Exercícios: Probabilidade total

Numa prateleira de um quarto de jovem, há duas caixas de jogos de vídeo. A Caixa A contém 3 jogos de ação e 2 de estratégia. A Caixa B contém 2 jogos de ação e 4 de estratégia. Se escolhermos uma caixa ao acaso lançando uma moeda e retirarmos um jogo sem olhar, calcule a probabilidade de o jogo escolhido ser de ação.

Um aluno do 12.º ano utiliza duas aplicações para revisar matemática: App Alpha e App Beta. Em $60 \%$ das vezes usa a Alpha e no restante tempo usa a Beta. A probabilidade de encontrar um exercício resolvido corretamente na Alpha é de $0,9$, enquanto na Beta é de $0,7$. Se o aluno abrir uma aplicação ao acaso e selecionar um exercício, qual é a probabilidade de o exercício estar corretamente resolvido?

Para ir à escola, um aluno pode ir de autocarro ou a pé. Em $70 \%$ dos dias utiliza o autocarro e em $30 \%$ vai a pé. Quando vai de autocarro, chega atrasado em $5 \%$ das vezes, enquanto se vai a pé, chega atrasado em apenas $2 \%$ dos dias. Calcule a probabilidade de, num dia qualquer, o aluno chegar atrasado à aula.

Uma loja de roupa desportiva recebe os seus ténis de duas fábricas. A Fábrica 1 fornece $40 \%$ da mercadoria e a Fábrica 2 os $60 \%$ restantes. Sabe-se que $1 \%$ dos ténis da Fábrica 1 têm algum defeito de costura, enquanto na Fábrica 2 essa percentagem é de $3 \%$. No diagrama em árvore resumem-se os dados do enunciado.

Se se escolher um par de ténis ao acaso do armazém, qual é a probabilidade de serem defeituosos?

Num clube de ténis, $20 \%$ dos sócios são profissionais e $80 \%$ são amadores. Num torneio interno, a probabilidade de um profissional ganhar o seu primeiro jogo é de $0,95$, enquanto para um amador é de $0,40$. Se escolhermos um sócio ao acaso para observar a sua estreia, qual é a probabilidade de que ganhe o seu primeiro jogo?

Um criador de conteúdos envia vídeos para duas plataformas: YouTube e Instagram. $40 \%$ dos seus vídeos são publicados no YouTube e $60 \%$ no Instagram. A probabilidade de um vídeo do YouTube ultrapassar 10 000 visualizações é de $0,8$, enquanto no Instagram é de $0,3$. Ao escolher um vídeo ao acaso do seu histórico, calcule a probabilidade de que tenha mais de 10 000 visualizações.

Num centro de reciclagem, os resíduos chegam misturados em dois camiões. O Camião A traz $55 \%$ dos resíduos e o Camião B $45 \%$. No Camião A, $90 \%$ dos materiais são recicláveis, enquanto no Camião B apenas $75 \%$ o são. Se for retirada uma peça de resíduo ao acaso do total recebido, qual é a probabilidade de ser um material reciclável?

Segundo as estatísticas de um café próximo de um campus universitário, $50 \%$ dos clientes pedem café, $30 \%$ pedem chá e $20 \%$ pedem sumo. A probabilidade de um cliente que pede café querer com leite é de $0,8$; para o chá é de $0,2$ e para o sumo é de $0$. Se selecionarmos um cliente ao acaso, qual é a probabilidade de a sua bebida levar leite?

Numa oficina de confeção têxtil utilizam-se duas máquinas de costura, $M_1$ e $M_2$. A máquina $M_1$ produz $70\,\%$ do total e tem uma taxa de peças defeituosas de $2\,\%$, enquanto a máquina $M_2$ produz os $30\,\%$ restantes com $5\,\%$ de peças defeituosas. Para calcular a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa ($D$), a Leonor escreveu no seu teste:

1. a) Explica fundamentadamente por que razão a abordagem da Leonor é conceptualmente errónea e que absurdo matemático ocorreria seguindo a sua lógica se ambas as máquinas tivessem, por exemplo, uma taxa de peças defeituosas de $60\,\%$.
2. b) Corrige a sua resolução aplicando formalmente o teorema da probabilidade total e calcula a probabilidade real de uma peça retirada ao acaso ser defeituosa.

