Exercícios: Amortização de empréstimos

Para celebrar o fim dos exames, um grupo de amigos decide financiar a compra de um equipamento de som para o seu espaço avaliado em $1500 \text{ €}$. O banco oferece-lhes um empréstimo a uma taxa de juro nominal anual de $6 \%$ que deverão devolver em prestações mensais durante um ano. A figura resume a situação. Identifica os elementos do empréstimo para poderes aplicar a fórmula da renda constante:

• Capital inicial ($C$)

• Número de pagamentos anuais ($k$)

• Número total de prestações ($n$)

• Taxa de juro mensal ($i$) expressa em valor unitário.

Um aluno do ensino secundário quer comprar uma bicicleta elétrica de montanha que custa $2\,400 \text{ €}$. O estabelecimento oferece-lhe um financiamento a $4,8 \%$ de juros nominais anuais distribuído em prestações mensais. Calcule qual será a taxa de juro mensal ($i$) aplicada em cada prestação e expresse-a tanto em percentagem como em valor unitário.

A Marta pediu um empréstimo de $3\,000 \text{ €}$ para pagar a sua propina universitária e os materiais do curso. O banco aplica-lhe o sistema de amortização francês (prestações constantes) com juros mensais de $0,5 \%$. Se a prestação mensal for de $133,06 \text{ €}$, calcule que valor da primeira prestação corresponde exclusivamente ao pagamento de juros.

Lucas financia a sua nova consola de última geração, que custa $600 \text{ €}$, em 12 prestações mensais iguais. Ao terminar o ano, apercebe-se de que pagou um total de $636 \text{ €}$. Calcule:

1. a) O valor da prestação mensal.
2. b) O custo total dos juros pagos durante todo o empréstimo.

Uma academia de idiomas oferece financiamento para o curso intensivo de verão ($900 \text{ €}$) mediante um empréstimo de 4 meses sem juros, cobrando no entanto uma comissão de abertura de $25 \text{ €}$ no primeiro pagamento.

1. a) Qual será o valor das prestações do segundo, terceiro e quarto mês?
2. b) Quanto pagará o aluno no primeiro mês no total?

Dada a seguinte tabela de amortização incompleta de um empréstimo para uma mesa digitalizadora, calcula os valores em falta assinalados com letras, sabendo que o juro mensal é de $1 \%$:

Para comprar um ciclomotor de $2\,000 \text{ €}$, a Matilde dá um sinal de $500 \text{ €}$ e financia o restante mediante prestações mensais constantes durante 2 anos. Se a taxa de juro nominal anual for de $3 \%$, aplique a fórmula da anuidade de amortização indicando claramente qual é o capital $C$ que realmente vai financiar.

Desenha uma linha de tempo que represente o processo de amortização de um empréstimo de $1\,200 \text{ €}$ que é devolvido em 4 prestações trimestrais.

Marca na linha os instantes 0, 1, 2, 3 e 4 (em trimestres). No instante 0 assinala com uma seta para cima a entrada do empréstimo. Em cada marca de tempo (trimestre 1, 2, 3 e 4) desenha uma seta para baixo e indica o nome que recebe a quantia fixa de dinheiro que se paga ao banco.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

O David precisa de comprar um computador para o seu novo trabalho como web designer e financia $1\,800 \text{ €}$ a devolver em 18 meses através de prestações mensais constantes. A loja oferece-lhe um financiamento com $6 \%$ de taxa de juro nominal anual ($\text{TIN}$). Para calcular quanto pagará por mês, o David faz no seu caderno o seguinte raciocínio:

Ao rever o valor, multiplica $166,24 \cdot 18 = 2\,992,32 \text{ €}$ e assusta-se porque pensa que pagará quase $1\,200 \text{ €}$ de juros por um empréstimo de apenas um ano e meio.

1. a) Identifica o erro concetual cometido pelo David na aplicação da fórmula da prestação constante e explica por que razão o seu cálculo não é coerente com as unidades temporais.
2. b) Corrige o cálculo: determina a taxa de juro mensal adequada $i$ e a prestação mensal real $a$ que terá de pagar (arredondada aos cêntimos).
3. c) Calcula o custo total real em juros do empréstimo e compara o resultado com o valor incorreto do David para lhe explicares por que razão a sua intuição sobre a desproporção dos juros estava correta.

A Sofia vai adquirir uma mota elétrica para as suas deslocações urbanas por um valor de $4\,800 \text{ €}$. Pede um empréstimo bancário a liquidar em 2 anos (24 meses) através do sistema de amortização francês a uma taxa de juro nominal anual ($\text{TIN}$) de $6 \%$.

