Triángulos semejantes
¿Cómo sabés cuánto mide la torre de la Catedral de San Salvador sin subirte con una cinta métrica? Con triángulos no hace falta comprobar que todos los ángulos y los tres lados coinciden: basta una de tres condiciones. Esas condiciones permiten medir lo que no se puede alcanzar. Al final de la página volvemos a esta pregunta.
Los tres criterios de semejanza
Para saber si dos triángulos son semejantes no hace falta revisar todo. Basta con cumplir uno de estos criterios:
Movés la razón y mirá cómo cambia el tamaño sin cambiar la forma:
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y…
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y otro de $75^\circ$. Determina si ambos triángulos son semejantes justificando tu respuesta en base a los criterios de semejanza.
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide…
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide $15\text{ cm}$, calcula la longitud de los otros dos lados del segundo triángulo.
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y…
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En caso afirmativo, indica cuál es el criterio utilizado y la razón de semejanza.
Semejanza escondida: proporcionalidad y paralelismo
Cuando una recta corta dos lados de un triángulo paralelamente al tercero, aparecen dos triángulos semejantes: comparten el ángulo del vértice, y los otros dos ángulos son congruentes por ser correspondientes entre paralelas. Es el teorema sobre proporcionalidad y paralelismo.
Si el problema trae incógnitas, se plantea la proporción igual y se resuelve la ecuación que resulta.
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que…
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ y $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triángulo para calcular la longitud de la base $BC$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y…
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales para plantear una ecuación y calcular el valor numérico de $x$.
Sombras, espejos y visuales cruzadas
Aquí vuelve la pregunta del principio. La altura de la torre de una iglesia, de un poste o de un edificio se obtiene con dos triángulos semejantes que se forman con la sombra, con un espejo o con una cámara oscura.
Con un espejo en el suelo, la luz que sale de la punta del edificio rebota con el mismo ángulo con que llega.
Con visuales cruzadas se mide el ancho de un río sin cruzarlo: desde un punto $A$ mirás un árbol $B$ de la otra orilla, caminás por tu orilla hasta un punto $C$ y clavás un jalón. Luego te alejás en perpendicular hasta un punto $E$ desde donde $C$ y $B$ se ven alineados. Se forman dos triángulos rectángulos semejantes, $ABC$ y $DEC$, con $D$ sobre la orilla.
La cámara oscura funciona igual: el orificio es el vértice común, el objeto queda de un lado y su imagen invertida del otro. Los dos triángulos son semejantes y la razón es (distancia al objeto) : (profundidad de la cámara).
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1.5\text{ m}$ desde el…
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1.5\text{ m}$ desde el espejo, el estudiante (cuyos ojos están a $1.6\text{ m}$ del suelo) puede ver exactamente la parte más alta del edificio reflejada en él. Sabiendo que los ángulos de incidencia y reflexión en el espejo forman triángulos rectángulos semejantes, calcula la altura del edificio.
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la…
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la cámara. Si la imagen invertida del edificio que se proyecta en el fondo de la cámara tiene una altura de $12\text{ cm}$, ¿cuál es la altura real del edificio?
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina…
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina $15\text{ m}$ por la orilla hasta un punto $C$ y clava un jalón. Luego camina $3\text{ m}$ más hasta el punto $D$, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta un punto $E$, desde el cual ve alineados el jalón $C$ y el árbol $B$. Calcula la anchura $x$ del río.
Áreas con la razón de semejanza
Si las longitudes de una figura se multiplican por $k$, el área se multiplica por $k^2$.
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2.5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2.5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de…
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de $18\text{ m}$. Si el área de la vela pequeña es de $6\text{ m}^2$, ¿cuál es el área de la vela grande?
Volúmenes: pirámides y conos cortados
Al cortar una pirámide o un cono con un plano paralelo a la base, la parte de arriba es otra pirámide o cono, semejante al completo. La razón es la de las alturas medidas desde el vértice.
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a…
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a $3\text{ cm}$ del vértice. Calcula el área de la sección obtenida y el volumen de la pirámide deficiente (la pequeña pirámide superior).
