Exercícios: Estudar uma função

A partir de uma função cujo gráfico é formado por dois ramos contínuos:

• O primeiro ramo vai desde o ponto $(-3, 2)$ (incluído) até ao ponto $(1, 4)$ (não incluído), e tem um máximo relativo em $(-1, 5)$.

• O segundo ramo vai desde o ponto $(1, -1)$ (incluído) até ao ponto $(8, 3)$ (incluído), e tem um mínimo relativo em $(4, -2)$.

Determina o seu domínio e o seu contradomínio.

Calcule a taxa de variação média (TVM) da função $f(x) = 2x^2 - 3x$ no intervalo $[-1, 2]$.

Encontra os pontos de interseção com os eixos coordenados da função $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.

Determine analiticamente se a função $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ é par, ímpar ou se não possui paridade definida.

A partir do gráfico a seguir, indique os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento) e as coordenadas dos seus extremos relativos.

Calcule o domínio de definição da função irracional $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Estude a continuidade da seguinte função definida por partes no ponto $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Identifique as equações da assíntota vertical e da assíntota horizontal da função $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.

O Marcos tem de estudar os pontos de interseção com os eixos da função racional $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. No seu exame, escreve o seguinte procedimento:

«1. Interseção com o eixo $Y$: calculo $f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2$, logo o gráfico interseta o eixo no ponto $(0, 2)$.

1. Interseções com o eixo $X$: resolvo $f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ e $x = -2$. Portanto, o gráfico interseta o eixo $X$ em dois pontos: $(2, 0)$ e $(-2, 0)$».

1. a) Localiza o erro conceptual cometido pelo Marcos: que passo fundamental do guião de estudo de uma função omitiu antes de procurar as interseções e por que razão esse esquecimento invalida uma das suas conclusões?
2. b) Determina o domínio real da função $f(x)$ e escreve a lista corrigida dos pontos de interseção que verdadeiramente existem.
3. c) A partir do anterior, fundamenta se no ponto $x = 2$ existe uma assíntota vertical ou se a função apresenta outro comportamento, simplificando a fórmula para $x \neq 2$.

Considera a função racional $f(x) = \frac{6x - 2}{2x + 1}$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo preciso, faz uma estimativa: quando os valores de $x$ se tornam extremamente grandes (por exemplo, $x$ próximo de um milhão), os termos independentes ($-2$ e $+1$) quase não influenciam o resultado. Tendo isto em conta, a que valor numérico simples achas que se aproximarão as imagens $f(x)$? Que reta suspeitas que será a assíntota horizontal?
2. b) Verifica numericamente se a tua estimativa estava correta calculando com exatidão os valores de $f(10)$, $f(100)$ e $f(1\,000)$ (arredonda a três casas decimais se for necessário).
3. c) A partir das tuas verificações, deduz a equação da assíntota horizontal tanto quando $x \to +\infty$ como quando $x \to -\infty$, e explica que informação visual traz esta assíntota sobre o traçado da curva nos extremos do papel.

O gráfico que mostra a evolução do número de espectadores semanais (em milhares) de um filme em estreia ao longo do tempo (em semanas) parte do ponto $(0, 10)$, cresce até $(5, 80)$, mantém-se constante entre a semana $5$ e a $7$, decresce até $(10, 30)$ e mantém-se constante entre a semana $10$ e a $12$, onde termina em $(12, 30)$. Estuda o domínio e o contradomínio no contexto do problema, e indica em que intervalos a audiência cresce, decresce ou se mantém constante.

Encontre o domínio da função racional $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Estude a simetria da função $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ e calcule os seus pontos de interseção com os eixos coordenados.

A posição de um objeto em movimento retilíneo é dada pela função $e(t) = 5t^2 + 2t$, onde $e$ é a posição em metros e $t$ o tempo em segundos. Calcule a velocidade média (taxa de variação média) nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$, e indique em qual intervalo o objeto se moveu mais rápido.

Expresse a função com valor absoluto $f(x) = |2x - 4|$ como uma função definida por ramos e determine os seus intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).

