Ejercicios: Inecuaciones de primer y segundo grado

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado y representa la solución en la recta real utilizando un intervalo:

$5 - 2x \le 11$

Un grupo de amigos quiere organizar una fiesta de graduación. El alquiler del local cuesta $150$ € fijos, y el catering cuesta $12$ € por cada asistente. Si disponen de un presupuesto máximo de $600$ €, plantea una inecuación y calcula cuál es el número máximo de personas que pueden asistir a la fiesta.

Determina el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado analizando el signo de los factores:

$x^2 - 9 > 0$

Comprueba si los valores $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$ son soluciones de la inecuación cuadrática:

$x^2 - 5x + 4 \le 0$

Halla la solución del siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita:

$\begin{cases} x + 3 > 1 \\ 2x - 4 \le 2 \end{cases}$

El área de un rectángulo de base $5$ cm y altura $(x - 2)$ cm debe ser menor que $30$ cm². ¿Qué valores puede tomar la variable $x$? Ten en cuenta que la altura debe ser siempre una cantidad positiva.

Resuelve la siguiente inecuación con paréntesis y simplifica el resultado:

$3(x - 1) + 2 > 5x - 7$

Una empresa de telefonía ofrece un plan por el que cobra $10$ € de cuota fija mensual más $0,05$ € por cada minuto de llamada. Otra empresa cobra $5$ € de cuota fija pero $0,15$ € por minuto. ¿A partir de cuántos minutos de conversación al mes resulta más económica la primera empresa?

Un grupo de estudiantes de 1º de Bachillerato está organizando una graduación. Han calculado que los gastos fijos de alquiler del local y el DJ son de $450$ €. Además, el catering por cada asistente cuesta $12$ €. Si han recaudado un total de $1500$ € mediante la venta de papeletas y patrocinios, y quieren que al finalizar el evento les sobren al menos $210$ € para un viaje de fin de curso, redacta y resuelve una inecuación que determine el número máximo de personas, $x$, que pueden invitar.

En una competición de saltos, la altura $h$ (en metros) que alcanza un deportista respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -t^2 + 4t + 1,5$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el saltador se encuentra a una altura superior a los $4,5$ metros.

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo y representándola sobre la recta real:

Una empresa de fabricación de fundas para móviles ha determinado que sus beneficios mensuales, en cientos de euros, dependen del número de unidades producidas $x$ (en miles) según la función $B(x) = -2x^2 + 14x - 12$. ¿Entre qué valores de producción la empresa obtiene beneficios (es decir, $B(x) > 0$)?

Halla el conjunto de números reales que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:

El área de un jardín rectangular debe ser menor que $54$ $m^2$. Se sabe que el largo del jardín mide $3$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ a la medida del ancho, plantea una inecuación de segundo grado y determina los posibles valores que puede tomar dicha medida.

Resuelve la siguiente inecuación racional, teniendo especial cuidado con los valores que anulan el denominador:

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k = 0$, determina para qué valores del parámetro real $k$ la ecuación no tiene soluciones reales. Pista: Recuerda que para que no existan soluciones reales, el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ debe cumplir una inecuación específica.

Una empresa de servicios de consultoría estima que sus beneficios mensuales, expresados en miles de euros, vienen dados por la expresión racional $B(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 5}$, donde $x$ representa el número de proyectos gestionados simultáneamente. Por razones operativas, la empresa solo puede gestionar entre 0 y 10 proyectos. Determina el intervalo de proyectos para los cuales la empresa obtiene beneficios positivos pero menores o iguales a 4 mil euros, es decir, resuelve el sistema:

$0 < \frac{x^2 - 9}{x - 5} \leq 4$

En un experimento sociológico sobre la difusión de una noticia en una red social, se ha modelado que el número de personas que conocen la noticia (en cientos) tras $t$ horas sigue la función $N(t) = -t^2 + 12t - 20$. Al mismo tiempo, un equipo de moderación interviene eliminando publicaciones de forma que el alcance máximo permitido por la normativa de la plataforma debe ser inferior a $N(t) < 3t - 4$.

Calcula el intervalo de tiempo (valores de $t$ en horas) en el que la noticia se difunde de forma natural ($N(t) > 0$) pero su alcance ya supera el límite permitido por la plataforma.

Determina para qué valores del parámetro real $k$ la inecuación de segundo grado $x^2 + (k-2)x + k + 1 > 0$ se verifica para cualquier valor real de $x$. Aplica este resultado para explicar bajo qué condiciones un fondo de inversión que garantiza este rendimiento mínimo nunca entraría en pérdidas, independientemente de la fluctuación del mercado $x$.

Un fabricante de componentes electrónicos ha detectado que el coste unitario de producción $C$ depende de la temperatura de la sala $T$ (en ºC) según la expresión $C(T) = |T^2 - 40T + 375|$. Para que el producto sea competitivo en el mercado de las Ciencias Sociales, el coste unitario no debe superar los 25 euros.

Resuelve la inecuación $|T^2 - 40T + 375| \leq 25$ y determina los rangos de temperatura permitidos para la fabricación.

Una ONG distribuye lotes de alimentos ($x$) e higiene ($y$). Dispone de un presupuesto máximo de 2000€. Cada lote de alimentos cuesta 20€ y cada uno de higiene 10€. Por logística, deben enviar al menos 40 lotes de alimentos y el número de lotes de higiene no puede superar al doble de los de alimentos. Además, para que la ayuda sea equilibrada, la suma total de lotes debe ser al menos de 100.

Escribe el sistema de inecuaciones lineales con dos variables que representa estas restricciones y representa gráficamente la región factible en el plano.

Halla el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita, prestando atención a la simplificación de las fracciones y al estudio de signos de la inecuación cuadrática:

$\begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{x^2-1}{4} \geq 1 \\ |2x - 5| < 7 \end{cases}$

Se desea diseñar un jardín rectangular de manera que su perímetro sea exactamente de 60 metros. Si el área del jardín debe estar comprendida entre 125 y 200 metros cuadrados, ¿qué valores puede tomar la longitud del lado más largo del jardín? Expresa el resultado en forma de intervalo.

Resuelve la siguiente inecuación racional de segundo grado, asegurándote de considerar correctamente el dominio de la expresión y los intervalos donde el cociente cambia de signo:

$\frac{3}{x-2} \leq \frac{x}{x+3}$

Indica detalladamente los valores que quedan excluidos de la solución por anular el denominador.