Exercícios: Eventos dependentes e independentes

Numa experiência aleatória, lança-se uma moeda equilibrada (com as faces $C$ e $X$) e um dado com seis faces numeradas de 1 a 6. Consideram-se os seguintes acontecimentos:

• $A$: "Obter cara na moeda".

• $B$: "Obter um número par no dado".

Justifique se os acontecimentos $A$ e $B$ são dependentes ou independentes e calcule a probabilidade de que ocorram ambos ao mesmo tempo, isto é, $P(A \cap B)$.

Uma urna contém 5 bolas cor de laranja e 3 bolas de cor violeta. Extraem-se duas bolas de forma consecutiva com reposição (devolve-se a primeira bola à urna antes de extrair a segunda).

1. a) Calcula a probabilidade de as duas bolas extraídas serem de cor laranja.

1. b) O resultado da primeira extração influencia a probabilidade da segunda? Justifica a tua resposta.

Utilizando a mesma urna do exercício anterior (5 bolas laranjas e 3 violetas), extraem-se agora duas bolas sem reposição.

1. a) Calcule a probabilidade de que a segunda bola seja laranja sabendo que a primeira foi violeta.
2. b) Estes acontecimentos são independentes? Justifique a sua resposta comparando este resultado com a probabilidade de extrair uma bola laranja na primeira posição.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de um espaço de resultados tais que conhecemos as suas probabilidades: $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,4$. Se sabemos que os acontecimentos são independentes, calcule:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$

Numa turma do 12.º ano, $40\%$ dos alunos utilizam habitualmente a rede social Instagram ($I$) e $25\%$ utilizam o TikTok ($T$). Sabe-se ainda que o uso de ambas as redes é independente entre si. Se escolhermos um aluno ao acaso, calcule a probabilidade de que:

1. a) Utilize ambas as redes sociais.
2. b) Não utilize nenhuma das duas.

Um jogador de basquetebol tem uma probabilidade de converter um lance livre de $0,8$. Se lança dois lances livres seguidos e assumimos que o sucesso no segundo lançamento é independente do resultado do primeiro, calcule:

1. a) A probabilidade de que converta os dois lançamentos.
2. b) A probabilidade de que falhe os dois lançamentos.
3. c) A probabilidade de que converta pelo menos um.

De um baralho espanhol de 40 cartas (há 4 Reis) extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Sejam os acontecimentos:

• $A$: "A primeira carta é um Rei".

• $B$: "A segunda carta é um Rei".

O diagrama de árvore mostra a situação. As probabilidades da primeira extração já estão escritas; as da segunda extração, marcadas com «?», tens de as determinar tu.

Calcula a probabilidade de $B$ condicionada a $A$, isto é, $P(B|A)$. Será esta probabilidade igual à probabilidade de obter um Rei na primeira extração? Justifica se os acontecimentos são dependentes ou independentes.

Dispõe-se da seguinte informação sobre dois acontecimentos $X$ e $Y$:

$P(X) = 0,5$, $P(Y) = 0,3$ e $P(X \cap Y) = 0,15$.

Demonstre matematicamente se os acontecimentos $X$ e $Y$ são independentes. Para isso, verifique se se cumpre a condição necessária que relaciona a probabilidade da interseção com o produto das probabilidades individuais.

Num teste de Matemática Aplicada às Ciências Sociais é proposta a seguinte questão: «Dois acontecimentos $A$ e $B$ de uma mesma experiência aleatória verificam que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ e além disso são incompatíveis ($A \cap B = \emptyset$). São acontecimentos independentes?».\nO Marcos responde no seu teste:\n«Sim, são independentes porque, sendo incompatíveis, não se intersetam, o que significa que o acontecimento $A$ não tem nada a ver com o acontecimento $B$ e, portanto, não se influenciam mutuamente».\na) Identifica e explica detalhadamente o erro de raciocínio cometido pelo Marcos, esclarecendo a diferença concetual entre dois acontecimentos serem incompatíveis e serem independentes.\nb) Demonstra formalmente, aplicando a condição matemática de independência, se os referidos acontecimentos são ou não independentes.

