Exercícios: Variável aleatória. Função de probabilidade, função de distribuição e parâmetros

Uma aplicação de sorteio gera números inteiros de $1$ a $4$, todos com a mesma probabilidade. Seja $X$ o número gerado.

1. a) Escreva a função de probabilidade de $X$ sob a forma de tabela.
2. b) Calcule o valor médio $\mu$.
3. c) Calcule o desvio padrão $\sigma$, arredondando às centésimas.

Uma variável aleatória discreta $X$ assume os valores $1$, $2$, $3$ e $4$ com a seguinte função de probabilidade incompleta:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0,15$	$k$	$0,35$	$0,25$

1. a) Calcule o valor de $k$.
2. b) Determine $P[X \ge 3]$.
3. c) Determine $P[X < 2]$.

Indique, de forma fundamentada, quais das seguintes tabelas podem ser a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta:

• Tabela 1: valores $1$, $2$, $3$ com probabilidades $0,3$; $0,4$; $0,2$.

• Tabela 2: valores $1$, $2$, $3$, $4$ com probabilidades $0,5$; $0,3$; $0,3$; $-0,1$.

• Tabela 3: valores $1$, $2$, $3$, $4$ com probabilidades $0,25$; $0,25$; $0,25$; $0,25$.

Em cada caso, enuncie a condição (ou condições) que se verificam ou se violam.

Lançam-se duas moedas e conta-se o número de caras obtidas, $X$.

1. a) Escreva o espaço de resultados da experiência e deduza a função de probabilidade de $X$.
2. b) Calcule a média $\mu$ e interprete-a.
3. c) Calcule $P[X \ge 1]$.

A função de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ é dada por:

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Calcule $P[X \le 2]$.
2. b) Calcule $P[X = 2]$.
3. c) Calcule $P[X > 1]$.

Num campeonato escolar de xadrez rápido em Lisboa, a pontuação obtida por partida é modelizada através de uma variável aleatória discreta $X$ com média $\mu_X = 4$ pontos e desvio-padrão $\sigma_X = 1,2$ pontos. Para a fase de qualificação final, a organização aplica uma tabela de correção definida pela transformação linear $Y = 20 - 3X$.

O Marcos afirma na sua entrega de exercícios: «A nova média é $\mu_Y = 20 - 3 \cdot 4 = 8$ pontos, e o novo desvio-padrão é $\sigma_Y = -3 \cdot 1,2 = -3,6$ pontos; portanto, as pontuações estão menos dispersas por ter sido invertido o sinal da escala».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Marcos no cálculo do desvio-padrão.
2. b) Corrige os cálculos determinando os valores corretos de $\mu_Y$ e $\sigma_Y$.
3. c) Justifica pelas tuas palavras por que razão um desvio-padrão nunca pode tomar um valor negativo, apoiando-te na sua definição estatística como medida de dispersão.

A partir de dados simplificados do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre o equipamento dos agregados familiares em Espanha, o número de veículos ligeiros de passageiros $X$ que uma família possui é modelizado através da seguinte função de probabilidade:

$P[X = 0] = 0,20$, $P[X = 1] = 0,55$, $P[X = 2] = 0,20$ e $P[X = 3] = 0,05$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico, faz uma estimativa fundamentada: entre que dois valores inteiros deve situar-se obrigatoriamente a média $\mu$ e de qual deles consideras que estará mais próxima? Justifica analisando onde se concentra a maior probabilidade.
2. b) Calcula com exatidão a média $\mu$ e o desvio-padrão $\sigma$, e confronta o valor obtido para a média com a tua estimativa prévia.
3. c) Um porta-voz dos moradores afirma: «Como o valor médio não é um número inteiro de carros, a média carece de sentido físico para descrever uma família real». Contesta a afirmação dele explicando com precisão o que representa o valor esperado a longo prazo.

Num saco de um jogo de tabuleiro há $20$ cartas de pontos: $6$ cartas com um $1$, $4$ cartas com um $2$ e $10$ cartas com um $3$. Retira-se uma carta ao acaso e anota-se a sua pontuação $X$.

1. a) Escreva a função de probabilidade de $X$ sob a forma de tabela.
2. b) Calcule o valor médio $\mu$ e interprete-o: que pontuação média por carta se pode esperar a longo prazo?
3. c) Calcule o desvio padrão $\sigma$, arredondando às centésimas.

A figura mostra a função de distribuição $F(x)$ de uma variável aleatória discreta $X$ que assume os valores $0$, $1$, $2$ e $3$.

1. a) Deduza do gráfico a função de probabilidade de $X$ (os valores $p_i = P[X = x_i]$) e escreva-a em forma de tabela.
2. b) Calcule $P[1 \le X < 3]$ a partir da função de distribuição.
3. c) Determine o valor médio de $X$.

Uma roleta de uma feira tem $8$ setores iguais com os prémios mostrados na figura: um setor de $10\ \text{€}$, dois de $5\ \text{€}$, três de $2\ \text{€}$ e dois sem prémio.

