Exercícios: Núcleos atómicos e estabilidade de isótopos

O potássio das bananas contém uma pequena fração do isótopo potássio-40, cujo núcleo tem número atómico $Z = 19$ e número de massa $A = 40$.

1. a) Indica quantos protões e quantos neutrões tem esse núcleo.
2. b) Escreve o seu símbolo com a notação ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) Quantos eletrões tem o átomo neutro de potássio-40? Justifica a resposta.

Num núcleo de hélio há dois protões confinados numa região de cerca de $10^{-15}\ \text{m}$ de diâmetro. Como ambos têm carga positiva, repelem-se eletricamente com uma força considerável; no entanto, o núcleo não se desagrega.

1. a) Explica o que é a força nuclear forte e por que razão consegue manter o núcleo unido.
2. b) Justifica por que razão, mesmo existindo essa força, os núcleos com demasiados protões acabam por ser instáveis.

O carbono tem três isótopos naturais: carbono-12, carbono-13 e carbono-14, todos com $Z = 6$.

1. a) Explica o que significa dois núcleos serem isótopos.
2. b) Calcula o número de neutrões do núcleo de cada um dos três isótopos.
3. c) Os três isótopos têm as mesmas propriedades químicas? Justifica a resposta pensando nos seus eletrões.

A unidade de massa atómica (u) define-se como a doze-avos da massa de um átomo de carbono-12 e equivale a $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) A massa do núcleo de oxigénio-16 é de cerca de $16\ \text{u}$: exprime-a em quilogramas, em notação científica.
2. b) Justifica por que razão, na física nuclear, é mais conveniente trabalhar em unidades u do que em quilogramas.

De cerca de $3000$ nuclídeos conhecidos, apenas cerca de $250$ são estáveis; os restantes acabam por decair mais cedo ou mais tarde.

1. a) Explica o que significa um núcleo ser estável e o que acontece a um núcleo instável.
2. b) Nos núcleos leves estáveis, o número de neutrões $N$ e o de protões $Z$ são quase iguais: indica quanto vale, aproximadamente, a razão $\frac{N}{Z}$ nesses núcleos.

O raio de um átomo é da ordem de $10^{-10}\ \text{m}$, enquanto o do seu núcleo é da ordem de $10^{-15}\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcula quantas vezes é maior o raio do átomo do que o do núcleo.
2. b) O volume de uma esfera é proporcional ao cubo do raio: estima quantas vezes é maior o volume do átomo do que o do núcleo.
3. c) Explica, face ao resultado, por que razão se diz que o átomo é quase vazio.

As medições de precisão mostram que a massa de um núcleo de hélio-4 é menor do que a soma das massas dos seus dois protões e dois neutrões medidos separadamente.

1. a) Explica o que é o defeito de massa de um núcleo.
2. b) Em que se transformou a massa que «falta»? Menciona na tua explicação a relação de Einstein $E = \Delta m \cdot c^2$.

A energia de ligação por nucleão é a energia média necessária para remover um nucleão de um núcleo.

1. a) Define o que é a energia de ligação de um núcleo.
2. b) A energia de ligação por nucleão é máxima nos núcleos de massa intermédia, como o ferro, e menor nos muito leves e nos muito pesados: justifica quais núcleos serão os mais estáveis.

Considera estes cinco nuclídeos: ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ e ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Calcula o número de protões e de neutrões de cada um.
2. b) Indica que pares são isótopos (igual $Z$) e que par é isóbaro (igual $A$).
3. c) Identifica dois nuclídeos que tenham o mesmo número de neutrões (isótonos).

Dados: massa do protão $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa do neutrão $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa do núcleo de hélio-4 $m_{\alpha} = 4,0015\ \text{u}$ e $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a soma das massas dos dois protões e dos dois neutrões que formam o núcleo de hélio-4, medidos separadamente.
2. b) Calcula o defeito de massa $\Delta m$ do núcleo, em unidades u.
3. c) Exprime esse defeito de massa em quilogramas, em notação científica.

