Ejercicios: Tablas de contingencia

En un instituto se ha realizado una encuesta a los $100$ alumnos de 1.º de Bachillerato sobre su actividad extraescolar preferida. Los datos se han empezado a organizar en la siguiente tabla de contingencia, pero faltan algunos valores por completar.

	Deporte	Música	Total
Chicas	$35$		$55$
Chicos		$20$
Total			$100$

Copia la tabla en tu cuaderno y complétala hallando las frecuencias absolutas que faltan.

Una tienda de videojuegos ha registrado las ventas de la última mañana según el tipo de consola y el formato del juego. Se vendieron $12$ juegos de Nintendo Switch en formato físico y $8$ en digital. De la PlayStation 5, se vendieron $15$ en formato físico y $10$ en digital.

Organiza esta información en una tabla de doble entrada (contingencia) incluyendo las frecuencias marginales (los totales de cada fila y columna).

Se ha preguntado a un grupo de $50$ personas si practican deporte habitualmente y si son fumadores. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

	Deportista	No deporte	Total
Fumador	$5$	$15$	$20$
No Fumador	$25$	$5$	$30$
Total	$30$	$20$	$50$

Calcula la tabla de frecuencias relativas conjuntas. (Expresa cada valor como el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre el total de la muestra $N=50$).

A partir de la tabla anterior sobre deportistas y fumadores, responde a las siguientes cuestiones:

1. a) ¿Cuál es la frecuencia marginal de los "Deportistas"? ¿Qué porcentaje representan sobre el total?
2. b) ¿Cuál es la frecuencia marginal de los "No Fumadores"? ¿Qué porcentaje representan sobre el total?

En una empresa de mensajería se analiza el medio de transporte usado por sus trabajadores según su lugar de residencia:

	Vive en ciudad	Vive fuera	Total
Transporte Público	$40$	$10$	$50$
Vehículo Propio	$20$	$30$	$50$
Total	$60$	$40$	$100$

Si elegimos al azar a un trabajador que vive en la ciudad, ¿cuál es la frecuencia relativa de que use el transporte público? (Calcula la frecuencia condicionada).

Se ha realizado un estudio sobre el uso de gafas en una clase de $30$ alumnos. Sabemos que hay $16$ chicas, de las cuales $4$ llevan gafas. También sabemos que en total hay $10$ alumnos (chicos y chicas) que llevan gafas.

Completa la tabla de contingencia y determina cuántos chicos no llevan gafas.

Un cine analiza la preferencia de palomitas (saladas o dulces) según el tipo de película (animación o terror).

	Animación	Terror	Total
Saladas	$24$	$36$	$48$
Dulces	$56$	$16$	$72$
Total	$80$	$52$	$132$

Observa la tabla y responde:

1. a) ¿Cuál es la preferencia mayoritaria (moda) entre los espectadores de películas de animación?
2. b) ¿Qué porcentaje de los espectadores que prefieren palomitas dulces han ido a ver una película de terror?

Dada la siguiente tabla de frecuencias relativas sobre el hábito de lectura y el uso de bibliotecas:

	Lee mucho	Lee poco	Total
Usa Biblioteca	$0,25$	$0,05$	$0,30$
No usa Biblioteca	$0,15$	$0,55$	$0,70$
Total	$0,40$	$0,60$	$1,00$

Si la muestra total es de $200$ personas, calcula cuántas personas pertenecen a la categoría de los que "Leen mucho" y "No usan la biblioteca".

En un estudio sobre el consumo de contenidos digitales entre 200 adolescentes, se ha analizado la plataforma preferida para ver series y películas según el dispositivo principal de acceso. Los datos recogidos son los siguientes: 65 usan principalmente el móvil (de los cuales 40 prefieren TikTok y el resto Netflix), 85 usan el ordenador (50 prefieren Netflix y el resto YouTube) y 50 usan la Smart TV (35 prefieren Netflix y el resto YouTube).

a) Organiza la información en una tabla de contingencia de frecuencias absolutas que relacione las variables "Dispositivo" y "Plataforma".

b) Calcula las frecuencias marginales de cada variable.

c) ¿Qué porcentaje del total de adolescentes prefiere Netflix?

