Exercícios: Intensidade do campo de um sistema de massas: cálculo vetorial

O valor da gravidade na superfície terrestre pode ser obtido a partir da lei da gravitação universal, como se mostra na figura.

1. a) Partindo da lei da gravitação universal e da definição de campo gravitacional (força por unidade de massa), deduz a expressão do módulo do campo gravitacional $g$ que cria um planeta esférico de massa $M$ e raio $R$ na sua superfície.
2. b) Calcula o seu valor para a Terra. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Compara o resultado com o valor habitual $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Antes de enviar uma missão tripulada a Marte, convém conhecer a gravidade na sua superfície.

1. a) Calcula o módulo do campo gravítico na superfície de Marte. Dados: massa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, raio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) O raio de Marte é aproximadamente metade do terrestre e, no entanto, a sua gravidade é bastante inferior a metade da terrestre: explica a que se deve, prestando atenção à massa.

O campo gravítico de uma massa pontual diminui com o quadrado da distância. O gráfico mostra essa dependência:

1. a) Se a uma distância $r$ do centro de um planeta o campo vale $g$, quanto vale a uma distância $2\cdot r$? Justifica a resposta a partir de $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) A que distância do centro da Terra, expressa em raios terrestres $R_T$, o campo vale a quarta parte do valor na superfície?
3. c) A que altura acima da superfície corresponde essa distância?

Num laboratório de metrologia, quer-se medir o campo gravítico criado por uma esfera maciça de chumbo de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o módulo do campo a $0,50\ \text{m}$ do seu centro, tratando a esfera como uma massa pontual ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Exprime o resultado em notação científica e compara a sua ordem de grandeza com a do campo gravítico terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): que conclusão retiras sobre a dificuldade da medição?

O campo gravítico $\vec{g}$ num ponto define-se como a força por unidade de massa que atuaria sobre uma massa de teste colocada nesse ponto: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partir dessa definição, demonstra que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Explica por palavras tuas o que significa que num ponto do espaço o campo valha $g = 3,7\ \text{N/kg}$: que força atuaria sobre uma massa de $1\ \text{kg}$? E sobre uma de $10\ \text{kg}$?

Sobre uma bancada de laboratório colocam-se duas massas pontuais de $10\ \text{kg}$ cada, separadas por $2,0\ \text{m}$. Seja $P$ um ponto da reta que as une, situado fora do segmento, a $1,0\ \text{m}$ de uma massa e a $3,0\ \text{m}$ da outra. A disposição é mostrada na figura.

1. a) Calcula o módulo do campo criado por cada massa em $P$ e indica o seu sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Como ambos os campos têm a mesma direção e sentido, calcula o campo total em $P$.

O campo gravítico é uma grandeza vetorial.

1. a) Indica a direção e o sentido do vetor $\vec{g}$ criado pela Terra num ponto qualquer à sua volta.
2. b) Desenha no teu caderno o vetor campo gravítico em oito pontos distribuídos em redor do planeta (um mapa do campo): o que têm em comum as direções de todos os vetores e como varia o módulo ao afastar-se do planeta?
3. c) Explica por que razão se diz que o campo gravítico é central e atrativo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Os astronautas do programa Apollo verificaram que na Lua os objetos pesam muito menos do que na Terra.

1. a) Calcula o campo gravítico na superfície da Lua. Dados: massa da Lua $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, raio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcula o quociente $\frac{g_T}{g_L}$ tomando $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ e verifica que é aproximadamente igual a $6$.

Duas massas pontuais, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ e $m_2 = 10\ \text{kg}$, estão fixas numa bancada de laboratório, nas posições $x_1 = 0$ e $x_2 = 2,0\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcula o campo criado por cada massa no ponto $x = 0,50\ \text{m}$, indicando módulo e sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica o princípio da sobreposição para obter o campo total nesse ponto.
3. c) Justifica em que sentido seria acelerada uma pequena massa de teste que fosse ali abandonada em repouso.

Entre a Terra e a Lua existe um ponto no qual os seus campos gravíticos se anulam. O esquema mostra a situação:

1. a) Com a origem no centro da Terra, escreve a condição de anulação: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, onde $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ é a distância Terra-Lua.
2. b) Simplifica $G$, calcula as raízes quadradas e isola $x$ usando $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (repara que $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, cuja raiz é $9$).
3. c) A que distância da Lua fica esse ponto? Justifica por que razão está muito mais próximo da Lua do que da Terra.

