Exercícios: Equação de um plano no espaço

Um engenheiro está a projetar a base de uma peça por meio de um programa de CAD. A base deve ser um plano que passe pelo ponto $P(2, -1, 3)$ e cujo vetor normal seja $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcule a equação geral do plano que define essa base.

A superfície de um painel solar num satélite pode ser representada por meio das seguintes equações paramétricas:

$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$

Obtém a equação geral ou implícita desse plano.

Num cenário de realidade virtual, três sensores estão situados nos pontos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 3)$. Determine a equação geral do plano que contém esses três sensores.

Dada a equação do plano que representa uma das paredes de uma divisão, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indique de forma fundamentada se os seguintes pontos pertencem a essa parede:

1. a) $Q(3, 0, 0)$
2. b) $R(1, 1, 1)$

Encontra a equação do plano que passa pelo ponto $A(5, -2, 4)$ e é paralelo ao plano de equação $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Lembra-te de que dois planos paralelos partilham o mesmo vetor normal.

Um arquiteto utiliza a "equação segmentária" para definir um teto inclinado que interseta os eixos coordenados nos pontos $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ e $(0, 0, 2)$. Escreva diretamente a sua equação e transforme-a para a forma geral $Ax + By + Cz + D = 0$.

Pretende-se instalar um refletor cuja trajetória seja perpendicular a uma placa metálica. Se a trajetória do raio de luz é dada pela reta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, determina a equação do plano que contém a placa metálica, sabendo que passa pelo ponto $M(0, 4, -2)$.

Determine a equação do plano que contém a reta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ e que, além disso, passa pelo ponto exterior $P(1, 1, 1)$.

Um arquiteto está a projetar uma cobertura plana para um pequeno pavilhão. A cobertura deve apoiar-se sobre três pilares cujas extremidades superiores estão situadas nos pontos $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ e $C(1, 1, 5)$, onde as unidades estão em metros.

1. a) Obtenha a equação geral ou implícita do plano que contém a cobertura.
2. b) Calcule os pontos de interseção desse plano com os eixos coordenados para determinar onde se situariam as ancoragens se a cobertura se estendesse até tocar as paredes principais (eixos).

Determine a equação do plano $\pi$ que contém a reta $r$ dada por:

e é paralelo à reta $s$, que passa pelos pontos $P(0, 2, 1)$ e $Q(1, 2, 4)$. Justifique por que razão o vetor diretor de $s$ não pode ser proporcional ao de $r$ para que o plano esteja univocamente determinado.

Considera-se o feixe de planos cuja aresta é a reta de interseção dos planos $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ e $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Encontre o plano pertencente a esse feixe que passa pelo ponto médio do segmento de extremidades $A(1, 2, -1)$ e $B(3, 0, 5)$.

Um plano $\pi$ intercepta os eixos coordenados nos pontos $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ e $Z(0, 0, c)$. Sabe-se que o plano passa pelo ponto $P(1, 2, 2)$ e que as distâncias à origem a partir dos pontos de interseção são iguais ($a = b = c$).

1. a) Escreva a equação geral do plano.
2. b) Calcule o volume do tetraedro formado pela origem das coordenadas e pelos três pontos de interseção com os eixos.

Encontra o valor do parâmetro $k \in \mathbb{R}$ para que os pontos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ e $D(k, k, 2)$ sejam complanares. Depois de encontrado $k$, escreve a equação do plano que os contém na forma paramétrica.

Numa missão de resgate, um drone desloca-se seguindo uma trajetória retilínea dada pela reta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. O drone deve emitir um sinal de radiofrequência que só é efetivo se atingir perpendicularmente um ecrã plano de segurança.

1. a) Determine a equação do plano que representa esse ecrã, sabendo que este deve passar pelo ponto $P(2, 2, 2)$ e ser perpendicular à trajetória do drone.
2. b) Calcule o ponto exato onde a trajetória do drone colidiria com o ecrã.

Dados os planos $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ e $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:

1. a) Calcula os valores de $a$ e $b$ para que os planos sejam coincidentes.
2. b) Calcula os valores de $a$ e $b$ para que os planos sejam paralelos mas não coincidentes.
3. c) Que relação deve existir entre $a$ e $b$ para que a origem do referencial pertença à interseção de ambos os planos?

Encontra a equação do plano que contém as seguintes retas, verificando primeiro que elas se intersetam num ponto:

Se um terceiro raio laser seguir a direção do vetor normal a este plano e partir do ponto de interseção de $r$ e $s$, qual seria a sua equação vetorial?

Um arquiteto está a projetar a cobertura de um pavilhão desportivo. A estrutura principal é definida por duas vigas metálicas que se situam sobre as retas:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ e $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$

Determine a equação geral do plano $\pi$ que é paralelo a ambas as vigas e que se encontra a uma distância de $\sqrt{14}$ unidades da origem das coordenadas. Existe uma única solução? Justifique a sua resposta.

Considera-se o feixe de planos cuja aresta é a reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcule a equação do plano $\pi$ pertencente a esse feixe que satisfaz simultaneamente as seguintes duas condições:

1. É perpendicular ao plano $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.

2. O ponto $P(0, a, 1)$ pertence ao plano $\pi$ para algum valor real de $a$.

Determine o valor de $a$ e a equação geral de $\pi$.

Um raio laser parte do ponto $A(1, 2, -2)$ e segue a direção do vetor $\vec{u} = (1, -1, 1)$ até atingir um espelho plano que contém a reta $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ e o ponto $B(0, 0, 4)$.

1. a) Calcula a equação do plano $\pi$ onde se encontra o espelho.
2. b) Determina as coordenadas do ponto de impacto $P$ do laser sobre o espelho.

Encontra a equação do plano $\pi$ que contém a reta de interseção dos planos $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ e $\beta: x + 2y - z = 0$, e que interseta os semieixos coordenados positivos $OX$, $OY$ e $OZ$ nos pontos $P$, $Q$ e $R$ de modo a que o volume do tetraedro formado pela origem e por estes pontos seja mínimo.

Consideram-se as retas concorrentes $r$ e $s$ que definem um plano $\alpha$. A reta $r$ passa por $P(1, 0, 1)$ com direção $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ e a reta $s$ passa por $Q(1, 0, 1)$ com direção $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcule a equação de um plano $\pi$ que seja paralelo a $\alpha$ e tal que a esfera de centro $C(3, 2, 1)$ e raio $R=2$ seja tangente a esse plano $\pi$. Obtenha as duas soluções possíveis.

Dados os pontos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ e $C(4, k, 0)$, estuda a posição relativa dos planos $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$ em função do parâmetro real $k$, sabendo que:

• $\pi_1$ é o plano que passa por $A$, $B$ e pela origem.

• $\pi_2$ é o plano que contém $C$ e é perpendicular à reta que une $A$ e $B$.

• $\pi_3$ é o plano de equação $x + y + z = k + 2$.

Um drone desloca-se de forma retilínea seguindo a trajetória da reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Pretende-se instalar um ecrã de proteção plano $\pi$ que contenha a reta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$.

Determine a equação do plano $\pi$ de modo que seja paralelo à trajetória do drone. Calcule a distância mínima a que o drone passará desse ecrã.

Seja $P(1, 2, -1)$ um ponto do espaço e $r$ a reta interseção dos planos $x - y = 0$ e $z = 2$.

1. a) Determine a equação do plano $\pi_1$ que contém $r$ e passa por $P$.
2. b) Determine a equação do plano $\pi_2$ que contém $r$ e é perpendicular a $\pi_1$.
3. c) Calcule a amplitude do ângulo que o plano $\pi_2$ forma com o plano coordenado $XY$.