O defeito de massa do núcleo de hélio-4 é $\Delta m = 0,0305\ \text{u}$, equivalente a $5,06 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. Dados: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula a energia de ligação do núcleo com a relação de Einstein, $E = \Delta m \cdot c^2$, expressa em joules.
2. b) Converte o resultado para $\text{MeV}$ (tem em conta que $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Calcula a energia de ligação por nucleão do hélio-4.

Nas tabelas de núclidos lê-se que a energia de ligação por nucleão do ferro-56 vale $8,8\ \text{MeV}$ e a do urânio-235, $7,6\ \text{MeV}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcula a energia de ligação total de cada um destes dois núcleos.
2. b) Explica por que razão o ferro-56 é mais estável do que o urânio-235, embora a sua energia de ligação total seja menor.
3. c) Relaciona o resultado com o facto de o urânio-235 libertar energia ao sofrer fissão.

Dois protões dentro de um núcleo estão separados por uma distância de $10^{-15}\ \text{m}$, como se mostra na figura. Dados: constante de Coulomb $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ e carga do protão $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula a força elétrica de repulsão entre eles aplicando a lei de Coulomb, $F = K \cdot \frac{e^2}{r^2}$.
2. b) O valor obtido é enorme para uma força entre partículas: explica que conclusão se deduz sobre a intensidade da força nuclear forte que os mantém unidos.

A razão $\frac{N}{Z}$ dos núcleos estáveis vale aproximadamente $1$ nos leves e cresce até cerca de $1,5$ nos mais pesados, como mostra a figura.

Calcula a razão $\frac{N}{Z}$ de cada um destes núclidos e prevê, comparando com essa tendência, se é de esperar que sejam estáveis ou instáveis:

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

Marie Curie isolou o rádio em $1898$, e durante décadas a atividade de $1\ \text{g}$ de rádio-226 serviu como unidade de medida, o curie. Dados: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ e massa molar do rádio-226: $226\ \text{g/mol}$.

1. a) Calcula quantos núcleos de rádio-226 existem numa amostra de $1\ \text{mg}$.
2. b) Calcula quantos núcleos existem em $1\ \text{g}$, a quantidade que definia o curie.

Em física nuclear usa-se a equivalência entre massa e energia $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) O defeito de massa do deutério (núcleo de hidrogénio-2) é $\Delta m = 0,0024\ \text{u}$: calcula a sua energia de ligação em $\text{MeV}$.
2. b) Calcula a sua energia de ligação por nucleão e compara-a com a do ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ por nucleão): fundamenta qual dos dois núcleos é mais estável.

Dados: massa do protão $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa do neutrão $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa do núcleo de ferro-56 $m(\text{Fe}) = 55,9207\ \text{u}$ e $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) O ferro-56 tem $Z = 26$: indica quantos protões e quantos neutrões contém o seu núcleo.
2. b) Calcula o seu defeito de massa, em unidades u.
3. c) Calcula a sua energia de ligação total e a sua energia de ligação por nucleão, em $\text{MeV}$.
4. d) Sabendo que a energia de ligação por nucleão do carbono-12 é de $7,7\ \text{MeV}$, fundamenta qual dos dois núcleos é mais estável e que processo, fusão ou fissão, poderia libertar energia a partir de cada um.

A curva de energia de ligação por nucleão em função do número de massa $A$ cresce rapidamente a partir dos núcleos mais leves, atinge um máximo em torno do ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ por nucleão) e desce depois suavemente até cerca de $7,6\ \text{MeV}$ no urânio-235.

1. a) Esboça no teu caderno essa curva, assinalando o máximo e as zonas de núcleos leves e pesados.
2. b) Explica, a partir da forma da curva, por que razão a fusão de núcleos leves liberta energia.
3. c) Explica, com o mesmo argumento, por que razão a fissão de núcleos muito pesados também liberta energia.
4. d) Justifica por que razão não é possível obter energia nem por fusão nem por fissão de núcleos de ferro.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A energia de ligação total do trítio (núcleo de hidrogénio-3) é de $8,48\ \text{MeV}$. Dados: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $m_p = 1,0073\ \text{u}$ e $m_n = 1,0087\ \text{u}$.