1. a) Antes de aplicares a fórmula financeira, estima fundamentadamente um limite inferior para a prestação mensal (calculando quanto pagaria se a taxa de juro fosse de $0 \%$) e um limite superior aproximado (calculando o juro simples total dos 2 anos sobre o capital inicial, somando-o a este e dividindo pelos 24 meses).
2. b) Utiliza a fórmula da prestação constante de amortização para calcular o valor exato da mensalidade $a$ (com precisão de cêntimos).
3. c) Verifica se o resultado exato se encontra dentro do intervalo estimado na alínea a) e avalia se é um resultado razoável. De seguida, calcula o montante total pago a título de juros durante os 2 anos.

Para montar um pequeno estúdio de gravação e começar o seu canal de YouTube, Marcos pediu um empréstimo de $4\,500$ € a pagar em 2 anos mediante prestações mensais constantes. O banco aplica-lhe juros nominais anuais de $6\%$. Calcule o valor da prestação mensal que Marcos deve pagar.

Uma jovem empreendedora solicita um crédito de $12\,000$ € para comprar uma carrinha em segunda mão para o seu negócio de entregas. O empréstimo será amortizado em 4 anos com pagamentos trimestrais e juros anuais de $8\%$. Determine a parte da primeira prestação que corresponde ao pagamento de juros e que quantia se destina realmente a amortizar a dívida.

Um grupo de amigos decide comprar uma mesa de mistura profissional que custa $1\,800$ €. Pagam $300$ € a pronto e financiam o resto a uma taxa de juro de $10\%$ anual (nominal, com período de capitalização mensal, ou seja, uma taxa mensal $i=\frac{0{,}10}{12}$) para o devolver em 6 meses com prestações mensais constantes.

Lembra-te de que a prestação constante $a$ que amortiza um capital $C$ em $n$ períodos com taxa $i$ por período é:

$a = C\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$

Elabora as duas primeiras linhas da tabela de amortização, indicando em cada uma: capital pendente, juros do período, capital amortizado e prestação mensal. Arredonda a cêntimos.

Para financiar uma viagem de fim de curso, uma associação de alunos pede um empréstimo de $3\,000$ € a $5\%$ de juros compostos anuais. O acordo consiste em pagá-lo num único pagamento ao fim de 18 meses. A quanto ascenderão os juros totais? Se tivessem optado por amortizá-lo mensalmente durante esse mesmo tempo, pagariam mais ou menos juros no total? Fundamente a sua resposta sem necessidade de calcular a tabela completa.

Calcule o capital em dívida de um empréstimo de $20\,000$ € solicitado a $4\%$ anual após ter pago 12 prestações mensais. O empréstimo foi concedido por um total de 5 anos. (Dica: O capital em dívida é o valor atual das prestações que faltam pagar).

Um clube de vídeo quer renovar os seus ecrãs e solicita um crédito de $6\,000$ € a $9\%$ anual para devolver em 3 anos com mensalidades constantes. O contrato inclui uma comissão por cancelamento antecipado de $1\%$ sobre o capital pendente. Se no final do segundo ano decidirem liquidar a dívida restante, qual será o valor total que deverão pagar nesse momento (capital pendente mais comissão)?

Comparamos dois empréstimos para comprar uma mota de $3\,500$ €:

• Opção A: Amortização mensal durante 2 anos a $6\%$ nominal anual.

• Opção B: Amortização trimestral durante 2 anos a $6,2\%$ nominal anual.

Calcule a prestação de cada opção e determine em qual das duas se acabam por pagar mais juros ao final dos dois anos.

Dada a seguinte linha de uma tabela de amortização de um empréstimo a $12\,\%$ anual com pagamentos mensais (o juro mensal calcula-se dividindo a taxa anual por $12$, ou seja, $1\,\%$ mensal):

• Mês: $10$

• Dívida inicial do mês: $14\,250,80$ €

• Prestação mensal: $450$ €

Calcula:

1. a) O juro do mês $10$ (arredonda a cêntimos).

1. b) O capital amortizado nesse mês.

1. c) A dívida pendente no início do mês $11$.

No extrato bancário de um empréstimo pessoal sujeito ao sistema de amortização francês com prestações mensais constantes, apagaram-se várias linhas devido a uma falha de impressão. No entanto, no histórico distinguem-se com clareza os dados de dois meses consecutivos:

• No mês 5, a parte da prestação destinada à amortização de capital foi $A_5 = 245,60 \text{ €}$.

• No mês 6, a parte da prestação destinada à amortização de capital foi $A_6 = 246,828 \text{ €}$.

