Exercícios: Teorema dos cossenos

Num triângulo $ABC$, são conhecidos os lados $b=5$ cm, $c=8$ cm e o ângulo compreendido $A=60^\circ$. Calcule o comprimento do lado $a$.

Num triângulo $ABC$, os comprimentos dos lados são $a=3$ cm, $b=5$ cm e $c=7$ cm. Calcule a amplitude do ângulo $C$.

Num triângulo $ABC$, os lados medem $a=10$ cm, $b=12$ cm e o ângulo compreendido é $C=45^\circ$. Aplique o teorema dos cossenos para calcular o valor exato do lado $c$.

Determine a medida do ângulo $B$ num triângulo cujos lados são $a=7$ cm, $b=8$ cm e $c=9$ cm.

Um paralelogramo tem dois lados adjacentes que medem 4 cm e 6 cm. Se o ângulo compreendido entre eles é de $120^\circ$, calcule o comprimento da diagonal maior.

Calcule a distância entre dois pontos inacessíveis $A$ e $B$, sabendo que a partir de um ponto de observação $C$ foram medidas as distâncias $CA = 15$ m e $CB = 20$ m, e o ângulo visual $ACB$ é de $40^\circ$.

Num triângulo isósceles $ABC$, os lados $a$ e $b$ medem 6 cm cada um, e o ângulo desigual $C=30^\circ$. Calcule o valor exato do lado $c$ deixando o resultado com radicais.

Determine o maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.

A Beatriz precisa de calcular a distância entre duas balizas, $B$ e $C$, conhecendo as distâncias a partir da sua posição de observação $A$ ($b = AC = 6\text{ m}$ e $c = AB = 10\text{ m}$) e o ângulo formado pelas visuais, $\widehat{A} = 120^\circ$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento:

1. a) Sem refazer as operações numéricas no início, fundamenta geometricamente por que razão o resultado da Beatriz não pode estar correto, comparando a figura com um triângulo retângulo de catetos $6\text{ m}$ e $10\text{ m}$.
2. b) Localiza o erro matemático concreto cometido pela Beatriz, explica que propriedade das razões trigonométricas ela não teve em conta e calcula o valor correto do lado $a$ arredondado a duas casas decimais.

Dois troços retos de um percurso pedestre homologado na região de Viseu medem $b = 7\text{ km}$ e $c = 8\text{ km}$, e bifurcam-se formando um ângulo $\widehat{A} = 58^\circ$. A câmara municipal quer traçar um caminho reto direto que ligue as duas extremidades livres (lado $a$).

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo com a calculadora: tendo em conta que $58^\circ$ é muito próximo de $60^\circ$ e que os lados são quase iguais ($7\text{ km}$ e $8\text{ km}$), faz uma estimativa fundamentada de quanto medirá aproximadamente o lado $a$. Entre que dois valores extremos deve encontrar-se obrigatoriamente pela desigualdade triangular?
2. b) Aplica o teorema de Carnot (teorema dos cossenos) com $\cos(58^\circ) \approx 0,530$ para calcular o comprimento exato de $a$, arredondando às centésimas.
3. c) Contrasta a tua estimativa prévia com o resultado obtido e justifica se o valor é fisicamente plausível.

Dois aviões partem de um mesmo aeroporto ao mesmo tempo. O avião A voa a $800$ km/h com um rumo de $040^\circ$ e o avião B voa a $650$ km/h com um rumo de $115^\circ$. Que distância em linha reta os separa após 1,5 horas de voo?

Para medir a distância através de um lago entre os pontos $A$ e $B$, um topógrafo coloca-se no ponto $C$. Mede as distâncias $CA = 125,5$ m e $CB = 180,2$ m, e o ângulo $ACB = 75^\circ$. Calcule a distância $AB$.

Duas forças de 45 N e 60 N atuam sobre um mesmo ponto material formando um ângulo de $50^\circ$ entre si. Calcule a intensidade da força resultante.