Se ha realizado una encuesta a los estudiantes de un centro sobre su actividad extraescolar favorita (Deporte o Música) diferenciando por nivel educativo ($1^\circ$ o $2^\circ$ de Bachillerato). Los resultados se muestran en la siguiente tabla incompleta:

Curso	Deporte	Música	Total
$1^\circ$ Bach	$42$		$70$
$2^\circ$ Bach		$24$
Total	$78$		$130$

a) Completa los valores que faltan en la tabla de contingencia.

b) Si elegimos un alumno al azar de $2^\circ$ de Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que su actividad favorita sea el Deporte?

c) Entre los alumnos que prefieren la Música, ¿qué porcentaje pertenece a $1^\circ$ de Bachillerato?

Para investigar la relación entre el uso de Inteligencia Artificial (IA) para hacer deberes y el rendimiento académico, se ha encuestado a $150$ alumnos. Los datos muestran que $60$ alumnos usan la IA frecuentemente, de los cuales $15$ tienen notas excelentes. Por otro lado, de los alumnos que no usan la IA, $45$ tienen notas excelentes.

a) Construye la tabla de frecuencias relativas respecto al total.

b) Calcula la distribución de la variable "Uso de IA" condicionada a tener "Notas excelentes".

c) ¿Podemos afirmar que las variables son independientes? Justifica tu respuesta comparando una frecuencia relativa conjunta con el producto de las marginales correspondientes.

Una empresa de videojuegos quiere saber si el tipo de consola que poseen los usuarios está relacionado con su suscripción a servicios premium. Se analizan $300$ usuarios:

Suscripción	Consola A	Consola B	Consola C
Premium	$45$	$60$	$15$
Básica	$75$	$90$	$15$

a) Obtén la tabla de frecuencias relativas condicionadas por columnas (tipo de consola).

b) A la vista de los resultados del apartado anterior, ¿en qué consola es más frecuente encontrar un usuario con suscripción Premium?

c) Representa mediante un diagrama de barras apiladas la distribución de la suscripción según el tipo de consola.

En un club deportivo, el $60\%$ de los socios son hombres y el $40\%$ son mujeres. Se sabe que el $30\%$ de los hombres practica natación, mientras que el $55\%$ de las mujeres practica natación. El resto de socios practica tenis.

a) Si el club tiene un total de $500$ socios, construye la tabla de contingencia de frecuencias absolutas.

b) Calcula la frecuencia relativa marginal de los socios que practican tenis.

c) ¿Cuál es el perfil mayoritario en el club (combinación de género y deporte)?

Se analiza el hábito de lectura de un grupo de personas según su nivel de estudios. Los datos se presentan en esta tabla de frecuencias relativas respecto al total de la muestra:

Estudios	Lee a diario	Lee ocasionalmente	No lee
Secundarios	$0,12$	$0,18$	$0,10$
Universitarios	$0,25$	$0,20$	$0,05$

a) Calcula las frecuencias relativas marginales de la variable "Estudios".

b) Si sabemos que una persona no lee nunca, ¿qué es más probable: que tenga estudios secundarios o universitarios? Razona comparando las frecuencias condicionadas correspondientes.

c) Si la muestra total fuera de $400$ personas, ¿cuántas de ellas serían universitarias que leen ocasionalmente?

Se ha realizado un estudio sobre la preferencia de tipo de alimentación (Omnívora o Vegetariana) en función de la zona de residencia (Urbana o Rural). Se han obtenido los siguientes datos:

Residencia	Omnívora	Vegetariana	Total
Urbana	$120$	$80$	$200$
Rural	$90$	$10$	$100$
Total	$210$	$90$	$300$

a) Calcula la tabla de frecuencias relativas por filas.

b) ¿Existe dependencia entre la zona de residencia y el tipo de alimentación? Compara las distribuciones condicionadas de alimentación para residentes urbanos y rurales.

c) ¿Qué valor debería tener la frecuencia de "Rural-Vegetariana" para que las variables fueran independientes, manteniendo los totales marginales de residencia?

