Exercícios: Interação com cargas em movimento

Uma carga elétrica encontra-se em repouso dentro de um campo magnético uniforme. O módulo da força de Lorentz é $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$.

1. a) Atua alguma força magnética sobre ela? Justifica com a fórmula.
2. b) A carga é posta em movimento na direção exata do campo ($\alpha = 0^\circ$). A resposta altera-se? Porquê?

O módulo da força de Lorentz é $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ e a sua direção e sentido são dados pelo produto vetorial $\vv{F} = q\cdot(\vv{v}\wedge\vv{B})$, que se determina com a regra da mão direita. Um protão move-se horizontalmente para este dentro de um campo magnético uniforme dirigido também horizontalmente para norte. A situação, vista de cima, está representada na figura.

1. a) Determina a direção e o sentido da força sobre o protão.
2. b) Qual seria o sentido da força se a partícula fosse um eletrão? Justifica a diferença.

Um protão ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) move-se a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ numa direção perpendicular a um campo magnético $B = 0,5\ \text{T}$. Calcula o módulo da força de Lorentz sobre ele, $F = q\cdot v\cdot B$.

A força de Lorentz sobre uma carga em movimento é sempre perpendicular à sua velocidade.

1. a) Tendo em conta que o trabalho depende da componente da força na direção do deslocamento, explica por que razão a força magnética não realiza trabalho sobre a carga.
2. b) O que acontece então ao módulo da velocidade da carga?
3. c) E à sua energia cinética?

Dois condutores retilíneos paralelos são percorridos por correntes com o mesmo sentido.

1. a) Desenha no teu caderno o campo magnético criado pelo primeiro condutor na posição do segundo (regra da mão direita) e a força que este sofre.
2. b) Atraem-se ou repelem-se?
3. c) O que muda se se inverter o sentido de uma das correntes?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um eletrão ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 1\cdot10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, num campo magnético uniforme $B = 1\cdot10^{-3}\ \text{T}$, como se mostra na figura.

O raio da sua trajetória circular é $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$. Calcula o seu valor e exprime-o em centímetros.

Uma partícula carregada entra com velocidade $\vv{v}$ perpendicular a um campo magnético uniforme.

1. a) Explica por que razão a força de Lorentz atua como força centrípeta e escreve a igualdade $q\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Isola o raio $r$ e comenta de que grandezas depende: aumenta ou diminui se a partícula for mais rápida? E se o campo for mais intenso?

A partir da expressão do módulo da força de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B$ (caso perpendicular):

1. a) Isola $B$ e deduz a que combinação de unidades do Sistema Internacional equivale um tesla.
2. b) Utilizando $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$, exprime o tesla como $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}$ e explica pelas tuas palavras que campo é necessário para que uma carga de $1\ \text{C}$ a $1\ \text{m/s}$ sofra uma força de $1\ \text{N}$.

Um protão ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ num campo magnético uniforme $B = 0,8\ \text{T}$, fazendo um ângulo $\alpha = 30^\circ$ com ele. Observa o esquema:

1. a) Calcula o módulo da força de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0,5$).
2. b) Para que ângulo seria máxima a força? E para qual seria nula?

Um protão ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, num campo magnético uniforme $B = 0,2\ \text{T}$.

1. a) Calcula o raio da sua trajetória circular, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$, e exprime-o em centímetros.
2. b) O que aconteceria ao raio se o protão entrasse com metade da velocidade? Justifica com a fórmula.

Um eletrão ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) descreve uma órbita num campo magnético uniforme $B = 2\cdot10^{-3}\ \text{T}$, com velocidade perpendicular ao campo.

1. a) Iguala a força de Lorentz à força centrípeta e, usando $v = \frac{2\pi\cdot r}{T}$, demonstra que o período de rotação é $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$.
2. b) Calcula o seu valor.
3. c) O resultado não contém $v$ nem $r$: explica o significado físico disso.

