Exercícios: Permutações

Calcule o valor numérico das seguintes expressões com fatoriais: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ e $\frac{12!}{10!}$.

Um grupo de $6$ amigos vai ao teatro e compra bilhetes para lugares consecutivos na mesma fila. De quantas formas distintas se podem sentar para apreciar a peça?

Quantas palavras distintas, tenham ou não sentido no dicionário, podem ser formadas reordenando todas as letras da palavra "MUNDO"?

Numa galeria de arte vão ser expostos $5$ quadros de um artista local, pendurando-os em linha reta numa parede principal. De quantas maneiras diferentes se podem ordenar as obras?

Durante uma competição de atletismo escolar, $7$ corredores chegam à linha de chegada sem que ocorra nenhum empate. Quantas classificações distintas podem ocorrer ao final da corrida?

Um festival de música tem programadas as atuações de $4$ bandas de rock para a noite de sábado. De quantas formas se pode organizar a ordem em que vão subir ao palco para tocar?

Para configurar uma palavra-passe segura, uma aplicação exige a utilização exata dos caracteres $A, B, C, 1, 2$, sem repetir nenhum deles. Quantas palavras-passe distintas podem ser criadas no sistema?

Simplifique a seguinte expressão algébrica que envolve fatoriais, expressando o resultado na sua forma mais reduzida: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

O Marcos quer calcular quantas palavras distintas, tenham ou não sentido, se podem formar ordenando todas as letras da palavra «PATATA». No seu exame escreve o seguinte:

«Como a palavra tem 6 letras, há $6! = 720$ ordenações. Mas como a letra A se repete 3 vezes e a letra T se repete 2 vezes, subtraio-as ao total: $6! - 3! - 2! = 720 - 6 - 2 = 712$ palavras possíveis».

Identifica o erro conceptual que o Marcos cometeu, explica por palavras tuas por que razão a operação de subtrair fatoriais não faz sentido neste contexto de ordenações e calcula a solução correta aplicando e justificando a fórmula adequada.

Quatro amigos vão lanchar a um café no centro da cidade. Hesitam entre sentar-se num balcão com 4 bancos em fila ou sentar-se numa mesa circular de 4 lugares onde apenas importa a posição relativa entre eles (quem fica à esquerda ou à direita de quem).

1. a) Antes de aplicar qualquer fórmula, estima de forma fundamentada qual das duas situações oferecerá um maior número de ordenações distintas e arrisca que relação aproximada haverá entre ambos os resultados.
2. b) Calcula de forma exata o número de ordenações no balcão ($P_4$) e na mesa redonda ($PC_4$).
3. c) Verifica se o cálculo confirma a tua estimativa inicial e fundamenta por que razão o facto de fixar uma pessoa como referência na mesa reduz o total de ordenações exatamente por esse fator.

Cinco amigos vão ao cinema e sentam-se em cadeiras contíguas. Dois deles, Amina e Tomás, querem sentar-se juntos para partilhar a pipoca. De quantas maneiras podem os cinco amigos acomodar-se cumprindo sempre esta condição?

Um navio comunica com outras embarcações mediante bandeiras coloridas hasteadas verticalmente num mastro. Se dispõe de $3$ bandeiras vermelhas, $2$ bandeiras azuis e $1$ bandeira amarela, todas do mesmo tamanho, quantas mensagens distintas pode enviar usando todas as bandeiras ao mesmo tempo?

Uma família de $6$ membros senta-se para jantar à volta de uma mesa circular num restaurante. De quantas formas distintas se podem posicionar se importa apenas a posição relativa entre eles e não a cadeira exata que ocupam na sala?

Quantas palavras diferentes, tenham ou não sentido, podem ser formadas utilizando todas as letras da palavra "CAMPANA"?

Na final de uma prova de natação dos Jogos Olímpicos participam $8$ nadadores. Se sabemos com certeza qual nadador ganhou a medalha de ouro e qual chegou em último lugar devido a uma lesão, de quantas formas distintas é que os restantes participantes se podem ter classificado nas posições intermédias?

No mapa de uma cidade com ruas dispostas em quadrícula, um estafeta de bicicleta deve ir do ponto $A$ até ao ponto $B$ deslocando-se apenas para a direita e para cima. Quantos caminhos diferentes de comprimento mínimo pode seguir para realizar a entrega?

Um engenheiro de software quer formar códigos numéricos de seis algarismos utilizando exatamente os seguintes dígitos em cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. Quantos códigos distintos o sistema pode programar?

Um grupo formado por $3$ rapazes e $3$ raparigas vai sentar-se numa fila de $6$ cadeiras para ver um espetáculo. De quantas maneiras o podem fazer se se devem sentar de modo que os sexos fiquem estritamente alternados (rapaz-rapariga-rapaz... ou rapariga-rapaz-rapariga...)?

