Ejercicios: Interacción con cargas en movimiento

Una carga eléctrica se encuentra en reposo dentro de un campo magnético uniforme. El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\times v\times B\times\sen\alpha$.

1. a) ¿Actúa alguna fuerza magnética sobre ella? Justificalo con la fórmula.
2. b) La carga se pone en movimiento en la dirección exacta del campo ($\alpha = 0^\circ$). ¿Cambia la respuesta? ¿Por qué?

El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\times v\times B\times\sen\alpha$ y su dirección viene dada por el producto vectorial $\vv{F} = q\times(\vv{v}\wedge\vv{B})$, que se determina con la regla de la mano derecha. Un protón se mueve horizontalmente hacia el este dentro de un campo magnético uniforme dirigido también horizontalmente hacia el norte. La situación, vista desde arriba, se representa en la figura.

1. a) Determiná la dirección y el sentido de la fuerza sobre el protón.
2. b) ¿Cuál sería el sentido de la fuerza si la partícula fuera un electrón? Justificá la diferencia.

Un protón ($q = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) se mueve a $v = 2\times10^{6}\ \text{m/s}$ en dirección perpendicular a un campo magnético $B = 0.5\ \text{T}$. Calculá el módulo de la fuerza de Lorentz sobre él, $F = q\times v\times B$.

La fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento es siempre perpendicular a su velocidad.

1. a) Teniendo en cuenta que el trabajo depende de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, explicá por qué la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la carga.
2. b) ¿Qué le ocurre entonces al módulo de la velocidad de la carga?
3. c) ¿Y a su energía cinética?

Un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 1\times10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 1\times10^{-3}\ \text{T}$, como se muestra en la figura.

El radio de su trayectoria circular es $r = \frac{m\times v}{q\times B}$. Calculá su valor y expresalo en centímetros.

Una partícula cargada entra con velocidad $\vv{v}$ perpendicular a un campo magnético uniforme.

1. a) Explicá por qué la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta y escribí la igualdad $q\times v\times B = \frac{m\times v^2}{r}$.
2. b) Despejá el radio $r$ y comentá de qué magnitudes depende: ¿aumenta o disminuye si la partícula va más rápida? ¿Y si el campo es más intenso?

A partir de la expresión del módulo de la fuerza de Lorentz, $F = q\times v\times B$ (caso perpendicular):

1. a) Despejá $B$ y deducí a qué combinación de unidades del Sistema Internacional equivale un tesla.
2. b) Usando que $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$, expresá el tesla como $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\times\text{m}}$ y explicá con tus palabras qué campo hace falta para que una carga de $1\ \text{C}$ a $1\ \text{m/s}$ sufra una fuerza de $1\ \text{N}$.

Un protón ($q = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 3\times10^{6}\ \text{m/s}$ en un campo magnético uniforme $B = 0.8\ \text{T}$, formando un ángulo $\alpha = 30^\circ$ con él. Fijate en el esquema:

1. a) Calculá el módulo de la fuerza de Lorentz, $F = q\times v\times B\times\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0.5$).
2. b) ¿Para qué ángulo sería máxima la fuerza? ¿Y para cuál sería nula?

Un protón ($m_p = 1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 5\times10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 0.2\ \text{T}$.

1. a) Calculá el radio de su trayectoria circular, $r = \frac{m\times v}{q\times B}$, y expresalo en centímetros.
2. b) ¿Qué ocurriría con el radio si el protón entrara con la mitad de velocidad? Razoná con la fórmula.

Un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) gira en un campo magnético uniforme $B = 2\times10^{-3}\ \text{T}$, con velocidad perpendicular al campo.

1. a) Igualá la fuerza de Lorentz a la fuerza centrípeta y, usando $v = \frac{2\pi\times r}{T}$, demostrá que el período de giro es $T = \frac{2\pi\times m}{q\times B}$.
2. b) Calculá su valor.
3. c) El resultado no contiene $v$ ni $r$: explicá qué significa eso físicamente.

Un conductor recto de $L = 40\ \text{cm}$, colocado perpendicularmente a un campo magnético uniforme $B = 0.1\ \text{T}$, lleva una corriente $I = 5\ \text{A}$. La fuerza magnética sobre él es $F = B\times I\times L$.

