Ejercicios: Progresiones aritméticas

Indica cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en su caso, da la diferencia:

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Una progresión aritmética tiene primer término $a_1 = 5$ y diferencia $d = 3$.

1. a) Escribe sus cinco primeros términos.

1. b) Escribe el término general $a_n$.

1. c) Calcula $a_{10}$.

En una progresión aritmética, $a_1 = 2$ y $a_5 = 14$.

1. a) Calcula la diferencia.

1. b) Escribe el término general.

1. c) ¿Qué lugar ocupa el término $26$?

Considera la progresión aritmética $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calcula la suma de sus $10$ primeros términos.

1. b) Comprueba el resultado calculando primero $a_{10}$ y aplicando la fórmula de la suma.

Una libreta de ahorro al $3 \%$ de interés simple anual parte de un capital de $2.000\ \text{ €}$ que no se reintegra: cada año se añaden los mismos intereses sobre el capital inicial.

1. a) ¿Por qué los capitales año a año forman una progresión aritmética? Indica su primer término y su diferencia.

1. b) Escribe el término general del capital acumulado al cabo de $n$ años.

1. c) ¿Qué capital habrá a los $6$ años? ¿Y a los $15$?

Para el viaje de fin de curso, una alumna decide ahorrar siguiendo una escalera: $10\ \text{ €}$ la primera semana y cada semana siguiente $5\ \text{ €}$ más que la anterior, como muestra la figura.

1. a) ¿Cuánto ahorrará en la semana $12$?

1. b) ¿Cuánto habrá acumulado en total tras esas $12$ semanas?

1. c) El viaje cuesta $650\ \text{ €}$. ¿Le llegará con $16$ semanas de ahorro? Justifícalo.

Interpola cuatro medios aritméticos entre $3$ y $18$ (es decir, construye una progresión aritmética de seis términos cuyos extremos son $3$ y $18$).

1. a) Calcula la diferencia de la progresión.

1. b) Escribe los seis términos.

1. c) Comprueba que la suma de los seis términos coincide con la fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

El anfiteatro de un parque tiene $22$ asientos en la primera fila, y cada fila posterior tiene $4$ asientos más que la anterior.

1. a) ¿Cuántos asientos tiene la fila $8$?

1. b) ¿Cuántos asientos hay en total en las $8$ primeras filas?

1. c) Para un concierto se necesitan $600$ localidades. ¿Cuántas filas completas hacen falta como mínimo?

La figura representa con barras los seis primeros términos de una progresión aritmética.

1. a) Lee en el gráfico el primer término $a_1$ y la diferencia $d$, y explica por qué las alturas de las barras están alineadas en línea recta.

1. b) Escribe el término general $a_n$.

1. c) Calcula $a_{20}$ y la suma de los $20$ primeros términos.

Considera las progresiones aritméticas $a_n$, con $a_1 = 7$ y diferencia $2$, y $b_n$, con $b_1 = 40$ y diferencia $-1$.

1. a) Escribe el término general de cada una.

1. b) ¿Existe algún valor de $n$ para el que $a_n = b_n$? Calcúlalo.

1. c) Interpreta el resultado: describe en palabras cómo evoluciona cada progresión y qué significa el término común.

¿Cuántos términos de la progresión aritmética $5, 9, 13, \ldots$ hay que sumar para obtener $357$?

1. a) Escribe el término general $a_n$ y la expresión de la suma $S_n$ de los $n$ primeros términos.

1. b) Plantea la ecuación $S_n = 357$ y resuélvela. ¿Por qué hay que descartar una de las soluciones de la ecuación de segundo grado?

Las medidas de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética de diferencia $d > 0$.

1. a) Expresa los tres lados en función del lado medio $b$ y de la diferencia $d$, y aplica el teorema de Pitágoras.

1. b) Demuestra que los lados son necesariamente proporcionales a $3$, $4$ y $5$.

1. c) Da un ejemplo concreto de triángulo rectángulo cuyos lados forman una progresión aritmética de diferencia $7$.

Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones sobre progresiones aritméticas, demostrándolas o dando un contraejemplo:

1. a) «Tres números $a$, $b$ y $c$ están en progresión aritmética si y solo si $b = \frac{a + c}{2}$.»

1. b) «En una progresión aritmética, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es siempre la misma: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$»

1. c) «Si se suma una misma cantidad a todos los términos de una progresión aritmética, la diferencia cambia.»

Un padre ofrece a su hija dos planes de paga mensual:

• Plan A: $20\ \text{ €}$ el primer mes, aumentando $2\ \text{ €}$ cada mes.

• Plan B: $8\ \text{ €}$ el primer mes, aumentando $3\ \text{ €}$ cada mes.

1. a) Escribe el término general de la paga de cada plan en el mes $n$.

1. b) ¿En qué mes coincide por primera vez la paga mensual de ambos planes?

1. c) ¿En qué mes el total acumulado del plan B supera por primera vez al del plan A? Justifícalo con las fórmulas de la suma y por tanteo razonado.