A variação do nível de um reservatório $v$ (em metros em relação ao seu nível médio) em função do mês $x$ do ano é dada pela função $v(x) = -0,5x^2 + 10x - 18$. Determine em que mês o nível do reservatório está mais alto, a quanto ascende essa diferença máxima em relação ao nível médio e em que meses o reservatório está exatamente no nível médio ($v = 0$).

Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais da função $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

Descreva o comportamento da função $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analisando o seu domínio, os seus pontos de interseção com os eixos, a sua simetria e as suas assíntotas horizontais e verticais.

A partir dos registos de uma estação do IPMA situada no planalto mirandês durante um dia de outono com céu limpo, a temperatura $T$ (em graus Celsius, ºC) ao longo das $24$ horas do dia é modelada pela função quadrática:

$T(t) = -0,05 \cdot (t - 15)^2 + 14$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas desde a meia-noite ($0 \leq t \leq 24$).

1. a) Justifica qual é o domínio de definição desta função tendo em conta o contexto físico do problema.
2. b) Sem necessidade de derivar, a partir da estrutura do vértice da parábola, identifica fundamentadamente o intervalo de horas no qual a temperatura sobe, o intervalo no qual desce e as coordenadas completas $(t, T)$ do extremo relativo (máximo diário).
3. c) Calcula a taxa de variação média (TVM) da temperatura no período da manhã compreendido entre as $t = 7$ horas e as $t = 11$ horas. Interpreta o significado real do sinal e das unidades da grandeza obtida.
4. d) Formula e resolve a equação necessária para averiguar se em algum momento do dia se atingiram os $0$ ºC (pontos de interseção com o eixo horizontal das horas).

Para estudar se a função racional $g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}$ apresenta algum tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma), três alunos propõem caminhos diferentes:

• A Alba propõe verificá-lo através de valores numéricos: calcular pares de imagens de objetos simétricos como $g(1)$ e $g(-1)$, $g(2)$ e $g(-2)$, $g(4)$ e $g(-4)$, e verificar se coincidem ou mudam de sinal.

• O Bruno propõe aplicar a definição algébrica formal: substituir $x$ por $-x$, calcular a expressão de $g(-x)$, simplificá-la e compará-la diretamente com $g(x)$ e com $-g(x)$.

• O Carlos propõe decompor a função: analisar separadamente que o numerador é uma função ímpar e o denominador é uma função par, e deduzir a simetria global aplicando uma regra de sinais análoga à da multiplicação e divisão de números.

1. a) Analisa criticamente os três métodos: qual ou quais constituem uma demonstração matemática válida para todos os números do domínio e qual serve apenas como indício ou verificação experimental?
2. b) Aplica o método algébrico do Bruno para demonstrar rigorosamente que simetria possui $g(x)$.
3. c) Explica detalhadamente de que forma o resultado da simetria te permite poupar metade do trabalho ao estudar as assíntotas verticais e o sinal da função no seu domínio.

Dada a seguinte função definida por partes, estude o seu domínio, a sua continuidade, os seus pontos de interseção com os eixos e os seus intervalos de monotonia:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

Num triângulo isósceles de base $12$ cm e altura $10$ cm, inscreve-se um retângulo cuja base $x$ repousa sobre a base do triângulo, como mostra a figura. Expresse a área do retângulo em função da sua base $x$ e determine o domínio dessa função no contexto geométrico do problema.

A função racional $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ passa pelo ponto $(0, 1)$, tem uma assíntota vertical na reta $x = 2$ e uma assíntota horizontal na reta $y = 3$. Formule um sistema de equações e determine os valores dos parâmetros $a$, $b$ e $c$.

A concentração de um determinado fármaco no sangue de um doente, em mg/L, após $t$ horas da sua administração, é dada pelo modelo $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calcule a taxa de variação média na primeira hora (intervalo $[0, 1]$) e interprete o resultado. Além disso, raciocine matematicamente qual é a tendência da concentração do fármaco a longo prazo (quando $t \to \infty$).