1. a) Calculá su módulo.
2. b) Representá la situación en tu cuaderno y determiná, con la regla de la mano derecha, la dirección y el sentido de la fuerza respecto a la corriente y al campo.
3. c) Si el conductor formara $30^\circ$ con el campo, la fuerza sería $F = B\times I\times L\times\sen 30^\circ$; calculala.

En un espectrómetro de masas, un ión de $\text{He}^+$ ($m = 6.64\times10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) describe un arco circular de radio $r = 12\ \text{cm}$ en un campo $B = 0.5\ \text{T}$ perpendicular a su velocidad. La situación se representa en la figura.

1. a) Despeja la velocidad de la expresión $r = \frac{m\times v}{q\times B}$.
2. b) Calcula su valor en notación científica.

Un protón ($m_p = 1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) y un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$) entran con la misma velocidad, perpendicularmente, en el mismo campo magnético uniforme.

1. a) Escribí el cociente $\frac{r_p}{r_e}$ de los radios de sus trayectorias y calculá su valor.
2. b) Teniendo en cuenta que $T = \frac{2\pi\times m}{q\times B}$, calculá también el cociente de sus períodos y comentá qué partícula da vueltas más rápido.

Un selector de velocidades tiene un campo eléctrico $E = 2\times10^{4}\ \text{N/C}$ y un campo magnético $B = 0.05\ \text{T}$, perpendiculares entre sí y a la velocidad de los iones. Las fuerzas eléctrica y magnética se compensan cuando $q\times E = q\times v\times B$.

1. a) Despejá la velocidad de los iones que atraviesan el selector sin desviarse y calculala.
2. b) ¿Depende esa velocidad de la carga o de la masa del ion? Comentá para qué sirve este dispositivo antes de una región de desviación.

Una varilla horizontal de $L = 50\ \text{cm}$ y masa $m = 25\ \text{g}$ se encuentra en un campo magnético horizontal uniforme $B = 0.5\ \text{T}$, perpendicular a la varilla. Se quiere que la fuerza magnética sobre la varilla, $F = B\times I\times L$, compense exactamente su peso (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). La situación se representa en la figura.

1. a) Plantea la condición de equilibrio entre la fuerza magnética y el peso, y calcula la corriente necesaria.
2. b) Determina, con la regla de la mano derecha, qué orientación relativa deben tener la corriente y el campo para que la fuerza sea vertical hacia arriba.
3. c) Razona qué ocurriría si la corriente aumentara un $10\ \%$: ¿se movería la varilla? ¿Hacia dónde y con qué fuerza neta inicial?

Los cinturones de Van Allen atrapan partículas cargadas en el campo magnético terrestre, mucho más débil que los campos de laboratorio. Un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) se mueve a $v = 3\times10^{7}\ \text{m/s}$ en la región ecuatorial, donde $B = 3\times10^{-5}\ \text{T}$, con velocidad perpendicular al campo.

1. a) Calculá el radio de su trayectoria, $r = \frac{m\times v}{q\times B}$.
2. b) En latitudes próximas a los polos el campo es el doble, $B = 6\times10^{-5}\ \text{T}$; calculá allí el radio.
3. c) Relacioná los resultados con el hecho de que las trayectorias de las partículas atrapadas se «enrollen» más apretadamente al acercarse a los polos.

Un protón ($m_p$, $q_p = e$) y una partícula alfa ($m_\alpha = 4\times m_p$, $q_\alpha = 2\times e$) entran con la misma velocidad, perpendicularmente, en el mismo campo magnético uniforme.

1. a) Calculá el cociente $\frac{r_\alpha}{r_p}$ de los radios de sus trayectorias.
2. b) Calculá el cociente $\frac{T_\alpha}{T_p}$ de sus períodos de giro.
3. c) Repetí el cociente de radios suponiendo que ambas partículas entran con la misma energía cinética (usá $v = \sqrt{\frac{2\times E_c}{m}}$ en la expresión del radio) y comentá si un espectrómetro de masas podría separarlas en cada uno de los dos casos.