensual que deberán pagar a partir del tercer año hasta el final del préstamo. Ten en cuenta que en ese momento el capital pendiente sigue siendo el inicial, pero el tiempo restante ha disminuido.

Comparamos dos productos de inversión para un capital de $10.000$ € durante 4 años:

• Producto A: Interés compuesto anual del $5\%$.

• Producto B: Interés nominal del $4,8\%$ anual con capitalización mensual de intereses.

Determina cuál de los dos productos es más rentable calculando la Tasa Anual Equivalente (TAE) de cada uno. Explica por qué, aunque el Producto B tiene un tipo de interés nominal más bajo, la frecuencia de capitalización influye en el resultado final.

Un coleccionista de arte compra una escultura por $12.000$ €. Se estima que su valor aumentará un $8\%$ cada año de forma constante. Al mismo tiempo, la inflación media prevista para la próxima década es del $2,5\%$ anual.

1. a) ¿Cuál será el valor nominal de la escultura al cabo de 10 años?
2. b) ¿Cuál será el valor real de la escultura transcurridos esos 10 años, expresado en "euros de hoy"? Para ello, debes deflactar el valor nominal utilizando el índice de precios derivado de la inflación (que también sigue una progresión geométrica).

Un ayuntamiento quiere renovar los sistemas de iluminación de sus calles para ahorrar energía. El coste de la obra es de $1.500.000$ €. Para pagarlo, pide un préstamo al $2,8\%$ de interés anual que amortizará mediante 10 cuotas anuales iguales.

Tras pagar la quinta cuota, el ayuntamiento recibe una subvención europea y decide cancelar la deuda pendiente de un solo pago. Calcula cuánto dinero deberá desembolsar el ayuntamiento en ese momento para liquidar el préstamo totalmente.

Se deja caer una pelota desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote, la pelota alcanza una altura igual a los $2/3$ de la altura del rebote anterior.

1. a) ¿Qué altura alcanzará después del sexto rebote?
2. b) Calcula la distancia total recorrida por la pelota (subidas y bajadas) hasta que, teóricamente, se detiene. Utiliza la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente, teniendo en cuenta que, excepto la caída inicial, todos los trayectos se realizan dos veces (subida y bajada).

Los abuelos de Marta quieren constituir un fondo para costearle los estudios universitarios. Su objetivo es que ella pueda recibir una renta mensual de $500$ € durante $4$ años mientras estudia fuera de casa. Suponiendo que el banco les garantiza un interés del $3\%$ anual compuesto durante todo ese tiempo (periodo de percepción de la renta):

1. a) ¿Qué capital deberían tener acumulado en el momento en que Marta empiece la universidad para poder pagar esa renta? (Sugerencia: Trata este problema como el cálculo del capital inicial de un préstamo donde la cuota mensual es la renta que recibe).
2. b) Si todavía faltan $10$ años para que Marta empiece la universidad y actualmente no tienen nada ahorrado, ¿qué cantidad mensual fija deberían aportar a una cuenta de ahorro que les ofrece un $4\%$ de interés anual para lograr reunir el capital calculado en el apartado anterior?