De um baralho espanhol de 40 cartas extraem-se sucessivamente duas cartas. Considera os acontecimentos $O_1$: «a primeira carta extraída é um ouro» e $O_2$: «a segunda carta extraída é um ouro».\na) Antes de efetuar operações numéricas, estima e fundamenta se saber que se verificou o acontecimento $O_1$ faz com que a probabilidade de $O_2$ aumente, diminua ou fique igual em duas hipóteses distintas: 1) se a extração for realizada com reposição, e 2) se for realizada sem reposição.\nb) Verifica a tua estimativa calculando em ambas as hipóteses $P(O_2)$ e $P(O_2|O_1)$, e justifica a partir dos resultados em que caso os acontecimentos são independentes e em qual são dependentes.

Num estudo sobre o consumo de conteúdo em streaming entre jovens, observou-se que a probabilidade de um estudante estar inscrito na plataforma A é $P(A) = 0,6$, enquanto a probabilidade de estar inscrito na plataforma B é $P(B) = 0,5$. Além disso, sabe-se que a probabilidade de não estar inscrito em nenhuma das duas é $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

1. a) Calcule a probabilidade de um estudante estar inscrito em ambas as plataformas.
2. b) Determine se os acontecimentos "estar inscrito na plataforma A" e "estar inscrito na plataforma B" são acontecimentos independentes. Justifique a sua resposta comparando $P(A \cap B)$ com $P(A) \cdot P(B)$.

Uma marca de roupa desportiva sabe que $70\%$ dos seus clientes compram ténis de corrida. Daqueles que compram ténis, $40\%$ também adquirem uma t-shirt técnica. Por outro lado, entre os que não compram ténis, apenas $15\%$ adquire a t-shirt técnica.

1. a) Se escolhermos um cliente ao acaso, qual é a probabilidade de que compre a t-shirt técnica?
2. b) Os acontecimentos "comprar ténis" e "comprar t-shirt" são independentes? Justifique a resposta analisando se o facto de comprar ténis modifica a probabilidade de comprar a t-shirt.

Num centro educativo, $45\%$ dos alunos do 2.º ano de Bachillerato são da modalidade de Ciências Sociais ($CS$), $35\%$ de Ciências e Tecnologia ($CT$) e o resto de Artes ($A$). Sabe-se que a probabilidade de um aluno gostar de estatística é $0,8$ se é de $CS$, $0,6$ se é de $CT$ e $0,3$ se é de $A$.

1. a) Desenha o diagrama de árvore que represente esta situação, indicando em cada ramo a sua probabilidade.

1. b) O gosto pela Estatística é um acontecimento independente do curso frequentado? Demonstra-o matematicamente para o caso do curso de Ciências Socioeconómicas.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,3$.

1. a) Se $A$ e $B$ são acontecimentos independentes, calcule $P(A \cup B)$ e $P(A | B)$.
2. b) Se $A$ e $B$ são acontecimentos dependentes e sabemos que $P(A \cap B) = 0,2$, calcule $P(B | A)$.
3. c) No caso b), $A$ e $B$ são acontecimentos incompatíveis? Justifique a sua resposta.

Um criador de conteúdos digitais tem dois canais: um de videojogos ($V$) e outro de culinária ($C$). $60\%$ dos seus subscritores seguem o canal $V$, $40\%$ seguem o canal $C$ e $20\%$ seguem ambos os canais.

1. a) Se selecionarmos um subscritor ao acaso e soubermos que segue o canal de culinária, qual é a probabilidade de que também siga o de videojogos?
2. b) À luz dos dados, dirias que o facto de seguir um canal influi na probabilidade de seguir o outro? Justifica se os acontecimentos são dependentes ou independentes.

Num estojo há 10 marcadores: 6 são de cor azul e 4 são de cor vermelha. Extraem-se sucessivamente e sem reposição dois marcadores.