Un instituto quiere analizar si el uso del transporte público para ir a clase depende de la distancia al centro. Se clasifican $120$ alumnos en "Cerca" ($< 2$ km) y "Lejos" ($\geq 2$ km).

a) Completa la tabla sabiendo que el $25\%$ de los alumnos vive cerca, y que de los alumnos que viven lejos, el $80\%$ usa el transporte público. Además, ningún alumno que vive cerca usa el transporte público.

b) Obtén la tabla de frecuencias relativas respecto al total.

c) Calcula la frecuencia relativa de "vivir lejos" condicionada a "no usar transporte público".

Un estudio sobre el impacto de las redes sociales en el bienestar emocional de los adolescentes de 1.º de Bachillerato ha clasificado a una muestra de 200 alumnos según el tiempo diario de uso de pantallas y su nivel de satisfacción vital autoinformado. Los datos incompletos obtenidos son los siguientes:

• El 40 % de la muestra total declara una satisfacción vital "Baja".

• Entre los que usan las redes "Más de 3 horas", el 60 % presenta una satisfacción vital "Baja".

• Hay 50 alumnos que usan las redes "Menos de 1 hora", de los cuales solo el 10 % tiene satisfacción "Baja".

• El número de alumnos con satisfacción "Alta" que usan las redes "Entre 1 y 3 horas" es el doble que los de satisfacción "Alta" con "Más de 3 horas".

• En total, 70 alumnos usan las redes "Entre 1 y 3 horas".

A partir de esta información:

1. a) Reconstruye la tabla de contingencia completa con las frecuencias absolutas.
2. b) Calcula la distribución de la variable "Satisfacción Vital" condicionada a cada uno de los niveles de "Uso de pantallas".
3. c) ¿Podemos afirmar que las variables son independientes? Justifica tu respuesta comparando las frecuencias relativas condicionadas.

Una consultora tecnológica analiza la relación entre el uso de Inteligencia Artificial (IA) en el estudio y la calificación media en una muestra de estudiantes. Se sabe que:

1. El $30\%$ de los estudiantes no utiliza nunca la IA.

2. El $25\%$ de los estudiantes tiene una calificación media de "Sobresaliente".

3. La probabilidad de que un estudiante tenga "Sobresaliente" sabiendo que usa la IA habitualmente es de $0,4$.

4. El total de la muestra es de 400 alumnos.

5. Se ha observado que el suceso "Tener calificación Sobresaliente" y "No usar nunca la IA" son independientes.

Calcula:

1. a) El número de alumnos que no usan nunca la IA y tienen una calificación de Sobresaliente.
2. b) La probabilidad de que un alumno use la IA habitualmente sabiendo que su calificación no es de Sobresaliente.
3. c) Completa la tabla de contingencia dividiendo la muestra en dos categorías de uso (IA / No IA) y dos de calificación (Sobresaliente / Resto).

En un centro de salud se investiga la relación entre la práctica de deporte federado y el tipo de lesiones sufridas en jóvenes. Disponemos de la siguiente tabla de frecuencias relativas condicionadas por columnas (tipo de deporte):

Lesión / Deporte	Baloncesto ($D_1$)	Fútbol ($D_2$)	Atletismo ($D_3$)
Muscular ($L_1$)	$0,30$	$0,55$	$0,40$
Ósea ($L_2$)	$0,70$	$0,45$	$0,60$

Si sabemos que el $40\%$ de los jóvenes de la muestra juega al fútbol, el $35\%$ al baloncesto y el resto practica atletismo:

1. a) Obtén la tabla de frecuencias relativas conjuntas.
2. b) Calcula la probabilidad de que un joven elegido al azar practique baloncesto si sabemos que ha sufrido una lesión ósea.
3. c) ¿En qué deporte es más probable sufrir una lesión muscular? ¿Cambia la respuesta si analizamos las frecuencias absolutas respecto al total de la población? Justifica tu respuesta.

El ayuntamiento de una ciudad quiere fomentar el uso del transporte sostenible. Tras encuestar a 500 ciudadanos sobre su medio de transporte principal ($X$) y su tramo de edad ($Y$), se han obtenido los siguientes datos de frecuencias marginales:

• $n_{Bus} = 180$; $n_{Bici} = 120$; $n_{Coche} = 200$.

• $n_{Joven} = 150$; $n_{Adulto} = 250$; $n_{Senior} = 100$.

