Ejercicios: Cálculo de anualidades y mensualidades

Lucía está planeando asistir a un festival de música cuando termine el Bachillerato, dentro de 3 años. Para sufragar los gastos, decide abrir una cuenta de ahorro joven que le ofrece un interés del $3 \%$ anual compuesto. Si deposita $250 \euro$ al principio de cada año, ¿qué capital total habrá acumulado para su viaje al finalizar los tres años?

Un estudiante de 1º de Bachillerato quiere comprarse un ordenador "gaming" que cuesta $1.200 \euro$. Una tienda de informática le permite pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales a un interés del $6 \%$ anual nominal. Sabiendo que el interés mensual se calcula como $i = \frac{0,06}{12}$, utiliza la fórmula de la renta de amortización para calcular el importe de la mensualidad que deberá pagar al final de cada mes.

Para ahorrar para el carné de conducir, Carlos decide ingresar $60 \euro$ al mes en una cuenta bancaria al finalizar cada periodo. El banco le ofrece un interés del $2,4 \%$ anual compuesto con capitalización mensual. Calcula el dinero que tendrá acumulado tras 2 años (24 meses) realizando estos ingresos.

Nota: Recuerda convertir el interés anual a interés mensual dividiendo por 12.

Una familia solicita un préstamo de $5.000 \euro$ para comprar una moto de segunda mano. El banco les concede el préstamo a un interés del $5 \%$ anual, que deben devolver en 4 anualidades iguales pagaderas al final de cada año. Determina la cuantía de esa anualidad de amortización.

Un club de e-sports de un instituto decide ahorrar para renovar sus sillas. Ingresan $100 \euro$ al comienzo de cada trimestre en una cuenta que rinde el $4 \%$ anual compuesto. Si la capitalización es trimestral ($n=4$ periodos al año), calcula el capital que habrán conseguido ahorrar al cabo de un año completo (4 ingresos).

Calcula la mensualidad necesaria para amortizar una deuda de $2.400 \euro$ contraída por la compra de una cámara fotográfica profesional, si el préstamo se devuelve en 2 años a un tipo de interés nominal del $4,8 \%$ anual con pagos mensuales.

Un joven ahorrador decide ingresar $500 \euro$ cada año al principio del mismo en un fondo de inversión que garantiza un $3,5 \%$ de interés anual compuesto. Utiliza la fórmula del capital final de una anualidad de capitalización para hallar cuánto dinero tendrá al cabo de 5 años.

Marta ha comprado un patinete eléctrico financiando los $450 \euro$ que cuesta mediante un préstamo. El banco le cobra cuotas mensuales fijas de $40 \euro$ al final de cada mes durante un año. Si los intereses totales pagados son la diferencia entre la suma de todas las cuotas y el precio al contado, ¿cuánto dinero ha pagado Marta solo en concepto de intereses al finalizar el año?

Para sufragar los gastos de un viaje de fin de curso dentro de dos años, un grupo de estudiantes decide abrir una cuenta de ahorro. Se comprometen a ingresar $80$ € al final de cada mes. El banco les ofrece un interés del $3,6\%$ T.A.E. con capitalización mensual.

1. a) Calcula el interés nominal mensual equivalente.
2. b) ¿De qué capital dispondrá el grupo al finalizar los $24$ meses?
3. c) ¿A cuánto ascienden los intereses totales generados por la operación?

Una familia solicita un préstamo de $15.000$ € para reformar la cocina y el baño de su vivienda. El banco le concede el crédito a un interés anual del $5\%$ a devolver en $4$ años mediante cuotas mensuales fijas vencidas (al final de cada mes).

1. a) Determina la cuantía de la mensualidad que deberá abonar.
2. b) Calcula el capital total que acabará pagando al banco tras los $4$ años.
3. c) ¿Qué porcentaje del capital total pagado corresponde a los intereses?

Lucas quiere comprarse una moto eléctrica que cuesta $4.200$ €. Para no descapitalizarse, decide financiarla al $6\%$ de interés anual nominal, comprometiéndose a pagar mensualidades de $120$ €.

1. a) Utiliza la fórmula de las anualidades de amortización para calcular cuántos meses tardará en pagar la moto (necesitarás el uso de logaritmos).
2. b) Si decide pagar la moto en exactamente $3$ años, ¿cuál debería ser la cuota mensual fija?

Una familia desea constituir un fondo de ahorro para la universidad de su hijo. Planean ingresar $1.500$ € al comienzo de cada año durante los próximos $10$ años. La entidad financiera les asegura un interés compuesto del $4,25\%$ anual.

1. a) ¿Qué capital habrán acumulado justo después de realizar el décimo ingreso?
2. b) ¿Qué capital tendrán un año después del último ingreso (al finalizar el décimo año)?

Nota: Ten en cuenta si la anualidad es prepagable (al inicio) o pospagable (al final).

Un pequeño comercio compra una furgoneta de reparto valorada en $22.000$ €. Entrega una entrada de $4.000$ € y financia el resto al $4,8\%$ de interés anual nominal. El contrato estipula el pago mediante anualidades constantes durante $5$ años.

1. a) Calcula el importe de la anualidad de amortización.
2. b) Elabora las dos primeras filas de la tabla de amortización (indicando para cada año: capital pendiente, intereses, capital amortizado y cuota).