1. a) Qual é a probabilidade de que ambos sejam azuis?
2. b) Qual é a probabilidade de que o segundo seja vermelho se o primeiro foi azul?
3. c) Os acontecimentos "o primeiro marcador é azul" e "o segundo marcador é azul" são independentes? Justifique a sua resposta comparando as probabilidades condicionadas.

Classificaram-se os acidentes de trânsito numa cidade segundo o tipo de veículo e se o condutor tinha menos de 25 anos. Os dados estão recolhidos na seguinte tabela:

1. a) Se escolhermos um acidente ao acaso, qual é a probabilidade de o condutor ter menos de 25 anos?
2. b) Se sabemos que o acidente foi de um ciclomotor, qual é a probabilidade de o condutor ter menos de 25 anos?
3. c) Utilizando os resultados anteriores, explique justificadamente se os acontecimentos "ter menos de 25 anos" e "conduzir um ciclomotor" são independentes.

Considere dois acontecimentos $A$ e $B$ de uma experiência aleatória dos quais se conhecem as seguintes probabilidades: $P(A) = 0,5$, $P(B | A) = 0,4$ e $P(B | \bar{A}) = 0,4$.

1. a) Calcule $P(A \cap B)$ e $P(\bar{A} \cap B)$.
2. b) A partir dos resultados anteriores, calcule $P(B)$.
3. c) Demonstre se os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes. Que conclusão se pode tirar sobre a probabilidade de $B$ quando esta não varia mesmo sabendo que $A$ ocorreu ou não ocorreu?

A partir de uma amostra representativa de jovens de 20 a 29 anos em Espanha (com dados inspirados no Inquérito às Condições de Vida do INE), analisa-se a relação entre ter um emprego remunerado (acontecimento $E$) e ter-se emancipado do agregado familiar (acontecimento $H$). Sabe-se que $40\,\%$ dos jovens têm emprego ($P(E) = 0,40$), que a probabilidade de estar emancipado sabendo que se tem emprego é $P(H|E) = 0,35$ e que a probabilidade global de um jovem estar emancipado é $P(H) = 0,26$.\na) Calcula a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso trabalhar e estar emancipado ao mesmo tempo, $P(E \cap H)$.\nb) Determina formalmente se os acontecimentos «ter emprego» e «estar emancipado» são estatisticamente independentes.\nc) Interpreta o resultado obtido no contexto socioeconómico do estudo: o facto de trabalhar aumenta, reduz ou deixa inalterada a probabilidade de emancipação relativamente à média da juventude?

Num grupo de 50 estudantes do 2.º ano de Bacharelato, 30 estão inscritos em Francês ($F$) e um número desconhecido $k$ de estudantes está inscrito em Informática ($I$). Sabe-se que exatamente 12 estudantes frequentam ambas as disciplinas em simultâneo.\na) Apresenta e resolve a equação que permite calcular o valor exato de $k$ para que os acontecimentos «frequentar Francês» e «frequentar Informática» sejam estatisticamente independentes ao escolher um aluno ao acaso.\nb) Supõe que, no início do segundo período, entram para a escola 10 novos estudantes que se matriculam unicamente em Informática (pelo que o total passa a ser de 60 alunos, enquanto os que frequentam ambas as disciplinas continuam a ser 12). Com o valor de $k$ obtido, justifica se os acontecimentos continuam a ser independentes ou se passaram a ser dependentes.

Numa plataforma de streaming, o algoritmo recomenda uma série com base em dois critérios: o género (acontecimento $G$) e a popularidade (acontecimento $P$). Sabe-se que a probabilidade de um utilizador gostar de uma série é de $0,6$. A probabilidade de ser recomendada pelo seu género é de $0,45$ e a de ser recomendada pela sua popularidade é de $0,4$. Sabendo que um utilizador gosta de uma série, a probabilidade de o algoritmo a ter recomendado pelo seu género é de $0,5$. Além disso, os acontecimentos "gostar da série" e "ser recomendada pela sua popularidade" são independentes.

