Exercícios: Vetores e espaços vetoriais

O Carlos tem de calcular as coordenadas do ponto médio $M$ do segmento cujos extremos são $A(1,\; -2,\; 4)$ e $B(5,\; 2,\; -2)$. Para o resolver, escreve no seu exame:

Por conseguinte, conclui que o ponto médio é $M(2,\; 2,\; -3)$.

1. a) Explica detalhadamente qual é o erro concetual do Carlos. O que representa geometricamente o vetor $\frac{1}{2}\vec{AB}$ e por que razão as suas componentes não coincidem com as coordenadas do ponto médio em relação à origem do referencial?
2. b) Mostra como o Carlos poderia ter chegado ao ponto médio correto utilizando o seu vetor $\frac{1}{2}\vec{AB}$ somando-o ao vetor de posição adequado.
3. c) Corrige o cálculo aplicando a fórmula direta do ponto médio $M = \frac{A+B}{2}$ e verifica que ambos os caminhos conduzem ao mesmo resultado.

Considera-se o vetor do espaço $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Sem calcular raízes quadradas, justifica por que razão o módulo de qualquer vetor não nulo $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ cumpre sempre que é maior ou igual ao valor absoluto de qualquer uma das suas componentes ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, com desigualdade estrita se tiver pelo menos duas componentes não nulas) e menor ou igual à soma dos valores absolutos de todas elas ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Utiliza o raciocínio anterior para limitar o valor de $|\vec{v}|$ entre dois números inteiros, estimando um intervalo no qual se deve encontrar necessariamente o seu comprimento.
3. c) Calcula o módulo exato de $\vec{v}$ aplicando a fórmula tridimensional e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

Um drone de entregas desloca-se no espaço tridimensional seguindo trajetórias marcadas por vetores. Os seus propulsores básicos permitem-lhe realizar três movimentos fundamentais definidos pelos vetores $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ e $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Se o drone precisa de realizar um transporte urgente do centro de controlo até um cliente seguindo o vetor deslocamento resultante $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calcule os coeficientes $a, b$ e $c$ tais que o movimento possa ser expresso como combinação linear dos propulsores: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

No design de um jogo eletrónico, a iluminação de uma sala depende de três refletores cujas direções de feixe são definidas pelos vetores $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ e $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$. Determine justificadamente os valores do parâmetro real $k$ para os quais os três feixes de luz são linearmente dependentes (estão no mesmo plano). O que acontece à base do espaço se $k$ assumir um desses valores?

Considere os vetores do espaço $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ e $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Demonstre que o conjunto $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ forma uma base de $\mathbb{R}^3$.
2. b) Determine as coordenadas do vetor canónico $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ em relação à base $B$.

Um sistema de segurança a laser utiliza três sensores situados nos pontos $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ e $C(k, -2, -1)$. Para que o sistema funcione corretamente, os três sensores devem estar perfeitamente alinhados.

1. a) Calcule o valor de $k$ para que os sensores $A, B$ e $C$ estejam alinhados.
2. b) Utilizando o valor de $k$ encontrado, determine as coordenadas do ponto médio do segmento $AC$.

Estão a ser instalados painéis solares numa estrutura metálica. Os pontos de fixação de um painel são $P(1, 0, 1)$, $Q(2, 1, 3)$, $R(0, 2, 2)$ e $S(1, 3, a)$. Para que o painel não sofra tensões mecânicas, os quatro pontos devem ser coplanares (pertencer ao mesmo plano).

1. a) Determine o valor de $a$ para que os pontos $P, Q, R$ e $S$ sejam coplanares.
2. b) Para o valor de $a$ obtido, os vetores $\vec{PQ}$ e $\vec{PR}$ são linearmente independentes? Justifique a sua resposta.

Dados os pontos $A(2, -1, 4)$ e $B(8, 5, -2)$, determine as coordenadas dos pontos $C$ e $D$ que dividem o segmento $AB$ em três partes iguais. Explique a relação vetorial utilizada para o resolver.

Estude a característica da seguinte família de vetores segundo os valores do parâmetro $m$:

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determine para quais valores de $m$ o sistema de vetores é linearmente dependente e, caso seja, indique se os vetores são proporcionais ou complanares.

Num software de simulação física, define-se um sistema de referência local mediante os vetores $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ e um terceiro vetor $\vec{c}$ de modo que o conjunto seja linearmente independente.

Se o vetor $\vec{c}$ tem a forma $(0, 1, \lambda)$, determine o intervalo de valores de $\lambda$ para os quais $\vec{c}$ não pode ser expresso como combinação linear de $\vec{a}$ e $\vec{b}$. Raciocine se isso significa que o conjunto $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ formaria uma base de $\mathbb{R}^3$.

Um drone de vigilância descola de uma plataforma situada no ponto $A(1, -2, 5)$ e desloca-se em linha reta até atingir um objetivo no ponto $B(4, 3, -1)$. Calcule as componentes do vetor deslocamento $\vec{AB}$ e obtenha o seu módulo para conhecer a distância percorrida pelo drone.

