Ejercicios: La distribución binomial

En un popular juego de mesa de estrategia, un jugador lanza un dado especial de cuatro caras (tetraédrico) numeradas del 1 al 4. Se define la variable aleatoria $X$ como "puntuación obtenida en el dado".

1. a) Elabora la tabla de la distribución de probabilidad de la variable $X$.
2. b) Calcula la esperanza matemática o media $\mu$ e interpreta su significado en el contexto del juego.

Una cafetería cercana al instituto ha analizado el número de cafés que pide cada cliente en una mañana. La distribución de probabilidad de la variable $X$ = "número de cafés por cliente" viene dada por la siguiente tabla:

1. a) Halla el valor de $k$ para que sea una distribución de probabilidad válida.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente pida al menos 2 cafés?

Determina razonadamente si los siguientes experimentos aleatorios pueden modelizarse mediante una distribución binomial. En caso afirmativo, indica sus parámetros $n$ y $p$:

1. a) Lanzar una moneda 15 veces y anotar el número de caras obtenidas.
2. b) Extraer, una a una y sin devolución, 3 cartas de una baraja española y contar el número de oros.
3. c) Preguntar a 40 personas elegidas al azar en un centro comercial si han visto la última película de superhéroes, sabiendo que el $30\%$ de la población ya la ha visto.

Un tirador con arco tiene una probabilidad de hacer diana del $80\%$. Si realiza una tanda de 10 lanzamientos independientes, calcula los parámetros de la distribución binomial correspondiente:

1. a) Número esperado de dianas (media $\mu$).
2. b) Desviación típica $\sigma$.

Se sabe que el $10\%$ de los mensajes que recibe un influencer en sus redes sociales son críticas negativas (el resto son comentarios positivos o neutros). Si hoy ha recibido 6 mensajes nuevos:

1. a) Define la variable aleatoria y su distribución.
2. b) Calcula la probabilidad de que exactamente 2 de esos mensajes sean críticas negativas.

En una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un circuito sea defectuoso es de $0,02$. Si se empaquetan en cajas de 5 unidades, calcula la probabilidad de que en una caja no haya ningún circuito defectuoso.

Un examen de tipo test consta de 8 preguntas con 4 opciones cada una, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde a todas las preguntas al azar:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta?
2. b) Utilizando el suceso contrario, calcula la probabilidad de que acierte al menos una pregunta.

Dada una distribución binomial $X \sim B(4; 0,3)$, construye su tabla de distribución de probabilidad completa calculando las probabilidades para todos los valores posibles de la variable ($k = 0, 1, 2, 3, 4$). Comprueba que la suma de todas las probabilidades es igual a 1.

Un estudio reciente sobre hábitos digitales afirma que el $35 \%$ de los adolescentes españoles de entre 15 y 16 años prefiere utilizar pódcast como fuente principal de entretenimiento frente a las redes sociales convencionales. Si seleccionamos un grupo aleatorio de 10 estudiantes de 1.º de Bachillerato:

1. a) Justifica por qué este experimento se puede modelizar mediante una distribución binomial y define sus parámetros $n$ y $p$.
2. b) Calcula la probabilidad de que exactamente 4 de ellos prefieran los pódcast.
3. c) Halla la media y la desviación típica del número de estudiantes que prefieren los pódcast en este grupo.

En una partida de un conocido juego de mesa, un jugador necesita sacar al menos un "6" al lanzar un dado equilibrado de seis caras en 5 intentos para evitar ser eliminado. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale el número "6" en los 5 lanzamientos.

1. a) Determina la función de probabilidad de la variable $X$.
2. b) Calcula la probabilidad de que el jugador no sea eliminado (es decir, que obtenga al menos un seis).
3. c) Representa gráficamente la distribución mediante un diagrama de barras.

Una empresa de mensajería utiliza furgonetas eléctricas para sus repartos urbanos. Se sabe por experiencia que la probabilidad de que una furgoneta necesite una recarga adicional antes de terminar su turno es de $0,15$. Si la empresa tiene una flota de 8 furgonetas operando simultáneamente:

1. a) Calcula la probabilidad de que, en un día determinado, como máximo 2 furgonetas necesiten la recarga adicional.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 6 furgonetas completen su turno sin necesidad de recarga extra? (Ten cuidado con definir correctamente qué consideras "éxito").

Una cadena de tiendas de ropa "vintage" ha comprobado que el $20 \%$ de los clientes que entran en su establecimiento realizan una compra superior a $50$ €. Si en una mañana entran 12 clientes de forma independiente:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes que gasten más de $50$ € sea igual a la media de la distribución?
2. b) Calcula la probabilidad de que al menos 3 clientes realicen dicha compra.

Un servidor de correo electrónico detecta que el $10 \%$ de los mensajes que recibe son "spam" (correo no deseado). El filtro de seguridad analiza los mensajes en bloques de 20.

1. a) Halla el número esperado de correos "spam" por bloque y su desviación típica.
2. b) Calcula la probabilidad de que en un bloque haya exactamente un mensaje de "spam".
3. c) Si el bloque se marca como "sospechoso" cuando contiene más de 3 mensajes de "spam", ¿cuál es la probabilidad de que un bloque sea marcado como tal?