Calcula fundamentadamente:

1. a) A probabilidade de uma série ser recomendada pelo seu género e, além disso, o utilizador gostar dela.
2. b) A probabilidade de um utilizador gostar de uma série ou de esta ter sido recomendada pela sua popularidade.
3. c) Os acontecimentos "ser recomendada pelo seu género" e "gostar da série" são independentes? Justifica a resposta com cálculos.

Dispomos de duas urnas com as seguintes composições: a urna $U_1$ contém 4 bolas vermelhas e 6 pretas; a urna $U_2$ contém 3 bolas vermelhas e 2 pretas. A experiência consiste em retirar uma bola ao acaso de $U_1$ e introduzi-la em $U_2$, sem olhar para a sua cor. Em seguida, retiram-se simultaneamente duas bolas de $U_2$.

1. a) Calcule a probabilidade de que as duas bolas retiradas de $U_2$ sejam de cores diferentes.
2. b) Se as duas bolas retiradas de $U_2$ resultaram ser pretas, qual é a probabilidade de que a bola transferida de $U_1$ tenha sido vermelha?

Um sistema de cibersegurança industrial utiliza três nós de verificação ($N_1, N_2, N_3$) dispostos em série, de modo que o sistema só permite o acesso se os três nós validarem a entrada. A probabilidade de o nó $N_1$ falhar é de $0,02$. O nó $N_2$ é mais sensível: se $N_1$ validou a entrada, a probabilidade de $N_2$ falhar é de $0,05$, mas se $N_1$ falhou, o nó $N_2$ bloqueia-se e falha com probabilidade $1$. Finalmente, o nó $N_3$ funciona de forma independente do restante com uma probabilidade de acerto de $0,98$.

1. a) Qual é a probabilidade de uma entrada legítima ser rejeitada pelo sistema?
2. b) Se o sistema rejeitou uma entrada, calcule a probabilidade de a falha ter ocorrido exclusivamente no nó $N_2$.

Num estudo sociológico sobre o uso de energias renováveis, classificam-se os indivíduos em "proativos" ($A$) ou "passivos" ($B$). Sabe-se que $30\%$ da população é proativa. A probabilidade de um indivíduo proativo instalar painéis solares é de $0,8$, enquanto para um indivíduo passivo essa probabilidade se reduz a $0,2$. Escolhem-se duas pessoas ao acaso de forma independente.

1. a) Calcule a probabilidade de que pelo menos uma das duas pessoas instale painéis solares.
2. b) Sabendo que apenas uma das duas pessoas instalou painéis solares, qual é a probabilidade de essa pessoa pertencer ao grupo dos proativos?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que $P(A^c \cap B^c) = 0,2$, $P(A | B) = 0,4$ e $P(B | A) = 0,5$.

1. a) Calcule as probabilidades dos acontecimentos $A$ e $B$. (Indicação: utilize a definição de probabilidade condicionada para propor um sistema de equações).
2. b) Determine se os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes. Justifique a sua resposta.
3. c) Calcule $P(A^c \cup B)$.

Um teste de diagnóstico para uma doença rara (que afeta $0,5\%$ da população) apresenta $2\%$ de falsos positivos (pessoas saudáveis para as quais o teste dá positivo) e $1\%$ de falsos negativos (pessoas doentes para as quais o teste dá negativo).

1. a) Se uma pessoa se submete ao teste e dá positivo, e em seguida se submete a um segundo teste idêntico e independente que também dá positivo, qual é a probabilidade de que realmente esteja doente?
2. b) Comente o resultado obtido comparando-o com a probabilidade após um único teste positivo.