Numa grande cidade, $80\,\%$ das deslocações diárias em transportes públicos são feitas de metro e $20\,\%$ de autocarro. Por inspeções anteriores da autoridade de transportes, sabe-se que viaja sem bilhete válido $1\,\%$ dos utilizadores do metro e $6\,\%$ dos utilizadores do autocarro.

1. a) Antes de efetuar qualquer cálculo exato, faz uma estimativa fundamentada: indica entre que dois valores percentuais deve situar-se necessariamente a probabilidade global de um passageiro escolhido ao acaso não ter bilhete e explica por que razão essa probabilidade estará consideravelmente mais próxima de $1\,\%$ do que de $6\,\%$.
2. b) Aplica o teorema da probabilidade total para obter o valor numérico exato dessa probabilidade e verifica formalmente se valida a tua estimativa prévia.

Numa plataforma de streaming, o conteúdo divide-se em três géneros: Ação (45%), Comédia (35%) e Documentários (20%). Sabe-se que a probabilidade de um utilizador terminar de ver um filme completo se for de Ação é de $0,7$; se for de Comédia é de $0,85$, e se for um Documentário é de $0,5$. Escolhido um filme ao acaso da plataforma, calcule a probabilidade de um utilizador vê-lo até ao final.

Uma escola oferece três atividades extracurriculares: Robótica, Teatro e Basquetebol. $25\ \%$ dos alunos estão em Robótica, $30\ \%$ em Teatro e os restantes em Basquetebol. A percentagem de alunos que passam a todas as disciplinas é de $80\ \%$ entre os de Robótica, $90\ \%$ entre os de Teatro e $70\ \%$ entre os de Basquetebol. Se selecionarmos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que tenha passado a todas as disciplinas?

Uma empresa de entregas utiliza três rotas para entregar pacotes em uma cidade. Pela rota A circula $50\ \%$ dos envios, pela rota B $30\ \%$ e pela rota C $20\ \%$ restante. Devido ao trânsito, a probabilidade de um pacote sofrer um atraso é de $0,05$ na rota A, $0,12$ na rota B e $0,15$ na rota C. Calcule a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso chegar com atraso ao seu destino.

Temos duas urnas com t-shirts de uma marca de moda urbana. A Urna 1 contém 6 t-shirts brancas e 4 pretas. A Urna 2 contém 3 t-shirts brancas e 7 pretas. Lançamos um dado equilibrado: se sair um número menor que 3, retiramos uma t-shirt da Urna 1; caso contrário, retiramos da Urna 2. Determine a probabilidade de a t-shirt retirada ser branca.

Numa loja de tecnologia, $60\ \%$ dos smartphones vendidos são da marca X, $30\ \%$ da marca Y e $10\ \%$ da marca Z. Estima-se que $2\ \%$ dos telemóveis da marca X falhem antes do primeiro ano, enquanto para a marca Y a falha é de $5\ \%$ e para a marca Z de $8\ \%$. Calcule a probabilidade de um smartphone comprado nessa loja não apresentar nenhuma falha durante o primeiro ano.

Um estudo sobre hábitos de sono em adolescentes revela que $40\ \%$ dormem menos de 7 horas, $50\ \%$ entre 7 e 9 horas, e $10\ \%$ mais de 9 horas. A probabilidade de ter dificuldades de concentração durante o dia é de $0,8$ para os que dormem menos de 7 horas, $0,2$ para o grupo intermédio e $0,1$ para os que dormem mais de 9 horas. No diagrama resumem-se estes dados. Determina a probabilidade de que um adolescente escolhido ao acaso tenha dificuldades de concentração.