1. a) Calcula o defeito de massa do trítio, em unidades u.
2. b) Sabendo que o trítio tem um protão e dois neutrões, calcula a massa do seu núcleo.
3. c) Calcula a sua energia de ligação por nucleão e, comparando-a com a do hélio-4 ($7,1\ \text{MeV}$), justifica por que razão a fusão de deutério e trítio para formar hélio liberta energia.

O oxigénio só tem três isótopos estáveis: ${}^{16}_{8}\text{O}$, ${}^{17}_{8}\text{O}$ e ${}^{18}_{8}\text{O}$. Os isótopos com excesso de neutrões tendem a desintegrar-se por emissão beta menos ($\beta^{-}$: um neutrão converte-se em protão), e os que têm défice de neutrões, por emissão beta mais ($\beta^{+}$: um protão converte-se em neutrão).

1. a) Calcula a razão $\frac{N}{Z}$ do ${}^{14}_{8}\text{O}$ e do ${}^{21}_{8}\text{O}$ e compara-a com a do ${}^{16}_{8}\text{O}$.
2. b) Prevê que tipo de desintegração sofrerá cada um desses dois isótopos instáveis, justificando a resposta.
3. c) Escreve a equação de cada processo e identifica o núclido filho que se forma em cada caso.

Pouco depois do Big Bang, os protões e neutrões do universo primitivo uniram-se formando deutério, e em cada união foi emitido um fotão gama. Dados: $m_p = 1,0073\ \text{u}$, $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa do núcleo de deutério $m_d = 2,0136\ \text{u}$ e $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calcula o defeito de massa do processo no qual um protão e um neutrão formam um núcleo de deutério.
2. b) Calcula a energia libertada na formação de cada núcleo de deutério, em $\text{MeV}$.
3. c) Para onde vai essa energia? Explica o papel do fotão gama emitido.

O raio de um núcleo pode ser estimado com a expressão $R = R_0 \cdot A^{1/3}$, em que $R_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$ e $A$ é o número de massa. Para o ferro-56 considera $A^{1/3} \approx 3,8$ e uma massa nuclear de $9,3 \cdot 10^{-26}\ \text{kg}$. O volume de uma esfera é $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$, com $\pi \approx 3,14$.

1. a) Calcula o raio do núcleo de ferro-56.
2. b) Calcula o seu volume e a sua massa volúmica, em $\text{kg/m}^3$.
3. c) A matéria de uma estrela de neutrões tem uma massa volúmica semelhante à nuclear: calcula a massa que teria uma colher de chá de $5\ \text{cm}^3$ dessa matéria e comenta o resultado.

Quando uma estrela massiva esgota o combustível do seu núcleo, acaba por produzir ferro-56, um núclido situado praticamente no máximo da energia de ligação por nucleão.

1. a) Explica, a partir da curva de energia de ligação por nucleão, por que razão fundir ferro não liberta energia, antes a consome.
2. b) Justifica que consequência isso tem para a estrela, que deixa de ter fonte de energia no seu núcleo.
3. c) Os elementos mais pesados do que o ferro formam-se sobretudo por captura de neutrões durante as explosões de supernova: explica por que razão esses elementos são muito mais escassos no universo do que o ferro.

Toda a eletricidade consumida em Portugal durante um ano é da ordem de $9 \cdot 10^{17}\ \text{J}$. Dados: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Supõe que essa energia era obtida convertendo massa diretamente em energia, com um rendimento de $100\ \%$: calcula, com $E = \Delta m \cdot c^2$, a massa que teria de ser convertida.
2. b) Comenta o resultado: parece-te muita ou pouca massa para abastecer de eletricidade um país inteiro durante um ano?
3. c) Um aluno afirma: «nas reações nucleares a massa conserva-se, tal como nas reações químicas». Corrige a afirmação dele e explica o que é que se conserva efetivamente numa reação nuclear.