En un centro deportivo, el $75 \%$ de los usuarios inscritos en clases de natación son capaces de nadar 100 metros seguidos sin descansar. Si elegimos a 6 usuarios al azar:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos ellos sean capaces de nadar esa distancia?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea capaz?
3. c) Calcula la probabilidad de que la mitad de ellos (exactamente 3) cumplan el requisito.

Un examen de tipo test consta de 10 preguntas con 4 opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada decide responder a todas las preguntas al azar.

1. a) Determina la probabilidad de que el alumno acierte exactamente 5 preguntas.
2. b) Para aprobar el examen se necesita contestar correctamente al menos 5 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe por puro azar?
3. c) ¿Cuál es la calificación más probable (moda) que obtendrá el alumno?

Se ha observado que el $5 \%$ de las bombillas LED de una determinada marca salen defectuosas de fábrica. Un hotel compra cajas de 15 unidades para renovar la iluminación de sus pasillos.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja no haya ninguna bombilla defectuosa?
2. b) Si el hotel devuelve la caja si encuentra más de una bombilla defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que una caja sea devuelta?
3. c) Si se compran 100 cajas, ¿en cuántas de ellas se espera encontrar exactamente 2 bombillas defectuosas? (Utiliza la probabilidad calculada para una sola caja).

Un creador de contenido en una conocida red social sabe que la probabilidad de que un seguidor comparta uno de sus vídeos es exactamente $p = 0,02$. Si el creador publica una serie de vídeos y quiere estar seguro, con una probabilidad superior al $95\%$, de que al menos uno de sus vídeos sea compartido por un seguidor específico que visualiza todos sus contenidos:

1. a) Determina el número mínimo de vídeos, $n$, que debe publicar para alcanzar dicho objetivo.

1. b) Si finalmente publica $n = 150$ vídeos, calcula la esperanza matemática y la desviación típica del número de vídeos compartidos por ese seguidor. Interpreta el significado de la esperanza en este contexto.

En una cadena de montaje de componentes para e-sports, se ha determinado que la probabilidad de que un microchip sea defectuoso es $p$. Se sabe que en un lote de $n$ microchips, la media de componentes defectuosos es de $12$ y la varianza es de $10,56$.

1. a) Calcula los valores de los parámetros $n$ (tamaño del lote) y $p$ (probabilidad de defecto).

1. b) Si se extrae una muestra aleatoria de $10$ microchips de un lote nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente $2$ defectuosos? ¿Y la probabilidad de que haya como máximo uno?

En el club de tiro con arco de un instituto, la probabilidad de que una arquera acierte en la diana en un lanzamiento es $p$. Se ha observado que la probabilidad de que, en una serie de $4$ lanzamientos, todos sean aciertos es exactamente el doble de la probabilidad de que solo $3$ de ellos lo sean.

1. a) Calcula el valor de $p$.

1. b) Con el valor de $p$ obtenido, si realiza una serie de $6$ lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que falle al menos $2$ de ellos?

Para una variable aleatoria discreta $X$ que sigue una distribución binomial $B(n, p)$, se conoce que la probabilidad de obtener cero éxitos es $P(X=0) = 0,0001$ y la probabilidad de obtener $n$ éxitos es $P(X=n) = 0,01$.

1. a) Utilizando las propiedades de la potencia, halla el valor de $n$ y el de $p$.

1. b) Calcula la probabilidad de obtener un número de éxitos igual a la moda de la distribución. Ayuda: La moda en una binomial es el valor entero $k$ tal que $(n+1)p - 1 \le k \le (n+1)p$.

Dos jugadores de e-sports, Alex y Bea, compiten en un minijuego de puntería. Alex tiene una probabilidad de acierto del $70\%$, mientras que Bea tiene una probabilidad del $60\%$. Si cada uno realiza $5$ disparos de forma independiente:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Alex consiga más aciertos que Bea?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre los dos sumen exactamente $9$ aciertos?

Un examen de oposición consta de $80$ preguntas tipo test con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un estudiante decide responder al azar a $12$ preguntas que no sabe contestar. Sea $X$ la variable que cuenta el número de respuestas acertadas de esas $12$.

1. a) Calcula el intervalo $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$ para esta variable.

1. b) Determina la probabilidad de que el número de aciertos se encuentre fuera de dicho intervalo. Comenta si el resultado obtenido es coherente con la dispersión esperada en una distribución de este tipo.

Se lanza un dado de seis caras $n$ veces. Sea $X$ la variable aleatoria que expresa el número de veces que se obtiene un múltiplo de $3$. Si se sabe que la probabilidad de no obtener ningún múltiplo de $3$ en los $n$ lanzamientos es de $16/81$:

1. a) Calcula el número de lanzamientos $n$.

1. b) Para ese valor de $n$, calcula la probabilidad de obtener al menos dos veces un múltiplo de $3$ sabiendo que ha salido al menos una vez.

Una plataforma de streaming sabe que el $25\%$ de sus usuarios cancela la suscripción antes del tercer mes. En un grupo de $8$ amigos que se han suscrito simultáneamente:

1. a) Calcula la probabilidad de que el número de amigos que cancelen la suscripción sea superior a la media más una desviación típica.

1. b) Si representamos por $P(X=k)$ la probabilidad de que cancelen exactamente $k$ amigos, justifica razonadamente, sin calcular todos los valores, cuál es el valor de $k$ que maximiza esta probabilidad.