Uma escola organiza o refeitório em três turnos. $20\%$ dos alunos comem no primeiro turno, $50\%$ no segundo e $30\%$ no terceiro. A pontualidade ao voltar para a aula depende do turno: do primeiro turno chega atrasado $10\%$, do segundo $5\%$ e do terceiro $x\%$. Sabendo que a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso chegar pontual à aula é de $0,923$:

1. a) Determine o valor de $x$ (percentagem de alunos que chegam atrasados do terceiro turno).
2. b) Se um aluno chegou atrasado à aula, de que turno é mais provável que venha?

Num torneio de videojogos, um jogador deve superar duas fases. A probabilidade de superar a primeira fase é $0,7$. Se superar a primeira, a probabilidade de superar a segunda é $0,5$. Se não superar a primeira, é-lhe dada uma oportunidade de "repescagem" que supera com probabilidade $0,3$. Se superar a repescagem, entra na segunda fase, mas com uma probabilidade de sucesso de apenas $0,2$ devido ao cansaço acumulado.

1. a) Calcule a probabilidade de o jogador superar finalmente o torneio (superar a segunda fase).
2. b) Se o jogador superou o torneio, qual é a probabilidade de o ter conseguido sem necessidade de passar pela repescagem?

Num serviço de urgências hospitalares, $60\,\%$ dos doentes dão entrada com patologias ligeiras (acontecimento $L$) e os restantes $40\,\%$ com patologias graves (acontecimento $G = \bar{L}$). Por protocolo clínico, a $30\,\%$ dos doentes ligeiros é realizado um exame imagiológico radiológico (acontecimento $R$), ao passo que esse exame é prescrito a $75\,\%$ dos doentes graves.\nPara determinar se os acontecimentos «ter uma patologia ligeira» e «necessitar de um exame radiológico» são dependentes ou independentes, dois analistas do centro propõem caminhos distintos:\n- Método 1: Calcular $P(R)$ usando o teorema da probabilidade total e verificar se se cumpre a igualdade do produto $P(L \cap R) = P(L) \cdot P(R)$.\n- Método 2: Comparar diretamente o dado condicionado $P(R|L)$ com o valor global de $P(R)$ ou então contrastar diretamente $P(R|L)$ com $P(R|G)$.\na) Aplica com rigor ambos os métodos realizando todos os cálculos numéricos necessários e enuncia a conclusão obtida sobre a independência.\nb) Compara criticamente ambas as abordagens: fundamenta qual dos dois métodos é mais eficiente (requer menos passos de cálculo para responder à questão) e que vantagem interpretativa oferece contrastar $P(R|L)$ face a $P(R|G)$ em relação a limitar-se a verificar a fórmula do produto.

Segundo registos históricos climatológicos numa região agrícola mediterrânica durante o mês de outubro, a probabilidade de chover num dia qualquer é $P(L) = 0,30$. Devido à instabilidade atmosférica persistente, constata-se que, se num dia chover, a probabilidade de voltar a chover no dia seguinte sobe para $0,58$; por outro lado, se num dia não chover, a probabilidade de chuva no dia seguinte desce para $0,18$.\nConsidera dois dias consecutivos quaisquer (dia 1 e dia 2) com os acontecimentos $L_1$: «chove no dia 1» e $L_2$: «chove no dia 2».\na) Demonstra formalmente, através da definição de probabilidade condicionada, se os acontecimentos $L_1$ e $L_2$ são independentes ou dependentes.\nb) Um modelo de previsão simplista assume a hipótese de independência temporal, considerando que $P(L_1 \cap L_2) = P(L_1) \cdot P(L_2) = 0,30 \cdot 0,30 = 0,09$. Calcula a probabilidade real de chover em ambos os dias consecutivos, sabendo que o dia anterior ao dia 1 esteve seco (não choveu).\nc) Um agricultor decide não aplicar um tratamento fitossanitário se a probabilidade de chover nos dois dias consecutivos for superior a $10\,\%$. Explica que decisão tomaria sob o modelo simplista e que decisão tomaria com o modelo real (partindo do princípio de que o dia anterior esteve seco). Avalia as consequências práticas de modelar acontecimentos dependentes como se fossem independentes.