Además, se conoce que el coeficiente de contingencia basado en las frecuencias relativas indica que:

1. El $60\%$ de los que usan bici son jóvenes.

2. Los seniors no usan la bicicleta en absoluto.

3. El $50\%$ de los usuarios de coche son adultos.

4. El suceso "Ser usuario de Bus" y "Ser Adulto" presenta una frecuencia absoluta conjunta de 90 personas.

1. a) Determina la tabla de frecuencias absolutas completa.
2. b) Estudia la dependencia entre la edad y el uso del coche mediante la comparación de la distribución marginal y la condicionada.
3. c) ¿Cuál es el perfil de transporte más frecuente para un ciudadano Senior?

Se analiza el mercado laboral de los recién graduados en una región. Las variables son "Tipo de Formación" ($X$: Universitaria o FP) y "Situación Laboral" ($Y$: Empleado, Desempleado o Prácticas). Se han perdido parte de los registros de una muestra de 1000 individuos, pero se conservan las distribuciones condicionadas por filas (Tipo de Formación):

$X \setminus Y$	Empleado	Desempleado	Prácticas
Universitaria	$0,65$	$0,10$	$0,25$
FP	$0,75$	$0,15$	$0,10$

Sabiendo que la frecuencia marginal de "Empleado" es de 690 personas:

1. a) Calcula cuántos individuos de la muestra tienen formación universitaria y cuántos tienen FP.
2. b) Determina la distribución de la variable "Tipo de Formación" condicionada a estar en "Desempleado".
3. c) Si una empresa busca perfiles para un contrato de prácticas, ¿en qué grupo de formación encontrará un mayor número absoluto de candidatos según este estudio?

Un estudio sociológico sobre hábitos de lectura analiza la relación entre el formato preferido (Papel, E-book, Audio) y la cantidad de libros leídos al año (Menos de 5, Entre 5 y 12, Más de 12).

Se sabe que en la muestra:

1. El formato "Papel" es el preferido por el $50\%$ de los lectores.

2. El formato "Audio" es el menos frecuente, con solo el $10\%$.

3. Entre los lectores de "E-book", las tres categorías de cantidad de libros tienen la misma frecuencia relativa ($1/3$ cada una).

4. El suceso "Leer más de 12 libros" es independiente del formato "Papel", y se sabe que el $20\%$ de los lectores totales lee más de 12 libros.

5. El $10\%$ del total de la muestra son lectores de "Papel" que leen "Menos de 5" libros.

Halla:

1. a) La tabla de frecuencias relativas conjuntas.
2. b) La distribución de la cantidad de libros leída condicionada a los usuarios de "Audio", sabiendo que ninguno de ellos lee menos de 5 libros al año.
3. c) ¿Qué porcentaje de los lectores que leen "Entre 5 y 12" libros prefieren el formato Papel?

En un estudio sobre el consumo de música en streaming entre adolescentes, se comparan dos plataformas ($A$ y $B$) y la modalidad de cuenta (Gratuita o Premium).

Los datos porcentuales indican:

• El $60\%$ de los usuarios utiliza la plataforma $A$.

• El $70\%$ de los usuarios de la plataforma $B$ tienen cuenta Gratuita.

• En el total de la muestra, el porcentaje de cuentas Premium es del $40\%$.

1. a) Calcula el porcentaje de usuarios de la plataforma $A$ que tienen cuenta Premium.
2. b) Si elegimos un usuario con cuenta Premium, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la plataforma $B$?
3. c) Determina si existe independencia entre la plataforma elegida y la modalidad de cuenta. Justifica numéricamente.

Una plataforma de e-commerce quiere analizar la lealtad de sus clientes. Se registra si el cliente ha realizado una compra en el último mes ($C$) y si está suscrito a la Newsletter ($S$). Los datos de una muestra de 1000 clientes son:

• El $35\%$ de los clientes han comprado en el último mes.

• De los que no han comprado, el $80\%$ no están suscritos a la Newsletter.

• La probabilidad de haber comprado en el último mes habiendo recibido la Newsletter es de $0,6$.

1. a) Elabora la tabla de contingencia de frecuencias absolutas.
2. b) Si un cliente no está suscrito a la Newsletter, ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado en el último mes?
3. c) Un analista afirma: "La Newsletter triplica la probabilidad de compra". Basándote en las frecuencias relativas condicionadas, confirma o desmiente esta afirmación con cálculos precisos.