• O valor da prestação fixa mensal paga pelo cliente é de $320,00 \text{ €}$.

1. a) Sabendo que as amortizações de capital seguem a relação $A_{k+1} = A_k \cdot (1+i)$, deduz a taxa de juro mensal $i$ e a taxa de juro nominal anual ($\text{TIN}$) do empréstimo.
2. b) A partir da prestação fixa mensal e de $A_5$, determina o montante destinado ao pagamento de juros no mês 5 ($I_5$) e calcula o capital em dívida no final do mês 4 ($C_4$).
3. c) Determina o valor da amortização de capital do primeiro mês ($A_1$) e deduz o capital total emprestado no início ($C_0$).

Segundo os dados da Estatística de Hipotecas do Instituto Nacional de Estatística (INE), o montante médio dos empréstimos hipotecários para a compra de habitação em Espanha situa-se em torno dos $144\,000 \text{ €}$, com um prazo médio de amortização de 24 anos a uma taxa de juro nominal anual ($\text{TIN}$) fixa de $3,6 \%$ mediante prestações mensais constantes.

1. a) Modela o crédito hipotecário médio descrito: calcula a taxa de juro mensal $i$, o número total de pagamentos $n$ e a mensalidade constante $a$ que o comprador paga.
2. b) Discrimina o primeiro pagamento mensal ($k=1$): calcula quanto se destina a pagar juros ($I_1$) e quanto a amortizar capital emprestado ($A_1$). Determina que percentagem da primeira prestação corresponde a juros e que percentagem amortiza dívida diretamente.
3. c) O Banco de Espanha recomenda que a prestação mensal do crédito hipotecário não ultrapasse $35 \%$ dos rendimentos líquidos familiares. Determina quais devem ser os rendimentos líquidos mínimos mensais de um agregado familiar para poder contratar este crédito hipotecário médio cumprindo o referido critério de prudência financeira.

Uma jovem empreendedora de 24 anos decide abrir um estúdio de design gráfico. Para adquirir o equipamento necessário (computadores de topo de gama, licenças de software e mobiliário), solicita um empréstimo a uma instituição financeira que deve devolver em 5 anos mediante prestações mensais constantes de $425,50 \text{ €}$. A instituição aplica-lhe uma taxa de juro nominal anual de $5,4 \%$.

Calcule o capital inicial que o banco lhe concedeu para iniciar o seu negócio. Arredonde o resultado às unidades de cêntimo de euro.

Um estudante universitário quer comprar um carro em segunda mão que custa $9\,500 \text{ €}$. Dispõe de algumas economias, mas precisa de financiar os $7\,000 \text{ €}$ restantes. O banco oferece-lhe um empréstimo pessoal com $6,75 \%$ de juros anuais. O estudante analisa o seu orçamento e conclui que só pode destinar no máximo $180 \text{ €}$ por mês para o pagamento da prestação.

Utilizando logaritmos, determine quantos meses levará, no mínimo, a pagar o empréstimo de modo a que a prestação não ultrapasse o seu limite de $180 \text{ €}$.

Uma família contrata um empréstimo hipotecário de $160\,000 \text{ €}$ com prazo de 20 anos, taxa de juro fixa de $3,25 \%$ anual e pagamentos mensais. Após exatamente 10 anos a pagar as prestações religiosamente, recebem uma herança e pensam em liquidar a dívida pendente.

Calcule a composição da prestação número 121, indicando que parte corresponde ao pagamento de juros e que parte à amortização do capital.

Uma empresa de tecnologia logística solicita um empréstimo de $250\,000 \text{ €}$ para renovar a sua frota de veículos elétricos. O empréstimo é acordado com juros de $4,5 \%$ anuais e pagamentos trimestrais durante 6 anos. A instituição financeira concede um período de carência total de 6 meses (durante os dois primeiros trimestres não se realiza nenhum pagamento, mas os juros acumulam-se ao capital inicial).

Calcule o valor das prestações trimestrais que deverão ser pagas a partir do terceiro trimestre até ao final do empréstimo.

Comparamos duas modalidades de empréstimo para financiar uma remodelação de $30\,000 \text{ €}$ a pagar em 4 anos com pagamentos mensais:

• Opção A: Juros nominais anuais de $5 \%$ sem comissões iniciais.

• Opção B: Juros nominais anuais de $4,2 \%$, mas com uma comissão de abertura de $1,5 \%$ sobre o capital solicitado, paga a pronto no momento da assinatura.

Calcule o custo total de cada opção (soma de todas as prestações mais comissões) e determine qual é a mais vantajosa para o cliente.