Duas massas pontuais iguais, $m = 2,0\ \text{kg}$, estão nos pontos $(0; 0)$ e $(2; 0)\ \text{m}$ do plano, como se mostra na figura.

1. a) Calcula a distância de cada massa ao ponto $P(1; 1)\ \text{m}$ e o módulo do campo que cada uma cria em $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Desenha no teu caderno os dois vetores campo em $P$ e justifica que componentes se anulam por simetria.
3. c) Sabendo que cada vetor faz $45^\circ$ com a vertical ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calcula o campo total em $P$: módulo, direção e sentido.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Os satélites geoestacionários orbitam a uma distância $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$ do centro da Terra, como se mostra na figura.

1. a) Calcula o campo gravítico terrestre a essa distância ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Quantas vezes é menor do que o campo na superfície ($g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) O campo num ponto não depende da massa que nele seja colocada: explica o que isto significa a partir da definição $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

Três massas pontuais iguais, de $6,0\ \text{kg}$, estão alinhadas nas posições $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ e $x = 3,0\ \text{m}$ de uma régua de laboratório, como se mostra na figura.

1. a) Calcula o campo que cada uma delas cria no ponto $x = 2,0\ \text{m}$, indicando módulo e sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica o princípio da sobreposição e calcula o campo total nesse ponto.
3. c) Sem resolver a equação, justifica se deve existir algum ponto entre $x = 2,0\ \text{m}$ e $x = 3,0\ \text{m}$ onde o campo total se anule: repara no sentido do campo total em $x = 2,0\ \text{m}$ e no que acontece ao aproximar-se da massa situada em $x = 3,0\ \text{m}$.

O Sol, pela sua enorme massa, também cria um campo gravítico apreciável a distâncias astronómicas.

1. a) Calcula o módulo do campo gravítico do Sol na órbita da Terra ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, distância média $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara o resultado com o campo na superfície terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): quantas vezes é menor?
3. c) Se o Sol nos puxa com esse campo, por que razão não nos arranca da superfície terrestre? (Pista: a Terra e tudo o que está sobre ela caem juntos em direção ao Sol.)

Um gravímetro de prospeção geofísica pode detetar variações do campo gravítico de até $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Suspeita-se de que sob um terreno existe um grande depósito de água, que aproximamos por uma massa pontual de $10^{5}\ \text{kg}$ centrada a $20\ \text{m}$ de profundidade. O esquema mostra a disposição:

1. a) Calcula o campo gravítico criado pelo depósito na superfície, exatamente por cima dele ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Poderia o gravímetro detetá-lo? Justifica a resposta com os valores numéricos.
3. c) Refere uma aplicação prática deste tipo de medições.

Quando Júpiter está mais próximo da Terra, encontra-se a cerca de $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula o campo gravítico que Júpiter cria nessa altura na Terra ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula a força com que Júpiter atrai uma pessoa de $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) e compara-a com o seu peso na Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Tendo em conta o resultado, comenta criticamente a afirmação astrológica de que «a posição de Júpiter influencia as pessoas».

Uma nave de $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ viaja da Terra para a Lua ao longo da reta que une os seus centros.

1. a) Calcula a que distância do centro da Terra se anula o campo gravítico total (Terra mais Lua). Dados: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; toma $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) Que força gravítica resultante exercem a Terra e a Lua sobre a nave quando esta se encontra nesse ponto?
3. c) Com os motores desligados, a nave desloca-se $10^{6}\ \text{m}$ a partir desse ponto em direção à Lua: calcula aí o campo total (módulo e sentido) e justifica se o ponto de anulação é uma posição de equilíbrio estável ou instável.

Três massas pontuais iguais, $m = 100\ \text{kg}$, ocupam três vértices de um quadrado de lado $L = 2,0\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcula o módulo do campo criado por cada massa no quarto vértice (atenção: a massa do vértice oposto dista $L\cdot\sqrt{2}$). Dado: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Decompõe os três vetores campo nas direções dos lados do quadrado e calcula as componentes do campo total ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calcula o módulo do campo total e justifica, por simetria, por que razão a sua direção é a da diagonal.
4. d) Que força atuaria sobre uma massa de teste de $50\ \text{kg}$ colocada nesse vértice?