Esboce no seu caderno o gráfico de uma função $f(x)$ que cumpra simultaneamente todas as seguintes condições:

• O seu domínio é $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• É uma função ímpar.

• Tem assíntotas verticais em $x = -2$ e $x = 2$, e uma assíntota horizontal em $y = 0$.

• Apresenta um máximo relativo no ponto $(-4, 1)$ e um mínimo relativo em $(4, -1)$.

• Passa pela origem do referencial.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A partir da função quadrática $f(x) = x^2 - 4x$, obtenha a expressão analítica de $g(x) = |x^2 - 4x|$ como função definida por ramos. Represente mentalmente a situação e determine os intervalos em que o gráfico de $g(x)$ tem a concavidade voltada para cima e para baixo.

Um projétil é lançado para cima e segue uma trajetória descrita pela função $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, onde $h$ é a altura em metros e $t$ o tempo em segundos desde o lançamento. Determine o domínio da função restrito à duração real do voo (até atingir o solo), a altura a partir da qual foi lançado, a altura máxima que atinge e o tempo total de voo.

Demonstre analiticamente se a função $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ tem simetria par, ímpar ou nenhuma das duas. Em seguida, calcule os seus pontos de interseção com os eixos e determine as equações das suas assíntotas verticais e horizontais.

Encontra a expressão analítica de uma função racional da forma $f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x - c}$, onde $a$, $b$ e $c$ são números reais que deves determinar, sabendo que cumpre simultaneamente as seguintes três condições:

1. O seu gráfico apresenta uma assíntota vertical na reta $x = 3$.

2. Interseta o eixo das abcissas ($X$) no ponto $(-2, 0)$.

3. Quando os valores da variável independente crescem ilimitadamente ($x \to +\infty$), as imagens aproximam-se da reta horizontal de equação $y = 4$.

1. a) Deduz passo a passo e de forma justificada o valor dos coeficientes $a$, $b$ e $c$. Verifica que o numerador da função resultante não se anula em $x = 3$.
2. b) Determina o ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas ($Y$).
3. c) Calcula a taxa de variação média (TVM) da função nos intervalos $[4, 5]$ e $[5, 8]$. À luz destes resultados e da assíntota vertical obtida, fundamenta se é possível que a função possua algum máximo ou mínimo relativo no intervalo $(3, +\infty)$ ou se a sua monotonia é constante nele.

Uma cooperativa agrícola em Portugal adquire uma nova máquina de embalar através de aluguer comercial. A máquina gera custos fixos mensais de $1\,200$ € (seguro e prestação) e um custo variável de $25$ € por cada tonelada de fruta processada. A função que expressa o custo médio unitário por tonelada (em euros por tonelada) ao processar $x$ toneladas num mês é:

$\bar{C}(x) = \frac{1\,200 + 25x}{x}$

1. a) Determina o domínio de definição de $\bar{C}(x)$ no contexto real do problema e explica por que razão não têm sentido prático os valores $x \leq 0$.
2. b) Analisa a tendência e a assíntota vertical da função quando a produção se torna muito próxima de zero pela direita ($x \to 0^+$). Que interpretação económica tem o facto de o valor de $\bar{C}(x)$ crescer para $+\infty$ quando se processa uma quantidade minúscula de fruta?
3. c) Calcula analiticamente a assíntota horizontal da função quando $x \to +\infty$. Fundamenta se a cooperativa poderá alguma vez reduzir o seu custo médio para menos de $25$ € por tonelada aumentando indefinidamente o volume de produção.
4. d) Demonstra que a função é estritamente decrescente em todo o seu domínio provando que $TVM[a, b] = -\frac{1\,200}{ab} < 0$ para quaisquer $0 < a < b$; depois, avalia a TVM em dois intervalos com o mesmo comprimento mas diferente escala de produção (por exemplo, $[10, 30]$ e $[100, 120]$) e interpreta que conclusão prática deve retirar a administração da cooperativa sobre a amortização de custos fixos.