Um empréstimo à habitação de $200\,000 \text{ €}$ é formalizado para um prazo de 25 anos com prestações mensais. Durante os dois primeiros anos, a taxa de juro é fixa em $2,5 \%$ anual. A partir do início do terceiro ano, a taxa de juro passa a ser variável, tornando-se $4,75 \%$ anual.

Calcule quanto aumentará a prestação mensal da família a partir do terceiro ano devido a este aumento da taxa de juro.

Um trabalhador independente solicita um microcrédito de $12\,000 \text{ €}$ a $8 \%$ anuais para ser pago em 3 anos mediante prestações semestrais. Após o primeiro ano (depois de pagar a segunda prestação), decide realizar uma amortização antecipada de $3\,000 \text{ €}$ para reduzir a dívida. O banco permite-lhe escolher entre reduzir o prazo do empréstimo ou reduzir o valor das prestações restantes.

Se optar por reduzir o valor da prestação mantendo o prazo original de 3 anos, calcule qual será o novo valor da prestação semestral.

Seja um empréstimo de capital $D$ a amortizar em $n$ períodos com juros por período $i$. Demonstre de forma fundamentada, utilizando a progressão geométrica dos capitais pendentes, que, se os juros fossem de $0 \%$ ($i=0$), a fórmula da prestação constante $a$ se simplifica na divisão aritmética simples: $a = \frac{D}{n}$.

Nota: Para a demonstração, utilize o limite da fórmula da renda constante quando $i$ tende para zero ou analise a soma dos termos da amortização.

A Elena contratou há 4 anos um empréstimo de $50\,000 \text{ €}$ a uma $\text{TIN}$ anual de $4,8 \%$ a amortizar em 10 anos (120 prestações mensais constantes de $525,45 \text{ €}$). Logo após pagar a prestação 48, o capital em dívida pendente de reembolso é de $32\,808,16 \text{ €}$. A Elena recebe um valor extraordinário e amortiza antecipadamente $10\,000 \text{ €}$, reduzindo a sua dívida pendente para $22\,808,16 \text{ €}$. O banco propõe-lhe duas opções para os 6 anos restantes (72 períodos):

• Opção A: Manter o prazo previsto (72 meses restantes) e reduzir o montante da prestação mensal.

• Opção B: Manter a prestação original de $525,45 \text{ €}$ e encurtar o prazo de amortização restante.

1. a) Calcula o montante da nova prestação mensal na Opção A.
2. b) Na Opção B, formula a equação da prestação e isola através de logaritmos o número de meses necessários para liquidar a dívida restante mantendo a prestação de $525,45 \text{ €}$. Arredonda para o número inteiro de meses por excesso.
3. c) Calcula o custo total em juros que a Elena pagará no período que resta do empréstimo em cada uma das duas opções. Justifica qual dos dois métodos é financeiramente mais vantajoso em termos de poupança de juros e fundamenta em que circunstâncias pessoais poderia ser conveniente escolher a outra opção.

No sistema de amortização francês com prestação constante $a$, no início a maior parte de cada prestação destina-se a cobrir juros e uma fração muito pequena a amortizar capital, mas esta relação inverte-se progressivamente à medida que a dívida decresce.

O Carlos e a Beatriz solicitam um empréstimo hipotecário de $120\,000 \text{ €}$ a uma $\text{TIN}$ de $4,8 \%$ anual com prestações mensais durante 20 anos ($n = 240$ meses).

1. a) Demonstra analiticamente que a primeira prestação de amortização de capital pode ser expressa como $A_1 = a \cdot (1+i)^{-n}$, partindo da relação $I_1 = C_0 \cdot i$ e da fórmula da prestação constante $a$.
2. b) Para que a amortização de capital supere pela primeira vez os juros num determinado mês $k$, deve verificar-se que $A_k > \frac{a}{2}$. Utilizando a expressão $A_k = A_1 \cdot (1+i)^{k-1}$ e o resultado da alínea a), formula a inequação correspondente e isola analiticamente com logaritmos a condição sobre $k$. Determina em que ano e mês do empréstimo se dá exatamente esse cruzamento.
3. c) Analisa a expressão obtida para $k$ na alínea b): o mês de cruzamento depende do capital inicial emprestado $C_0$? Se tivessem contratado o empréstimo a 30 anos ($n = 360$ meses) à mesma taxa de juro, calcula em que mês ocorreria o cruzamento e explica que consequência financeira tem o prolongamento do prazo sobre o tempo durante o qual se pagam maioritariamente juros.