Três massas pontuais iguais, $m = 150\ \text{kg}$, estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado $L = 3,0\ \text{m}$. O baricentro dista $\frac{L}{\sqrt{3}}$ de cada vértice. A figura mostra a disposição:

1. a) Justifica, usando a simetria e a soma de três vetores iguais que fazem $120^\circ$ entre si, que o campo total no baricentro é nulo.
2. b) Retira-se uma das massas: aplicando o princípio da sobreposição, demonstra que o campo no baricentro é igual e oposto ao criado pela massa retirada e calcula o seu módulo ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Calcula a força que atuaria sobre uma massa de $20\ \text{kg}$ colocada no baricentro e indica a sua direção e sentido.

1. a) Calcula a que distância da Terra, sobre a reta Sol-Terra, se anulam o campo gravítico do Sol e o da Terra. Dados: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; toma $\sqrt{\frac{M_S}{M_T}} \approx 577$. Exprime o resultado em quilómetros.
2. b) O ponto de Lagrange L1 do sistema Sol-Terra, onde se situam os observatórios solares, fica a cerca de $1,5\cdot10^{9}\ \text{m}$ da Terra, muito mais longe do que prevê o teu cálculo. Explica que efeito físico não tiveste em conta (pista: a Terra e o observatório não estão parados, mas sim a orbitar em redor do Sol).

Uma estrela binária é constituída por dois astros com a mesma massa, $M = 2,0\cdot10^{30}\ \text{kg}$, separados por $d = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Justifica que o campo gravítico total no ponto médio do segmento que une as estrelas é nulo.
2. b) Calcula o campo total num ponto da mediatriz desse segmento situado a $h = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$ do ponto médio: desenha os vetores no teu caderno, justifica que componentes se anulam e calcula o resultado ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Se nesse ponto for abandonada em repouso uma sonda de massa reduzida, descreve qualitativamente como começa a mover-se.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A origem das marés reside no facto de o campo gravítico da Lua não ser uniforme em toda a Terra. O esquema mostra a geometria do problema:

1. a) Calcula o módulo do campo lunar no ponto da superfície terrestre mais próximo da Lua (a sua distância à Lua é $d - R_T$).
2. b) Calcula o módulo do campo lunar no ponto da superfície mais afastado da Lua (distância $d + R_T$).
3. c) Calcula a diferença entre ambos e explica por que razão essa diferença, embora pequena, «estica» os oceanos e origina duas zonas de maré-alta. Dados: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

Numa versão moderna da experiência de Cavendish, são utilizadas duas esferas de volfrâmio de $500\ \text{kg}$ cada, colocadas nos pontos $(0; 0)$ e $(3; 0)\ \text{m}$.

1. a) Demonstra que o ponto $P(1,5; 2)\ \text{m}$ dista $2,5\ \text{m}$ de cada esfera e calcula o módulo do campo criado por cada esfera em $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) O ângulo que cada vetor campo faz com a perpendicular ao segmento que une as esferas cumpre $\sen\theta = 0,6$ e $\cos\theta = 0,8$: justifica que componentes se anulam e calcula o campo total em $P$ (módulo, direção e sentido).
3. c) Calcula a força sobre uma pequena esfera de $20\ \text{g}$ colocada em $P$ e comenta por que razão esta experiência exige uma sensibilidade extraordinária.

Um astronauta realiza uma saída espacial a $10\ \text{m}$ do centro da Estação Espacial Internacional, de massa $M_{ISS} = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, que orbita a $400\ \text{km}$ de altitude em relação à superfície terrestre.

1. a) Calcula o campo gravítico da Terra na posição do astronauta ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula o campo gravítico que a própria estação cria a $10\ \text{m}$ do seu centro, tratando-a como uma massa pontual.
3. c) Compara as ordens de grandeza de ambos os campos e explica por que razão o astronauta não «cai» em direção à estação, apesar da sua enorme dimensão.
4. d) Que campo domina o movimento do astronauta?