Un inversor particular quiere tener ahorrados $50.000$ € en un plazo de $8$ años. Para ello, va a realizar depósitos trimestrales en un fondo que le ofrece un $3\%$ de interés anual nominal.

1. a) ¿Cuál es el interés trimestral aplicado?
2. b) ¿Qué cantidad debe ingresar cada trimestre para lograr su objetivo?
3. c) Si al cabo de $4$ años el interés del mercado sube al $4\%$ anual nominal, ¿cómo variará la cuota trimestral para los $4$ años restantes si quiere mantener el mismo objetivo final?

Calcula la T.A.E. de un préstamo bancario que se publicita con un interés nominal del $6\%$ anual si los pagos de las cuotas son:

1. a) Mensuales.
2. b) Semestrales.
3. c) ¿En qué caso el coste real para el cliente es mayor? Justifica tu respuesta comparando los resultados obtenidos.

Un deportista profesional decide ahorrar parte de su ficha para cuando termine su carrera deportiva. Ingresa $500$ € al final de cada mes en una cuenta de ahorro durante $15$ años. La cuenta le garantiza un $4,5\%$ de interés anual nominal con capitalización mensual.

1. a) ¿Qué capital tendrá acumulado en el momento de su retirada deportiva?
2. b) Si una vez retirado, desea recibir una renta mensual fija durante los siguientes $20$ años agotando todo el capital acumulado (suponiendo que el banco mantiene el mismo interés del $4,5\%$), ¿cuál será la cuantía de esa mensualidad?

Una joven emprendedora de 22 años decide planificar su independencia financiera. Su objetivo es tener ahorrados $100.000$ € cuando cumpla 35 años. Para ello, establece el siguiente plan de ahorro en una cuenta con un interés compuesto del $4,5 \%$ anual:

1. Durante los primeros 5 años, realizará aportaciones mensuales de $a$ euros al principio de cada mes.

2. Durante los siguientes 8 años, aumentará su capacidad de ahorro y aportará $2a$ euros al principio de cada mes.

Calcula el valor de la mensualidad inicial $a$ necesaria para alcanzar su objetivo.

Una empresa de transportes necesita renovar su flota adquiriendo tres camiones por un valor total de $360.000$ €. Para financiar la compra, el banco les ofrece dos modalidades:

• Modalidad A: Un préstamo a 6 años con una cuota mensual fija, a un interés nominal anual del $4,8 \%$ con capitalización mensual.

• Modalidad B: Un préstamo con "carencia total" durante los dos primeros años (no se paga nada, pero los intereses se acumulan al capital inicial). Los 4 años restantes se amortiza la deuda resultante mediante cuotas mensuales constantes a un interés nominal anual del $5,2 \%$.

Determina cuál de las dos modalidades supone un mayor desembolso total para la empresa y calcula la diferencia entre ambas opciones.

Unos padres crean un fondo para la universidad de su hija con un interés compuesto del $6 \%$ anual. Deciden realizar aportaciones de $2.400$ € al comienzo de cada año. Sin embargo, debido a la inflación, deciden que cada anualidad sea un $3 \%$ superior a la del año anterior (progresión geométrica de las cuotas).

Calcula el capital acumulado en el fondo al cabo de 15 años.

Ayuda: Deberás sumar los valores capitalizados de cada anualidad de forma individual y observar que forman una nueva progresión geométrica.

Un profesional autónomo desea comprar un local valorado en $120.000$ €. Dispone de dos opciones financieras:

1. Ahorrar durante 10 años en un fondo de inversión que garantiza un $4 \%$ TAE, realizando ingresos mensuales al principio de cada mes, para comprarlo al contado al final del periodo (suponiendo que el precio del local no varía).

2. Comprarlo hoy pidiendo un préstamo hipotecario a 10 años al $4 \%$ de interés nominal anual, con capitalización mensual y cuotas al final de cada mes.

Calcula la diferencia entre la mensualidad necesaria para ahorrar el capital (Opción 1) y la mensualidad necesaria para pagar el préstamo (Opción 2). Razona cuál de las dos estrategias es más eficiente desde el punto de vista del flujo de caja mensual.

Una familia quiere constituir un fondo solidario para financiar una beca de estudios a largo plazo. Su plan es ingresar una cantidad fija $a$ al final de cada mes durante 20 años en una cuenta al $5 \%$ de interés compuesto anual (capitalización mensual).

Al terminar esos 20 años, quieren que el capital acumulado les permita retirar $1.500$ € al mes durante los siguientes 15 años (periodo de pago de la beca), momento en el cual la cuenta debe quedar a cero.

Calcula la cuantía de la mensualidad de ahorro $a$ que deben aportar durante la primera fase.

Calcula la Tasa Anual Equivalente (TAE) de un préstamo bancario que se anuncia al $6 \%$ de interés nominal anual con capitalización mensual, si además el banco cobra una comisión de apertura del $1,5 \%$ del capital prestado y un seguro de vida obligatorio de $250$ € que se paga en el momento inicial. Supón que el capital solicitado es de $20.000$ € a devolver en un único pago al cabo de un año.

¿Cómo variaría esta TAE si el capital solicitado fuera de $50.000$ € en las mismas condiciones? Explica por qué la TAE depende en este caso del importe solicitado.