Dados os vetores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realiza as seguintes operações analíticas:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calcule o valor do escalar $k$ sabendo que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

No projeto de uma estrutura metálica, duas vigas unem-se nas suas extremidades, representadas pelos pontos $P(2, 5, -3)$ e $Q(8, -1, 7)$. Para reforçar a estrutura, deve colocar-se um suporte exatamente no ponto médio do segmento $PQ$. Determina as coordenadas desse ponto médio $M$.

Determine se os vetores $\vec{a} = (1, -2, 4)$ e $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ são linearmente dependentes. Justifique a sua resposta verificando se as suas coordenadas são proporcionais e explique qual a relação geométrica que existe entre eles (são paralelos?).

Expresse o vetor $\vec{w} = (7, 11, 2)$ como uma combinação linear dos vetores da base canónica de $\mathbb{R}^3$, isto é, em função de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ e $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Três estações de rádio estão situadas nos pontos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ e $C(5, 3, -1)$. Verifique se as três estações estão alinhadas (pertencem à mesma linha reta) estudando a proporcionalidade dos vetores $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$.

Calcula o valor do parâmetro $m$ para que o vetor $\vec{u} = (m, 2, 4)$ seja combinação linear dos vetores $\vec{v} = (1, 0, 2)$ e $\vec{w} = (0, 1, -1)$ através da expressão $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

Considere um paralelogramo onde três dos seus vértices consecutivos são $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ e $C(5, 5, 3)$. Utilizando a igualdade entre vetores (por exemplo, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcule as coordenadas do quarto vértice $D$.

São conhecidos os pontos do espaço $A(1,\; -1,\; 2)$ e $B(3,\; 1,\; 0)$. Pretende-se determinar a posição de um terceiro ponto $P(x,\; y,\; z)$ que cumpre simultaneamente três condições:

1. Os pontos $A$, $B$ e $P$ estão alinhados sobre uma mesma reta.

2. A distância entre $A$ e $P$ é exatamente o triplo da distância entre $A$ e $B$ (ou seja, $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. A terceira coordenada de $P$ é estritamente negativa ($z < 0$).

1. a) Obtém as componentes do vetor $\vec{AB}$ e calcula o seu módulo exato.
2. b) Estabelece a relação vetorial entre $\vec{AP}$ e $\vec{AB}$, deduzindo os dois possíveis vetores de deslocamento $\vec{AP}$ que satisfazem a condição de distância.
3. c) Determina, de forma fundamentada, as coordenadas do ponto $P$, descartando a solução que não cumpre a restrição sobre a coordenada $z$.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) realiza o acompanhamento de um balão-sonda meteorológico lançado das proximidades de Lisboa. Fixa-se um sistema de referência cartesiano com origem $O(0,\; 0,\; 0)$ na estação de lançamento, onde o eixo $X$ aponta para este, o eixo $Y$ para norte (ambos com distâncias em quilómetros) e o eixo $Z$ mede a altitude (em centenas de metros, de modo que $z = 10$ representa $1000\text{ m}$ de altitude).

Numa primeira fase de subida, o balão atinge a posição $A(0,\; 0,\; 12)$. Em seguida, uma corrente sustentada de vento desloca-o segundo o vetor de deslocamento $\vec{u} = (4,\; 3,\; 8)$ até uma posição $B$.

1. a) Determina as coordenadas da posição $B$ e indica a que altitude, em metros, se encontra o balão nesse ponto.
2. b) Uma equipa de acompanhamento deseja situar um ponto de observação $M$ a meio caminho exato entre o ponto de descolagem $O$ e a posição $B$. Encontra as coordenadas de $M$ e calcula a distância direta em linha reta desde a origem $O$ até $M$, expressando o resultado em quilómetros (tem em conta a conversão de unidades: $1\text{ unidade de } z = 0,1\text{ km}$).
3. c) A partir da posição $B$, uma rajada empurra o balão segundo o vetor $\vec{w} = (-2;\; -1,5;\; -4)$, situando-o num novo ponto $C$. Demonstra vetorialmente que os pontos $A$, $B$ e $C$ estão alinhados.

Dados os vetores do espaço $\mathbb{V}^3$ definidos por $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, k)$, pede-se:

• a) Determinar justificadamente para quais valores do parâmetro real $k$ os vetores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ não constituem uma base de $\mathbb{R}^3$.

• b) Para os valores de $k$ encontrados na alínea anterior, estuda a dependência ou independência linear dos vetores tomados dois a dois.

• c) No caso em que $k = 0$, exprime o vetor $\vec{a} = (2, 3, 5)$ como combinação linear de $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$.

Considere uma base $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ de um espaço vetorial euclidiano. Definem-se três novos vetores a partir dos elementos da base como:

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Demonstre que os vetores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ são linearmente dependentes se e só se o produto dos coeficientes $abc = -1$. No caso em que $a=1, b=1, c=-1$, obtenha a relação de dependência linear existente entre eles.