Dispõe-se de três máquinas, $M_1, M_2$ e $M_3$, que fabricam peças para trotinetes elétricas. $M_1$ produz $45\ \%$ das peças, $M_2$ $30\ \%$ e $M_3$ $25\ \%$. As percentagens de peças defeituosas produzidas por cada máquina são, respetivamente, de $3\ \%$, $4\ \%$ e $5\ \%$. Se todas as peças forem misturadas num armazém, calcule a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa.

Num festival de música, $70\ \%$ dos participantes são locais e $30\ \%$ são turistas. Sabe-se que $20\ \%$ dos locais compra merchandising do evento, enquanto entre os turistas essa percentagem sobe para $60\ \%$. Se selecionarmos uma pessoa do festival ao acaso, qual é a probabilidade de que não compre merchandising?

Numa escola de condução, os alunos que se apresentam ao exame prático de condução dividem-se em três grupos de acordo com a sua preparação: grupo $A$ (mais de 30 aulas práticas, $50\,\%$ do total), grupo $B$ (entre 15 e 30 aulas, $35\,\%$) e grupo $C$ (menos de 15 aulas, o restante). A probabilidade de ser aprovado no exame à primeira tentativa é de $80\,\%$ para os do grupo $A$, de $60\,\%$ para os do grupo $B$ e de apenas $20\,\%$ para os do grupo $C$. Pretende-se saber a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso chumbar no exame.

1. a) Propõe e compara duas estratégias para calcular essa probabilidade:

• Estratégia 1: Calcular diretamente a probabilidade de chumbar somando os produtos dos ramos dos chumbos: $P(S) = \sum_{i} P(G_i)\cdot P(S|G_i)$.

• Estratégia 2: Calcular a probabilidade total de ser aprovado, $P(\text{Aprovado})$, e obter o resultado através do acontecimento complementar: $P(S) = 1 - P(\text{Aprovado})$.

Justifica qual das duas estratégias requer menos operações aritméticas quando os dados do enunciado são fornecidos em termos de aprovações e enuncia que condições deve cumprir o terno $\{A, B, C\}$ para constituir um sistema completo de acontecimentos.

1. b) Aplica a estratégia escolhida e calcula a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso não ser aprovado à primeira.

A partir dos relatórios do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre o perfil dos turistas que pernoitam numa região costeira mediterrânica, determina-se que $50\,\%$ provêm de outras regiões de Espanha (turismo nacional), $35\,\%$ provêm de outros países da União Europeia e os $15\,\%$ restantes provêm de fora da União Europeia (extracomunitário). Os estudos de consumo indicam que a probabilidade de um turista realizar uma despesa diária superior a $150$ euros é de $0,20$ se for nacional, de $0,55$ se provier da União Europeia e de $0,80$ se for extracomunitário.

1. a) Define com precisão os acontecimentos envolvidos, justifica por que razão as origens formam um sistema completo e modela a situação aplicando o teorema da probabilidade total para determinar a probabilidade de um visitante escolhido ao acaso gastar mais de $150$ euros por dia.
2. b) O plano de dinamização comercial do município tem como meta fixada que pelo menos $40\,\%$ dos turistas superem esse limiar de despesa de $150$ euros diários. Conclui de forma justificada se, com a distribuição de origens atual, se atinge esse objetivo e explica que impacto teria sobre a probabilidade global de despesa o facto de $10\,\%$ do total de visitantes passar de turismo nacional a turismo extracomunitário.

Num laboratório de biotecnologia estão a ser estudadas três estirpes bacterianas diferentes: $A$, $B$ e $C$. Sabe-se que $40\,\%$ das amostras contêm a estirpe $A$, $35\,\%$ a estirpe $B$ e o restante a estirpe $C$. A probabilidade de um antibiótico específico eliminar a bactéria é de $0,8$ para a estirpe $A$ e de $0,5$ para a estirpe $B$. Sabendo que a probabilidade total de o antibiótico eliminar uma bactéria escolhida ao acaso é de $62\,\%$, calcule fundamentadamente a probabilidade de o antibiótico ser eficaz contra a estirpe $C$.

