Exercícios: Variáveis cinemáticas: posição, velocidade e aceleração vetoriais

Um drone de entregas encontra-se no ponto de coordenadas $(4, 3)$ de um mapa, com as distâncias em metros. A figura mostra o ponto e o seu vetor posição.

1. a) Escreve o seu vetor posição $\vec{r}$ em função dos vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$.
2. b) Calcula o módulo de $\vec{r}$ e explica o que representa fisicamente.

Um robô de um armazém automatizado desloca-se da posição $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ para a posição $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, com as posições em metros. A figura representa ambas as posições e o deslocamento entre elas.

1. a) Calcula o vetor deslocamento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcula o seu módulo.

Um atleta dá exatamente uma volta a uma pista e regressa ao ponto de partida após percorrer $400\ \text{m}$.

1. a) Quanto vale o seu deslocamento?
2. b) Quanto vale a distância percorrida por ele?
3. c) Explica por palavras tuas a diferença entre a distância percorrida e o deslocamento.

Uma patinadora desloca-se em linha reta, sofrendo um deslocamento de $20\ \text{m}$ na direção do eixo $x$ em $4\ \text{s}$.

1. a) Escreve o seu vetor deslocamento em função do vetor unitário $\vec{i}$.
2. b) Calcula a sua velocidade média $\vec{v}_m$ como vetor, recordando que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

O deslocamento de um corredor de orientação entre duas balizas é $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, em metros, e é completado em $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula a sua velocidade média vetorial.
2. b) Calcula o módulo dessa velocidade média.

Um estafeta em bicicleta desloca-se do estabelecimento até uma casa e regressa ao estabelecimento pelo mesmo caminho.

1. a) Quanto vale o seu deslocamento total?
2. b) Quanto vale a sua velocidade média em todo o percurso?
3. c) A sua rapidez média também é nula? Justifica a resposta e explica a diferença entre velocidade média e rapidez média.

A posição de um carrinho de laboratório é dada, em unidades do Sistema Internacional, por $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) Qual é a sua posição inicial?
2. b) Calcula a sua posição quando $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Justifica por que razão a trajetória é uma reta horizontal: repara no que acontece com a coordenada $y$.

Uma mota em linha reta passa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ em $5\ \text{s}$. Os vetores velocidade inicial e final estão representados na figura.

1. a) Calcula a variação de velocidade $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcula a sua aceleração média $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explica o que significa o resultado: quanto varia a sua velocidade em cada segundo?

Um robô de limpeza de um centro comercial está na posição $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ quando $t = 0$ e na posição $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ quando $t = 2\ \text{s}$, com as posições em metros.

1. a) Calcula o vetor deslocamento e o seu módulo.
2. b) Calcula a velocidade média vetorial e o seu módulo.

Uma estação meteorológica mede a velocidade do vento como $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, em que o eixo $x$ aponta para este e o eixo $y$ para norte. A figura mostra o vetor velocidade do vento e as respetivas componentes.

1. a) Calcula o módulo da velocidade do vento.
2. b) Calcula o ângulo que forma com o semieixo $x$ positivo e descreve por palavras para onde sopra o vento.

A posição de uma lancha telecomandada num lago é, em unidades do Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. A trajetória e ambas as posições estão representadas na figura.

1. a) Calcula as posições nos instantes $t_1 = 1\ \text{s}$ e $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcula o deslocamento entre esses instantes e o seu módulo.
3. c) Calcula a velocidade média nesse intervalo e o seu módulo.

Um ferry parte do porto A, situado no ponto $(2, 3)$, e chega ao porto B, no ponto $(14, 15)$, com as coordenadas em quilómetros. A travessia dura $2\ \text{h}$.

1. a) Calcula o vetor deslocamento.
2. b) Calcula a velocidade média vetorial em $\text{km/h}$ e o seu módulo.
3. c) Expressa o módulo da velocidade média em $\text{m/s}$, com uma casa decimal.

Um avião em manobras passa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ em $2\ \text{s}$. A figura representa ambos os vetores velocidade.

1. a) Calcula a variação de velocidade $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcula a aceleração média vetorial e o seu módulo.

Uma trotinete elétrica de aluguer parte da origem e a sua posição, em unidades do Sistema Internacional, é $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calcula a sua posição quando $t = 10\ \text{s}$.
2. b) Em que instante passa por um ponto com coordenada $x = 90\ \text{m}$? Qual é a sua posição completa nesse momento?
3. c) Obtém a equação da trajetória $y(x)$ eliminando o tempo e justifica que tipo de curva é.