1. a) Escreva a função de probabilidade da variável $X$ = "prémio obtido numa jogada".
2. b) Calcule o prémio médio por jogada, $\mu$.
3. c) Jogar custa $3\ \text{€}$ por jogada. Defina a variável $G$ = "lucro líquido do jogador" (prémio menos o valor pago), calcule a sua esperança e decida de forma fundamentada se é aconselhável jogar.

A associação de pais de uma escola organiza uma rifa solidária: vende $200$ rifas a $2\ \text{€}$ cada uma, com um prémio de $100\ \text{€}$, quatro prémios de $25\ \text{€}$ e dez prémios de $5\ \text{€}$.

1. a) Escreva a função de probabilidade da variável $G$ = "lucro líquido ao comprar um bilhete de rifa" (valor do prémio menos os $2\ \text{€}$ que custa).
2. b) Calcule o valor médio de $G$.
3. c) Interprete o sinal do resultado: se o valor médio for negativo, para onde vai esse dinheiro? Isso contradiz o fim solidário da rifa?

Uma variável aleatória discreta $X$ assume os valores $1$, $2$, $3$ e $4$ com probabilidades proporcionais ao próprio valor: $P[X = x] = k \cdot x$.

1. a) Calcule o valor da constante $k$.
2. b) Determine a média $\mu$.
3. c) Verifique que a variância vale exatamente $1$ e deduza o desvio padrão.

O tempo de espera $X$ (em minutos) do autocarro escolar numa paragem distribui-se uniformemente entre $0$ e $10$ minutos, ou seja, a sua função densidade é constante: $f(x) = k$ para $x \in [0, 10]$ e $f(x) = 0$ fora.

1. a) Calcule o valor de $k$ sabendo que a área sob a função densidade deve ser $1$.
2. b) Determine a probabilidade de esperar entre $2$ e $5$ minutos.
3. c) Determine a probabilidade de esperar mais de $8$ minutos e explique por que razão $P[X = 8] = 0$ embora esperar exatamente $8$ minutos não seja impossível.

Para financiar a viagem de finalistas do 2.º ano de Bacharelato, os alunos concebem uma roleta solidária. A variável aleatória $X$ representa o ganho líquido em euros de uma pessoa após uma jogada, e toma unicamente os valores $-3$ € (se perde o que apostou), $+1$ € (prémio menor) e $+k$ € (prémio maior, com $k > 1$). Foi fixado que a probabilidade de perder é $P[X = -3] = 0,40$ e a de ganhar um euro é $P[X = 1] = 0,45$.

1. a) Determina a probabilidade $P[X = k]$ de obter o prémio maior, justificando que propriedade das distribuições de probabilidade utilizas.
2. b) Escreve a equação do valor esperado e calcula o valor exato de $k$ para que o jogo seja justo ($E[X] = 0$).
3. c) Se a equipa organizadora desejar garantir uma angariação média esperada para a viagem de $0,45$ € por cada jogada vendida (ou seja, que o ganho líquido médio do jogador seja $E[X] = -0,45$ €), que valor inteiro deve ser atribuído ao prémio $k$?

Uma empresa de estafetas expresso que opera em Lisboa analisa o número de visitas falhadas $X$ antes de conseguir entregar uma encomenda em mão. O modelo de probabilidade estimado para cada envio é o seguinte:

$P[X = 0] = 0,60$; $P[X = 1] = 0,25$; $P[X = 2] = 0,10$; $P[X = 3] = 0,05$, nunca ocorrendo uma quarta tentativa falhada.

1. a) Escreve a função de distribuição acumulada $F(x) = P[X \le x]$ para qualquer número real $x \in \mathbb{R}$, indicando com clareza os ramos e identificando o valor do salto que ocorre em cada valor possível da variável.
2. b) Cada tentativa falhada implica um custo operacional de $3$ € em combustível e tempo do estafeta, ao qual se soma um custo fixo de gestão de $2$ € por encomenda entregue. Expressa o custo total por encomenda $C$ como uma transformação linear de $X$ ($C = aX + b$) e calcula o seu custo médio $E[C]$ e o seu desvio-padrão $\sigma_C$.
3. c) Se a empresa distribuir $1\,000$ encomendas num dia, que orçamento total prevê destinar a estes custos? Explica que princípio probabilístico assegura que o custo médio real desse dia se aproximará estreitamente de $E[C]$.

O tempo (em minutos) que um servidor demora a inicializar após um reinício é uma variável aleatória contínua $X$ com função densidade $f(x) = k \cdot x$ para $x \in [0, 4]$ e $f(x) = 0$ no restante, representada na figura.

1. a) Calcule o valor de $k$ sabendo que a área total sob a função densidade deve ser $1$.
2. b) Determine a probabilidade de o servidor demorar menos de $2$ minutos a inicializar.
3. c) Calcule a mediana de $X$ (o valor $m$ tal que $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) e a média $\mu$. Qual das duas é maior? A que se deve isso?

Amina estuda a variável $X$ = "número de avarias semanais de uma fotocopiadora", com esta distribuição de probabilidade:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,3$	$0,4$	$0,2$

Calculou a média, $\mu = 1,7$, e depois escreveu:

«$\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$»

1. a) Revê o cálculo de $\sum p_i \cdot x_i^2$ feito por ela e verifica que está correto.
2. b) Localiza o erro na fórmula que ela aplicou para a variância e corrige-o.
3. c) Calcula o desvio padrão correto.