Uma carrinha de distribuição dos CTT deve deslocar-se pelo traçado em grelha de um bairro do Porto. Parte de um armazém e deve chegar a um ponto de entrega situado a 4 quarteirões para leste e 3 quarteirões para norte. A carrinha segue sempre trajetos de comprimento mínimo, deslocando-se exclusivamente para leste ($E$) ou para norte ($N$) em cada troço.

1. a) Modela esta situação através de permutações com repetição justificando por que razão cada rota possível equivale a uma sequência de letras de comprimento fixo e calcula o número total de caminhos mínimos distintos.
2. b) Se o cruzamento situado a 2 quarteirões a leste e 1 quarteirão a norte da origem estiver completamente cortado por obras municipais, calcula quantos caminhos mínimos ficam disponíveis que evitem passar obrigatoriamente por esse cruzamento. Justifica o procedimento que seguiste.

Um baralho de treino para cálculo mental contém 8 cartas no total. Duas delas são de cor vermelha, e as restantes são cartas azuis e cartas verdes. Ao dispor todas as cartas em fila sobre a mesa, verifica-se que é possível formar exatamente 420 ordenações distintas atendendo apenas à sequência de cores.

1. a) Formula uma equação combinatória que relacione o número de cartas azuis ($a$) e o número de cartas verdes ($v$) com o total de ordenações possíveis.
2. b) Deduz quantas cartas azuis e quantas cartas verdes compõem o baralho. Justifica por que razão surgem duas soluções numéricas simétricas e explica o seu significado prático.

Encontre o valor do número natural $x$ que satisfaz a seguinte equação, justificando matematicamente a sua resposta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.

Quantas palavras diferentes, com ou sem sentido, podem ser formadas reordenando todas as letras da palavra "ESTATISTICA" de modo que comecem obrigatoriamente pela letra $E$ e terminem pela letra $A$?

Oito diplomatas reúnem-se numa cimeira internacional e devem sentar-se à volta de uma grande mesa redonda. Dois dos representantes são grandes inimigos e o protocolo exige que não se sentem um ao lado do outro. De quantas formas diferentes se podem acomodar na mesa, cumprindo essa restrição?

Na prateleira de uma biblioteca escolar vão ser colocados em fila $4$ livros distintos de Matemática, $3$ livros distintos de Física e $2$ livros distintos de Química. Se a bibliotecária exige que os livros da mesma disciplina permaneçam sempre juntos, formando um bloco, de quantas maneiras distintas se podem ordenar na prateleira?

Um robô autónomo desloca-se por uma grelha logística do nó $A$ até ao nó $B$ avançando exclusivamente para a direita e para baixo. Devido a reparações no piso, o nó $C$ está bloqueado e o robô não pode passar por ele. Quantos trajetos válidos existem para completar o percurso?

Calcule qual é a soma total de todos os números inteiros de $4$ algarismos distintos que podem ser formados utilizando exclusivamente os dígitos $1, 2, 3$ e $4$.

Se forem geradas todas as palavras possíveis, com ou sem sentido, permutando as letras da palavra "LIBRO" e depois ordenadas estritamente por ordem alfabética (como num dicionário), que posição ocupará exatamente a palavra "LIBRO" nessa lista?

Simplifique as frações algébricas e resolva a seguinte equação que contém fatoriais, encontrando o valor de $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.

Num simpósio científico organizado na Universidade de Coimbra participam 6 oradores: 3 especialistas em física e 3 em matemática. Vão intervir de forma consecutiva na mesma sala e a comissão organizadora exige que não haja dois físicos a intervir seguidos. Para determinar quantas programações válidas existem, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Maria propõe o método do complementar: «Calculamos todas as ordenações possíveis dos 6 oradores e subtraímos aquelas em que os físicos aparecem juntos».

• Tomás propõe o método dos espaços vagos: «Colocamos primeiro os 3 matemáticos em fila, identificamos os espaços disponíveis entre eles e nos extremos, e colocamos aí os físicos».

1. a) Analisa ambas as propostas e explica com precisão por que razão a estratégia da Maria se revela extremamente complexa e propensa a erros neste caso concreto (indica que casos sobrepostos ou diferentes teria de distinguir ao tentar subtrair).
2. b) Desenvolve por completo a estratégia do Tomás decompondo os fatores através de permutações, calcula o resultado final e conclui justificando por que razão este método é mais seguro e eficiente.

Numa cimeira diplomática realizada em Toledo organiza-se um jantar para 8 mandatários numa mesa circular de 8 lugares, onde apenas se tem em conta a posição relativa dos comensais entre si. O serviço de protocolo impõe duas restrições simultâneas:

1. Os mandatários de Espanha e Portugal devem sentar-se juntos obrigatoriamente, um ao lado do outro.

2. Os mandatários de França e Alemanha devem sentar-se em posições diametralmente opostas (frente a frente diretamente através do centro da mesa).

Delineia uma estratégia rigorosa para contar as configurações possíveis fixando um comensal como referência para quebrar a simetria circular, analisa detalhadamente quantas posições compatíveis restam para o bloco hispano-luso e para as restantes delegações, e deduz o número total de formas válidas de sentar os 8 mandatários.