Um praticante de caminhada parte do refúgio e desloca-se $1,2\ \text{km}$ para este e depois $1,6\ \text{km}$ para norte, num tempo total de $0,5\ \text{h}$. O esquema mostra o percurso do praticante.

1. a) Calcula o módulo do seu deslocamento total.
2. b) Escreve a sua velocidade média vetorial em $\text{km/h}$ e calcula o seu módulo.
3. c) Calcula o ângulo que o seu deslocamento forma com a direção este.

Um sensor de um laboratório regista que um carrinho está no ponto $(2, 5)$ quando $t_1 = 1\ \text{s}$ e no ponto $(14, 17)$ quando $t_2 = 5\ \text{s}$, com as posições em metros.

1. a) Calcula o deslocamento do carrinho e o intervalo de tempo decorrido.
2. b) Calcula a velocidade média vetorial e o seu módulo.
3. c) Que ângulo forma a velocidade média com o eixo $x$? Justifica a partir das componentes.

A posição de uma partícula, em unidades do Sistema Internacional, é $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calcula as posições em $t = 0$ e em $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calcula o deslocamento nesse intervalo e o seu módulo.
3. c) Calcula a velocidade média vetorial nesse intervalo e o seu módulo.
4. d) A trajetória entre ambos os pontos é curva: justifica se a rapidez média nesse intervalo pode coincidir com o módulo da velocidade média.

Uma partícula move-se segundo $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, em unidades do Sistema Internacional.

1. a) Escreve as equações paramétricas $x(t)$ e $y(t)$.
2. b) Elimina o tempo e obtém a equação da trajetória $y(x)$. Que tipo de curva é?
3. c) Verifica se a partícula passa pelo ponto $(6, 9)$, em metros, e, em caso afirmativo, indica em que instante o faz.

A posição de um barco, em unidades do Sistema Internacional, é $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) Qual é a sua posição inicial?
2. b) Obtém a equação da trajetória $y(x)$ e classifica-a.
3. c) Verifica se passa pelo ponto $(8, 8)$, em metros, e indica em que instante.
4. d) Calcula a distância do barco à origem nesse instante.

Um automóvel entra numa rotunda com velocidade $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ e sai dela com $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ após $3\ \text{s}$. A figura mostra a trajetória na rotunda e ambos os vetores velocidade.

1. a) Verifica que o módulo da velocidade não se alterou.
2. b) Calcula a variação de velocidade $\Delta\vec{v}$ e o seu módulo.
3. c) Calcula a aceleração média vetorial e o seu módulo.
4. d) Explica por que razão existe aceleração se o módulo da velocidade se manteve constante.

Uma pessoa caminha $30\ \text{m}$ para este em $10\ \text{s}$ e depois $40\ \text{m}$ para norte em mais $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula a distância total percorrida e a rapidez média.
2. b) Calcula o deslocamento total, o seu módulo e o valor da velocidade média.
3. c) Compara os resultados das duas alíneas e enuncia a relação geral existente entre a rapidez média e o valor da velocidade média, indicando quando coincidem.

Um corta-relva robô desloca-se num jardim segundo $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, em unidades do Sistema Internacional.

1. a) Calcula a sua posição inicial.
2. b) Determina o instante em que cruza a bissetriz do primeiro quadrante, isto é, quando as suas coordenadas $x$ e $y$ coincidem, e a posição nesse momento.
3. c) Calcula a sua distância à origem nesse instante.
4. d) Calcula a velocidade média entre $t = 0$ e esse instante.

Dois drones de vigilância deslocam-se, em unidades do Sistema Internacional, segundo $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ e $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. As trajetórias de ambos os drones são apresentadas na figura.

1. a) Escreve as equações $x(t)$ e $y(t)$ de cada drone.
2. b) Determina o instante e a posição em que se encontram.
3. c) Calcula a distância do ponto de encontro à origem.
4. d) Justifica se as trajetórias de ambos os drones se poderiam intercetar noutro ponto qualquer.

Um carrinho sobre uma calha move-se segundo $\vec{r}(t) = t^2\,\vec{i}$, em unidades do Sistema Internacional. O gráfico $x$-$t$ do carrinho, com duas dessas secantes e a reta tangente em $t = 1\ \text{s}$, é apresentado na figura.

1. a) Calcula a sua velocidade média entre $t = 1\ \text{s}$ e $t = 3\ \text{s}$.
2. b) Repete o cálculo para os intervalos $[1, 2]\ \text{s}$, $[1;\ 1,1]\ \text{s}$ e $[1;\ 1,01]\ \text{s}$.
3. c) Observa a sucessão de valores obtidos, prevê o valor da velocidade instantânea em $t = 1\ \text{s}$ e fundamenta o raciocínio que te conduz a esse valor.