Un depósito de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si…
Un depósito de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el depósito contiene agua hasta una altura de $2\text{ m}$, utiliza la relación entre los volúmenes de cuerpos semejantes para calcular el volumen de agua que contiene y el volumen vacío restante.
Triángulos semejantes escondidos en otras figuras
A veces los triángulos no están dibujados: hay que buscarlos dentro de un cuadrado inscrito, de dos postes con cables cruzados o de un trapecio con los lados prolongados.
El mismo truco sirve para un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo con una esquina en el ángulo recto.
Con los lados no paralelos de un trapecio prolongados hasta cortarse, se forma un triángulo grande formado por el pequeño de arriba y el trapecio, ambos con bases paralelas.
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con…
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacto del lado del cuadrado $x$.
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable…
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable recto desde la parte superior de cada poste hasta la base del otro. Calcula a qué altura $h$ del suelo se cruzan ambos cables. Demuestra si este resultado depende o no de la distancia que separa los postes.
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se…
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se cortan en un punto, formando un triángulo en la parte superior. Calcula la altura $x$ de dicho triángulo superior y el área total del gran triángulo formado.
Triángulo rectángulo y altura sobre la hipotenusa
En un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto en $C$, trazá la altura $CH$ sobre la hipotenusa. Se forman dos triángulos más pequeños, $AHC$ y $CHB$. Llamemos $m = AH$, $n = HB$ y $h = CH$.
Los tres triángulos ($ABC$, $AHC$ y $CHB$) tienen un ángulo recto y comparten un ángulo agudo con otro: son semejantes por dos ángulos congruentes. De ahí salen dos relaciones.
Cuando un problema da una relación entre los segmentos, por ejemplo «uno es $5$ más largo que el otro», se plantea una ecuación con $n = m + 5$ en $h^2 = m \cdot n$ y se resuelve (ecuación cuadrática).
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura $h$.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la altura mide $6\text{ cm}$, determina analíticamente la longitud de los dos segmentos y calcula el perímetro exacto del triángulo original.
El teorema del cateto
Con la misma figura, $AHC \sim ACB$ (comparten el ángulo $A$ y ambos tienen un ángulo recto). Emparejando lados correspondientes, con $b = AC$ y $c = AB$ la hipotenusa: $\dfrac{b}{c} = \dfrac{m}{b}$.
Con los dos teoremas y el de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$) podés completar todos los datos de un triángulo rectángulo a partir de dos de ellos.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3.6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para…
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3.6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para hallar la longitud de dicho cateto.
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4.5\text{ cm}$. Aplica…
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4.5\text{ cm}$. Aplica los teoremas de la semejanza en triángulos rectángulos para calcular el perímetro y el área del triángulo completo.
Rectángulos y circunferencias
El teorema de la altura y del cateto aparecen en figuras conocidas.
En un rectángulo. Si desde un vértice trazás la perpendicular a la diagonal, queda un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal. Los lados del rectángulo son los catetos y los dos segmentos de la diagonal son las proyecciones. Entonces cada lado cumple el teorema del cateto: $\text{lado}^2 = \text{diagonal} \cdot \text{proyección}$.
En una circunferencia. Un triángulo con un lado que es diámetro y el tercer vértice en la circunferencia es rectángulo (ángulo inscrito en un diámetro). Así, el diámetro es la hipotenusa y se pueden usar los teoremas.
El radio de la base del cono sale de la altura sobre la hipotenusa: $r^2 = p \cdot q$, donde $q$ es la otra proyección (el resto del diámetro).
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de…
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de los segmentos mide $7.2\text{ cm}$, halla el área total del rectángulo aplicando los teoremas del cateto y de la altura.
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de…
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de la esfera y la generatriz del cono para aplicar los teoremas de semejanza. Calcula el radio de la base del cono y su altura.
Volvé al principio: para medir la torre de la Catedral bastaba un poste de altura conocida, las dos sombras medidas en el mismo momento y la razón $k$ entre ellas.