Numa demonstração laboratorial, dois cabos paralelos separados por $d = 10\ \text{cm}$ são percorridos por correntes com o mesmo sentido $I_1 = 20\ \text{A}$ e $I_2 = 30\ \text{A}$. A força por unidade de comprimento entre eles é $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observa o esquema:

1. a) Calcula a força por unidade de comprimento.
2. b) Os cabos atraem-se ou repelem-se? Justifica.
3. c) Calcula a força total sobre um troço de $1\ \text{m}$ de cada cabo.

Um condutor retilíneo de $L = 40\ \text{cm}$, colocado perpendicularmente a um campo magnético uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, é percorrido por uma corrente $I = 5\ \text{A}$. A força magnética sobre ele é $F = B\cdot I\cdot L$.

1. a) Calcula o seu módulo.
2. b) Representa a situação no teu caderno e determina, com a regra da mão direita, a direção e o sentido da força relativamente à corrente e ao campo.
3. c) Se o condutor fizesse $30^\circ$ com o campo, a força seria $F = B\cdot I\cdot L\cdot\sen 30^\circ$; calcula-a.

Num espectrómetro de massa, um ião de $\text{He}^+$ ($m = 6,64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) descreve um arco circular de raio $r = 12\ \text{cm}$ num campo $B = 0,5\ \text{T}$ perpendicular à sua velocidade. A situação está representada na figura.

1. a) Isola a velocidade da expressão $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Calcula o seu valor em notação científica.

Um protão ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) e um eletrão ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$) entram com a mesma velocidade, perpendicularmente, no mesmo campo magnético uniforme.

1. a) Escreve o quociente $\frac{r_p}{r_e}$ dos raios das suas trajetórias e calcula o seu valor.
2. b) Tendo em conta que $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, calcula também o quociente dos seus períodos e comenta qual das partículas completa voltas mais depressa.

Um seletor de velocidades tem um campo elétrico $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ e um campo magnético $B = 0,05\ \text{T}$, perpendiculares entre si e à velocidade dos iões. As forças elétrica e magnética compensam-se quando $q\cdot E = q\cdot v\cdot B$.

1. a) Isola a velocidade dos iões que atravessam o seletor sem se desviarem e calcula-a.
2. b) Essa velocidade depende da carga ou da massa do ião? Comenta para que serve este dispositivo antes de uma região de desvio.

Um espectrómetro de massa é constituído por um seletor de velocidades (campo elétrico $E = 5\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ e campo magnético $B_1 = 0,1\ \text{T}$, perpendiculares) seguido de uma região com outro campo magnético $B_2 = 0,2\ \text{T}$, perpendicular à velocidade, onde os iões descrevem semicircunferências. Entram iões de carbono-12 e carbono-14, ambos com carga $q = e$ ($e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; unidade de massa atómica $u = 1,66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$). O esquema do aparelho é mostrado na figura.

1. a) Calcula a velocidade com que os iões saem do seletor ($q\cdot E = q\cdot v\cdot B_1$).
2. b) Calcula o raio da trajetória de cada isótopo na região de deflexão (considera as massas $12\cdot u$ e $14\cdot u$).
3. c) Os iões colidem com uma placa fotográfica a uma distância do ponto de entrada igual ao diâmetro da sua semicircunferência: calcula a separação entre as duas marcas que deixam.

Um protão ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ num campo magnético uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, fazendo um ângulo de $60^\circ$ com ele, de modo a descrever uma trajetória helicoidal ($\sen 60^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$). Observa o esquema:

1. a) Decompõe a velocidade nas suas componentes paralela e perpendicular ao campo.
2. b) Calcula o raio da hélice, determinado pela componente perpendicular.
3. c) Calcula o período de rotação, $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, e o passo da hélice (a distância percorrida na direção do campo em cada volta).

Um ciclotrão acelera deuterões ($m = 3,34\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) com um campo magnético $B = 1,2\ \text{T}$ perpendicular ao plano das trajetórias. O esquema do ciclotrão é mostrado na figura.