Uma equipa de engenheiros está a calibrar o sistema de navegação de um satélite. Foram definidas duas bases distintas no espaço de trabalho: a base de controlo $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ e a base de manobra $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Sabe-se que:

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Um objeto detetado tem coordenadas $(1, -2, 3)$ em relação à base de manobra $B'$. Calcule quais são as suas coordenadas em relação à base de controlo $B$. É possível que um vetor tenha as mesmas coordenadas em ambas as bases? Justifique a sua resposta.

Num tetraedro de vértices $O(0,0,0)$, $A(2,2,0)$, $B(0,2,1)$ e $C(k,0,3)$, pede-se determinar o valor de $k$ para que o vetor que une a origem $O$ ao baricentro $G$ da face oposta $ABC$ seja perpendicular ao plano que contém essa face. Nota: O baricentro de um triângulo é a média aritmética dos seus vértices.

Sejam os vetores $\vec{u} = (1, -1, 0)$ e $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Determine todos os vetores $\vec{w}$ que satisfaçam simultaneamente as seguintes três condições:

1. $\vec{w}$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

2. A norma de $\vec{w}$ é igual a $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ forma um ângulo de $60^\circ$ com o vetor $\vec{u}$.

Estude a dependência linear dos pontos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 2)$, $C(2, 0, 0)$ e $D(m, m, m)$.

• a) Determine para que valores de $m$ os quatro pontos são complanares.

• b) Existe algum valor de $m$ para o qual o vetor $\vec{AB}$ seja ortogonal ao vetor $\vec{CD}$?

• c) Explique geometricamente o que acontece aos pontos quando $m=1$.

Considera-se o conjunto de vetores $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ que formam uma base ortonormal. Constrói-se um novo sistema de vetores $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ mediante as relações:

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Demonstre que $S'$ é uma base ortogonal, mas não ortonormal.

• b) Determine o volume do paralelepípedo definido pelos vetores de $S'$.

• c) Se um vetor $\vec{x}$ tem coordenadas $(3, 1, 4)$ na base $S$, calcule as suas coordenadas na base $S'$.

Duas partículas deslocam-se pelo espaço seguindo trajetórias retilíneas. No instante $t=0$, a primeira partícula encontra-se no ponto $P(1, 0, 0)$ e move-se com uma velocidade constante dada pelo vetor $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$. A segunda partícula parte de $Q(0, 2, 1)$ com velocidade $\vec{v_2} = (2, m, 0)$.

Determine o valor de $m$ para que os vetores posição de ambas as partículas em qualquer instante $t > 0$ e o vetor que une as suas posições iniciais $\vec{PQ}$ sejam sempre complanares. As partículas colidirão em algum momento para esse valor de $m$?

Para determinar se três pontos do espaço $A(1,\; 2,\; -1)$, $B(3,\; -2,\; 3)$ e $C(6,\; -8,\; 9)$ estão alinhados sobre uma mesma reta, propõem-se duas estratégias de resolução distintas:

• Método 1 (Métrico): Calcular as distâncias euclidianas $d(A, B)$, $d(B, C)$ e $d(A, C)$ mediante o módulo dos seus respetivos vetores e verificar se a soma das duas distâncias menores coincide exatamente com a maior.

• Método 2 (Vetorial): Construir os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ e analisar se são linearmente dependentes verificando a proporcionalidade das suas componentes: $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Aplica o Método 2 para decidir de forma fundamentada se os pontos $A$, $B$ e $C$ estão ou não alinhados.
2. b) Aplica o Método 1 calculando os módulos $|\vec{AB}|$ e $|\vec{AC}|$ simplificando os radicais obtidos, e verifica que se chega à mesma conclusão.
3. c) Compara criticamente ambos os métodos e redige uma justificação fundamentada sobre qual é mais conveniente. Considera na tua análise dois aspetos: o custo algébrico (presença de raízes quadradas face a razões diretas) e a facilidade de aplicação no caso de a terceira coordenada de $C$ conter um parâmetro literal desconhecido $k$.

Consideram-se os vetores do espaço $\vec{u} = (1,\; -1,\; 2)$ e $\vec{v} = (0,\; 2,\; 1)$, bem como o vetor dependente de um parâmetro real $k$: $\vec{w}_k = (2,\; k,\; 7)$.

1. a) Formula o sistema de três equações a duas incógnitas ($a, b$) que traduz a condição de que $\vec{w}_k$ seja combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$, ou seja, $\vec{w}_k = a\vec{u} + b\vec{v}$.
2. b) Resolve as equações independentes de $k$ para determinar os únicos coeficientes $a$ e $b$ possíveis. A partir deles, deduz se existe algum valor do parâmetro $k$ para o qual $\vec{w}_k$ seja combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
3. c) Supõe agora que se define o vetor $\vec{t} = (3,\; -3,\; 6)$. Sem resolver nenhum sistema de equações, fundamenta se $\vec{t}$ é linearmente dependente de $\vec{u}$ e descreve a posição relativa das retas que contêm ambos os vetores no espaço.
4. d) Justifica de forma formal e fundamentada por que razão nenhum par de escalares reais não nulos $\alpha, \beta \neq 0$ pode cumprir que $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = (0,\; 0,\; 0)$, relacionando o teu argumento com a independência linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$.