Um algoritmo de uma rede social classifica os vídeos em três categorias segundo o seu conteúdo: "Gaming" ($G$), "Música" ($M$) e "Humor" ($H$). $50\,\%$ dos vídeos são de Gaming, $30\,\%$ de Música e $20\,\%$ de Humor. A probabilidade de um utilizador parar o "scroll" e ver um vídeo completo é de $0,3$ se for de Gaming e de $0,6$ se for de Música. Observou-se que os vídeos de Humor são especialmente virais, duplicando a probabilidade de serem vistos completos em relação aos de Gaming. Calcule a probabilidade de um utilizador escolhido ao acaso ver um vídeo completo, independentemente da sua categoria.

Temos duas urnas com composições diferentes. A Urna 1 contém 4 bolas vermelhas e 6 azuis. A Urna 2 contém 7 bolas vermelhas e 3 azuis. Lança-se um dado equilibrado: se sair um número primo, retira-se uma bola da Urna 1 e introduz-se na Urna 2, para depois retirar uma bola definitiva dessa segunda urna. Se sair um número não primo, retira-se uma bola da Urna 2 e introduz-se na Urna 1, para depois retirar a bola definitiva da Urna 1. Calcule a probabilidade de a bola retirada no final de todo o processo ser de cor vermelha.

Numa fábrica de componentes para smartphones, $5\,\%$ dos ecrãs produzidos de manhã são defeituosos, enquanto à tarde a percentagem de defeitos sobe para $8\,\%$. O volume de produção é constante durante todo o dia de trabalho, mas, devido a uma falha no sistema de armazenamento, misturam-se os lotes de três dias consecutivos. No terceiro dia, uma máquina nova melhorou o rendimento, fazendo com que apenas $2\,\%$ dos ecrãs desse dia fossem defeituosos. Se for escolhido um ecrã ao acaso do armazém (que contém a produção total dos três dias), calcule a probabilidade de o ecrã não ser defeituoso.

Um aluno do 12.º ano faz uma prova de escolha múltipla. Para cada questão, o aluno ou conhece a resposta, ou desconhece-a e escolhe uma ao acaso entre as 4 opções possíveis. Estima-se que o aluno conhece a resposta de $70\,\%$ das questões do programa. No entanto, a prova está mal elaborada e $10\,\%$ das questões que o aluno "conhece" têm uma redação ambígua que o leva a errar apesar de saber o conceito. Calcule a probabilidade de o aluno acertar numa questão escolhida ao acaso.

Uma empresa de logística utiliza três rotas para entregar pacotes numa grande cidade: Norte ($R_1$), Centro ($R_2$) e Sul ($R_3$). $30\,\%$ dos envios vão por $R_1$, $50\,\%$ por $R_2$ e $20\,\%$ por $R_3$. Os atrasos são comuns devido ao trânsito: em $R_1$ há atraso $15\,\%$ das vezes e em $R_3$ $25\,\%$. Sabe-se que a probabilidade de um pacote chegar a tempo é de $0,82$. Determine a percentagem de pacotes que sofrem atrasos quando circulam pela rota do Centro ($R_2$).

Num torneio de e-sports, um jogador profissional tem que enfrentar três níveis de dificuldade: Fácil, Normal e Lenda. No início, é-lhe atribuído um nível ao acaso mediante um sorteio em que o nível Fácil tem probabilidade $p$, o Normal $2p$ e o Lenda $0,1$. Se o jogador superar o nível atribuído, ganha o torneio. As probabilidades de ganhar são $0,9$ em Fácil, $0,6$ em Normal e $0,2$ em Lenda.