As diagonais de um paralelogramo medem 12 cm e 16 cm, e cortam-se formando um ângulo de $65^\circ$. Calcule o comprimento dos quatro lados do paralelogramo.

Uma asna de telhado triangular tem lados de 5 m, 7 m e 9 m. Calcule o ângulo oposto ao lado mais longo.

Num campo de futebol, um jogador encontra-se a 25 m de um poste da baliza e a 28 m do outro poste. Sabendo que a baliza tem uma largura regulamentar de 7,32 m, sob que ângulo o jogador vê a baliza de uma extremidade à outra?

Dois satélites orbitam a Terra. A partir de uma estação de rastreio, as distâncias em linha reta aos satélites são 400 km e 600 km, e o ângulo entre as suas linhas de visão é de $35^\circ$. A que distância se encontram os satélites entre si?

Numa circunferência de 10 cm de raio, uma corda subtende um ângulo ao centro de $100^\circ$. Calcule o comprimento da corda utilizando o teorema dos cossenos no triângulo formado pelos raios e pela corda.

Num triângulo de lados conhecidos $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ e $c = 9\text{ cm}$, deseja-se determinar a amplitude dos seus três ângulos combinando o teorema de Carnot (teorema do cosseno) com a lei dos senos para poupar tempo de cálculo. Dois colegas propõem estratégias diferentes para o primeiro passo:

• O Marcos propõe: «Calculemos primeiro o ângulo menor, $\widehat{A}$, usando o teorema do cosseno e, depois, isolemos o ângulo maior, $\widehat{C}$, através da lei dos senos».

• A Sara contesta: «É muito mais seguro calcular primeiro o ângulo maior, $\widehat{C}$, através do teorema do cosseno e, a partir dele, encontrar $\widehat{A}$ com a lei dos senos».

1. a) Justifica matematicamente qual dos dois métodos é preferível e explica que risco ou ambiguidade matemática acarreta o outro ao utilizar a função inversa $\operatorname{arcsen}$ no intervalo $[0^\circ, 180^\circ]$.
2. b) Seguindo a estratégia correta, determina fundamentadamente se o triângulo é acutângulo ou obtusângulo examinando unicamente o sinal de $\cos \widehat{C}$, e calcula o valor dos três ângulos do triângulo arredondados ao grau mais próximo.

Durante os trabalhos de vigilância de incêndios do Instituto da Conservação da Natureza e das Florestas na Serra da Estrela, uma torre de controlo situada no ponto de observação $P$ avista duas colunas de fumo em pontos inacessíveis entre si, $F_1$ e $F_2$.

Com o telémetro laser e o goniómetro do posto, obtêm-se as seguintes medições:

• Distância à primeira coluna: $d(P, F_1) = 3,4\text{ km}$.

• Distância à segunda coluna: $d(P, F_2) = 5,2\text{ km}$.

• Ângulo horizontal formado por ambas as visuais: $\widehat{F_1 P F_2} = 115^\circ$.

1. a) Modela a disposição dos três pontos através de um triângulo, identifica os elementos conhecidos e calcula a distância em linha reta que separa ambos os focos de fumo (arredonda a duas casas decimais).
2. b) A brigada helitransportada dispõe de uma mangueira de instalação rápida de emergência de $7\text{ km}$. Justifica se com esse equipamento seria viável ligar de forma direta ambos os focos sem necessidade de passar pelo posto de observação $P$.

Num triângulo, os comprimentos dos lados são $x$, $x+2$ e $x+4$. Se o maior dos ângulos mede $120^\circ$, escreva a equação correspondente, determine o valor de $x$ e os comprimentos exatos dos três lados.

Demonstre algebricamente que em qualquer triângulo $ABC$ se verifica a seguinte relação:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

Num triângulo $ABC$, os lados medem $a=8$ cm, $b=10$ cm e $c=12$ cm. Calcule o comprimento exato da mediana $m_a$ traçada a partir do vértice $A$ até ao ponto médio do lado $a$.