1. a) O gerador alternado deve ser sincronizado com a frequência de rotação, $f = \frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$; calcula-a e exprime-a em mega-hertz.
2. b) As partículas saem quando o seu raio atinge o raio do aparelho, $R = 0,5\ \text{m}$; calcula a sua velocidade máxima com $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
3. c) Calcula a energia cinética com que os deuterões saem.

A antiga definição de ampere (em vigor até 2019) estabelecia: um ampere é a intensidade de corrente que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito e separados por $1\ \text{m}$ no vácuo, produz entre eles uma força de $2\cdot10^{-7}\ \text{N}$ por cada metro de condutor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Escreve a expressão da força por unidade de comprimento quando ambos os condutores são percorridos pela mesma corrente, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I^2}{2\pi\cdot d}$.
2. b) Substitui $d = 1\ \text{m}$ e $\frac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$ e verifica que se obtém $I = 1\ \text{A}$.
3. c) Comenta as dificuldades práticas desta definição (condutores «infinitos», medição de forças tão pequenas) face à definição atual, que fixa o valor da carga elementar.

Uma barra horizontal de $L = 50\ \text{cm}$ e massa $m = 25\ \text{g}$ encontra-se num campo magnético horizontal uniforme $B = 0,5\ \text{T}$, perpendicular à barra. Pretende-se que a força magnética sobre a barra, $F = B\cdot I\cdot L$, compense exatamente o seu peso (considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). A situação está representada na figura.

1. a) Estabelece a condição de equilíbrio entre a força magnética e o peso e calcula a corrente necessária.
2. b) Determina, com a regra da mão direita, que orientação relativa devem ter a corrente e o campo para que a força seja vertical e dirigida para cima.
3. c) Justifica o que aconteceria se a corrente aumentasse $10\ \%$: a barra mover-se-ia? Para onde e com que força resultante inicial?

As linhas de alta tensão transportam a corrente de ida e de volta por cabos paralelos. Dois deles, separados por $d = 2\ \text{m}$, transportam $I = 800\ \text{A}$ em sentidos opostos ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Indica, justificando com a regra da mão direita, se a força entre os cabos é atrativa ou repulsiva.
2. b) Calcula a força por unidade de comprimento entre eles, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$.
3. c) Num curto-circuito a corrente pode atingir $10^{4}\ \text{A}$; calcula a nova força por unidade de comprimento e explica por que razão os cabos devem estar firmemente fixados aos apoios.

As cinturas de Van Allen aprisionam partículas carregadas no campo magnético terrestre, muito mais fraco do que os campos de laboratório. Um eletrão ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) move-se a $v = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ na região equatorial, onde $B = 3\cdot10^{-5}\ \text{T}$, com velocidade perpendicular ao campo.

1. a) Calcula o raio da sua trajetória, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Em latitudes próximas dos polos o campo é o dobro, $B = 6\cdot10^{-5}\ \text{T}$; calcula aí o raio.
3. c) Relaciona os resultados com o facto de as trajetórias das partículas aprisionadas se «enrolarem» mais apertadamente à medida que se aproximam dos polos.

Um protão ($m_p$, $q_p = e$) e uma partícula alfa ($m_\alpha = 4\cdot m_p$, $q_\alpha = 2\cdot e$) entram com a mesma velocidade, perpendicularmente, no mesmo campo magnético uniforme.

1. a) Calcula o quociente $\frac{r_\alpha}{r_p}$ dos raios das suas trajetórias.
2. b) Calcula o quociente $\frac{T_\alpha}{T_p}$ dos seus períodos de rotação.
3. c) Repete o quociente dos raios supondo que ambas as partículas entram com a mesma energia cinética (usa $v = \sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}}$ na expressão do raio) e comenta se um espetrómetro de massa conseguiria separá-las em cada um dos dois casos.