1. a) Determine o valor de $p$ para que a distribuição de níveis seja uma lei de probabilidade válida.
2. b) Calcule a probabilidade de o jogador ganhar o torneio.

Dispõe-se de um baralho de 40 cartas e um dado de seis faces. Extrai-se uma carta do baralho. Se for uma figura, lança-se o dado uma vez. Se a carta não for uma figura, lança-se o dado duas vezes e somam-se os pontos.

1. a) Calcule a probabilidade de a soma das pontuações obtidas ser igual a 6.
2. b) Qual é a probabilidade de se obter pelo menos um 5 no total de lançamentos realizados (seja um ou dois lançamentos)?

O departamento de gestão de risco de uma entidade bancária classifica os pedidos de hipoteca em três perfis de solvabilidade: Favorável ($N_1$), Intermédio ($N_2$) e Desfavorável ($N_3$). Na sua carteira atual, $55\,\%$ dos pedidos correspondem a $N_1$ e $30\,\%$ a $N_2$. A partir de dados históricos, estima-se que a probabilidade de entrar em incumprimento (não pagamento) é de $0,01$ para $N_1$ e de $0,05$ para $N_2$.

1. a) O supervisor bancário impõe que a probabilidade global de incumprimento da carteira não ultrapasse $3\,\%$. Determina algebricamente o valor máximo que a probabilidade condicionada de incumprimento do grupo Desfavorável, $P(\text{Mora}|N_3)$, pode assumir para que o banco cumpra a regulamentação sem ter de rejeitar ou alterar as proporções atuais de clientes de cada grupo.
2. b) Supõe que, após uma deterioração económica geral, a probabilidade de incumprimento do perfil Desfavorável sobe de forma imprevista para $0,12$. Para manter a taxa global de incumprimento exatamente em $3\,\%$, o banco decide reestruturar a carteira modificando a quota de pedidos aceites de $N_1$ e de $N_3$, mas mantendo inalterada a quota do grupo Intermédio $N_2$ em $30\,\%$. Formula a equação do teorema da probabilidade total em função da nova proporção $p$ de clientes do tipo $N_1$ e determina de forma fundamentada que percentagem mínima de pedidos favoráveis a entidade deve captar.

Um lagar de Jaén classifica a azeitona que entra nas suas instalações em duas categorias: Colheita Precoce ($T$) e Colheita Tradicional ($R$). Uma proporção $p$ da azeitona é colhida precocemente ($0 < p < 1$) e o restante mediante colheita tradicional. Devido às características do fruto, a probabilidade de um lote obter a classificação máxima de Azeite Virgem Extra (AOVE) é de $0,90$ se provier de colheita precoce e de $0,55$ se provier de colheita tradicional.

1. a) Exprime a probabilidade total de um lote qualquer obter a classificação de AOVE como uma função linear dependente de $p$, $f(p)$. Interpreta o significado agronómico e matemático do declive e da ordenada na origem dessa reta no contexto do problema.
2. b) Para a campanha seguinte, a direção técnica analisa dois planos de melhoria com o mesmo custo orçamental:

• Plano 1: Manter a proporção atual de colheita precoce em $p = 0,20$, mas incorporar um sistema de refrigeração na batedura que eleve a probabilidade de obter AOVE a partir da colheita tradicional de $0,55$ para $0,70$.

• Plano 2: Manter o maquinário atual (mantendo as eficácias em $0,90$ e $0,55$), mas incentivar financeiramente os agricultores a antecipar a colheita, elevando a proporção de colheita precoce de $p = 0,20$ para $p = 0,60$.

Calcula, através do teorema da probabilidade total, a proporção final de AOVE que seria alcançada com cada plano, compara-os justificando qual é mais vantajoso para maximizar a produção de máxima qualidade e reflete sobre que risco operacional a cooperativa assumiria se escolhesse o Plano 2 em vez do Plano 1.