Um quadrilátero inscritível (cíclico) $ABCD$ tem lados de comprimentos $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm e $DA=6$ cm. Tendo em conta as propriedades dos ângulos opostos num quadrilátero cíclico, monte um sistema utilizando o teorema dos cossenos nos triângulos $ABC$ e $ADC$ para calcular o comprimento exato da diagonal $AC$.

Se num triângulo $ABC$ se cumpre a relação algébrica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determine a medida exata do ângulo $A$ sem utilizar a calculadora.

Um triângulo tem uma base fixa $c = 10$ cm e um perímetro constante $p = 26$ cm. Se o ângulo $C$ oposto à base mede $60^\circ$, escreve um sistema de equações e determina os comprimentos exatos dos outros dois lados $a$ e $b$.

Duas circunferências de raios 5 cm e 8 cm intersetam-se em dois pontos. A distância entre os seus centros é de 10 cm. Calcule o comprimento da corda comum a ambas as circunferências. (Sugestão: Use o teorema do cosseno para encontrar o ângulo central no triângulo formado pelos raios e pela linha dos centros e, a partir daí, obtenha a altura do triângulo).

Calcule o ângulo agudo formado por duas diagonais principais de um cubo. Para isso, expresse o comprimento da diagonal em função da aresta $a$ e aplique o teorema do cosseno no triângulo formado pelas metades de duas diagonais e uma aresta do cubo.

Projeta-se uma asna triangular de aço para o telhado de um pavilhão industrial. Duas das barras estruturais têm comprimentos fixos de $b = 5\text{ m}$ e $c = 8\text{ m}$.

1. a) Escreve uma inequação em função do comprimento do terceiro lado, $a$, que garanta que o ângulo $\widehat{A}$ compreendido entre as duas barras dadas seja estritamente obtuso ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Determina o intervalo de valores reais possíveis para o comprimento $a$.
2. b) Supõe agora que o caderno de encargos é modificado, fixando a barra $a = 7\text{ m}$ e o ângulo $\widehat{A} = 60^\circ$, mantendo $c = 8\text{ m}$, mas deixando o comprimento da barra $b$ como incógnita a dimensionar. Apresenta a equação do segundo grau que $b$ deve satisfazer aplicando o teorema de Carnot (lei dos cossenos).
3. c) Resolve a equação obtida, verifica se as soluções encontradas são geometricamente viáveis através da desigualdade triangular e explica por que razão este caso proporciona duas configurações triangulares distintas e válidas com os mesmos dados iniciais.

Nas manobras de atracação no porto exterior de Leixões, dois rebocadores puxam simultaneamente um navio mercante aplicando forças coplanares de intensidades fixas $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ e $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. Os cabos de reboque formam entre si um ângulo $\alpha = 40^\circ$.

1. a) Estima fundamentadamente entre que dois limites extremos deve situar-se a intensidade da força resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$, considerando as situações limite em que os cabos puxassem na mesma direção e sentido, ou em sentidos opostos.
2. b) Ao representar a soma vetorial através da regra do paralelogramo, obtém-se um triângulo cujos lados contíguos são $|\vec{F}_1|$ e $|\vec{F}_2|$, e cujo terceiro lado representa o vetor resultante $\vec{R}$. Justifica geometricamente por que razão o ângulo oposto a $\vec{R}$ nesse triângulo mede $180^\circ - \alpha = 140^\circ$, e não $40^\circ$.
3. c) Aplica o teorema de Carnot (teorema dos cossenos) para determinar a intensidade exata da força resultante $\vec{R}$ (em $\text{kN}$, arredondada a uma casa decimal) e verifica a precisão da tua estimativa.
4. d) Por exigências de segurança estrutural do casco, a força resultante total não pode ultrapassar os $105\text{ kN}$. Formula a inequação correspondente e deduz o ângulo mínimo $\alpha$ que os cabos dos rebocadores devem formar para não ultrapassar esse limite.