Numa banca de feira, joga-se com dois dados cúbicos: ganha-se $12\ \text{€}$ se saírem pares iguais (os dois dados iguais), $6\ \text{€}$ se a soma for $7$, e nada em qualquer outro caso.

1. a) Calcula a probabilidade de cada prémio e a de não ganhar nada. (Tem em conta que sair o mesmo número nos dois dados e somar $7$ são acontecimentos incompatíveis; porquê?)
2. b) Determina o valor esperado do prémio por jogada e deduz qual deveria ser o preço da aposta para que o jogo fosse justo.
3. c) Se a banca cobra $4\ \text{€}$ por jogada, a quem favorece o jogo? Quanto espera ganhar ou perder um jogador que joga $100$ vezes?

Uma variável aleatória discreta $X$ assume os valores $0$, $1$, $2$ e $4$, e a sua função de distribuição satisfaz:

$F(0) = 0,1 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = a \qquad F(4) = 1$

1. a) Sabendo que o valor médio da distribuição é $\mu = 2,2$, escreva a equação que permite encontrar $a$ e calcule o seu valor.
2. b) Escreva a função de probabilidade completa de $X$.
3. c) Calcule a variância e o desvio padrão de $X$, arredondando às centésimas.

Seja $X$ uma variável aleatória discreta com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, e seja $Y = a \cdot X + b$ uma nova variável obtida ao aplicar a $X$ uma transformação linear.

1. a) Demonstre, a partir da definição de média, que $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Demonstre que $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. Porque é que a constante $b$ não afeta a dispersão?
3. c) Aplicação: num exame, as notas têm média $6,2$ e desvio padrão $1,4$. O professor decide transformar cada nota $X$ em $Y = 0,9 \cdot X + 1$. Calcule a nova média e o novo desvio padrão.

Para analisar a variabilidade das pontuações numa prova de seleção, define-se uma variável discreta $X$ que apenas assume quatro valores elevados: $200$, $204$, $208$ e $212$, com probabilidades associadas $0,15$, $0,35$, $0,30$ e $0,20$, respetivamente. Para calcular o desvio-padrão $\sigma_X$ debatem-se dois métodos:

• Método A (Cálculo direto): Calcular $\mu_X = \sum x_i p_i$, depois $\sum x_i^2 p_i$ (lidando com valores superiores a $40\,000$) e aplicar $\sigma_X = \sqrt{\sum x_i^2 p_i - \mu_X^2}$.

• Método B (Mudança de variável linear): Definir uma variável reduzida $Y = \frac{X - 200}{4}$, calcular a média $\mu_Y$ e o desvio-padrão $\sigma_Y$ desta variável simplificada (cujos valores são unicamente $0, 1, 2, 3$), e a partir deles recuperar $\mu_X$ e $\sigma_X$.

1. a) Aplica o Método B: escreve a distribuição de probabilidade de $Y$, calcula $\mu_Y$ e $\sigma_Y$, e determina a partir deles $\mu_X$ e $\sigma_X$ utilizando as propriedades das transformações lineares.
2. b) Aplica o Método A para verificar o resultado e compara ambos os procedimentos: que risco de erro de arredondamento ou perda de precisão numérica apresenta o Método A face ao Método B quando se trabalha com calculadoras de precisão limitada?
3. c) Justifica teoricamente por que razão a subtração $-200$ desloca a média mas não altera em nada a dispersão, enquanto a divisão por $4$ muda a escala tanto da média como do desvio-padrão.

A função de distribuição acumulada do número diário de ocorrências técnicas $X$ numa linha de comboios suburbanos é dada por:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ 0,40 & \text{se } 0 \le x < 1 \\ 0,75 & \text{se } 1 \le x < 2 \\ 0,95 & \text{se } 2 \le x < 3 \\ 1 & \text{se } x \ge 3 \end{cases}$$

1. a) Reconstrói a função de probabilidade de $X$ (indicando o valor de $P[X = x_i]$ para cada valor possível) a partir dos saltos de $F(x)$, e verifica que cumpre as duas condições necessárias para ser válida.
2. b) Sabe-se que num determinado dia se produziu pelo menos uma ocorrência ($X \ge 1$). Calcula a probabilidade condicionada de que nesse dia se tenham registado exatamente $2$ ocorrências.
3. c) A empresa de manutenção cobra uma quota fixa diária de $100$ € que cobre até uma ocorrência (se houver $0$ ou $1$ ocorrência não se paga qualquer valor extra); contudo, a partir da segunda ocorrência (ou seja, para a segunda e para a terceira), cada uma gera um custo suplementar de $150$ €. Modela a variável aleatória $G$ (gasto diário em euros), determina a sua função de probabilidade, calcula o gasto médio esperado $E[G]$ e justifica por que razão $G$ não pode ser expressa como uma transformação linear global da forma $aX + b$ para todos os valores de $X$.