Exercícios: A taxa anual equivalente

Uma conta de poupança para jovens oferece juros nominais anuais (TIN) de $3 \%$ com capitalização mensal. Calcule a Taxa Anual Equivalente (TAE) desta conta.

Para financiar uma viagem de fim de curso, um grupo de alunos deposita as suas economias num produto financeiro que oferece $4 \%$ de juros nominais anuais com capitalização trimestral. Determine a TAE da operação.

Um banco oferece dois tipos de depósitos a um ano:

• Depósito A: $5 \%$ TIN com pagamento de juros semestral.

• Depósito B: $5,05 \%$ TAE com pagamento de juros anual.

Calcule a TAE do Depósito A para saber qual dos dois é mais rentável.

Preencha a tabela a seguir indicando o valor de $n$ (número de períodos de capitalização por ano) que deve utilizar na fórmula da TAE para cada caso:

Um banco anuncia uma conta de poupança com uma TAE de $2,5 \%$ e liquidação de juros anual. Se o período de liquidação for de um ano completo, qual é o juro nominal anual (TIN) desta conta? Explique por que razão neste caso ambos os valores coincidem.

Calcule a TAE correspondente a juros nominais de $12 \%$ anuais capitalizáveis trimestralmente. Se depois decidirmos mudar para uma capitalização mensal mantendo a mesma TAN, a TAE aumentará ou diminuirá? Verifique realizando o segundo cálculo.

A Marta quer calcular a Taxa Anual Efetiva Nominal ($\text{TAE}$) de uma conta poupança que publicita uma $\text{TIN}$ de $3\,\%$ com liquidação mensal de juros e sem comissões. No seu caderno, escreve a seguinte resolução:

A Marta nota que o resultado obtido é desorbitado para uma conta poupança real, mas não localiza o erro.

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro que a Marta cometeu ao introduzir a taxa nominal na fórmula.
2. b) Corrige o raciocínio e determina a verdadeira $\text{TAE}$ da conta, expressando o resultado em percentagem e arredondando às centésimas.
3. c) Explica por que razão, conceptualmente, a $\text{TAE}$ correta deve ser apenas ligeiramente superior aos $3\,\%$ anunciados e não um valor tão distante.

Uma instituição bancária comercializa um depósito a prazo de $1$ ano com uma $\text{TIN}$ de $4\,\%$, sem comissões e com liquidação trimestral de juros ($n = 4$).

1. a) Antes de efetuares qualquer cálculo com a fórmula, faz uma estimativa qualitativa e fundamentada: esperas que a $\text{TAE}$ seja menor do que $4\,\%$, exatamente igual a $4\,\%$, ligeiramente superior (por exemplo, entre $4,05\,\%$ e $4,10\,\%$) ou muito superior (acima de $5\,\%$)? Justifica a tua previsão apoiando-te no mecanismo de reinvestimento dos juros gerados ao longo do ano.
2. b) Aplica a fórmula da $\text{TAE}$ para calcular o seu valor numérico exato (arredonda a duas casas decimais em percentagem).
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa prévia e avalia se faz sentido económico que a diferença entre $\text{TIN}$ e $\text{TAE}$ seja dessa magnitude para taxas de juro moderadas.

Dois bancos digitais, NeoBank e BancaApp, querem captar as tuas poupanças para um fundo que estás a criar para a tua viagem de finalistas.

• NeoBank oferece-te uma taxa de juro nominal anual de $3,5\%$ com capitalização mensal dos juros.

• BancaApp oferece-te uma taxa de juro nominal anual de $3,55\%$ com capitalização semestral.

Calcule a Taxa Anual Equivalente (TAE) de ambas as opções e determine qual é mais rentável para as tuas poupanças.

Queres comprar uma mesa digitalizadora que custa $450$ € e decides financiá-la com um cartão de crédito de uma loja de eletrónica. O contrato indica que a taxa de juro mensal aplicada será de $1,8\%$.

1. a) Calcula a taxa de juro nominal anual que te estão a cobrar.
2. b) Determina a TAE associada a esta operação financeira.

Um banco anuncia um crédito pessoal para jovens com uma TAE de $7,2\%$. Se os juros forem liquidados mensalmente e não existirem comissões adicionais, qual é a taxa de juro nominal anual (TIN) aplicada?

Uma instituição financeira oferece um depósito a prazo fixo de um ano com uma taxa de juro nominal de $4\%$. No entanto, o banco cobra-te uma comissão de abertura fixa de $25$ € que é descontada no início do investimento. Se decidires investir $2\,000$ €:

1. a) Que capital real estás a investir depois de pagares a comissão?
2. b) Que capital vais receber no final do ano?
3. c) Tendo em conta que no final do ano recebes o capital mais os juros, calcula a TAEG real da operação considerando a comissão como um capital inicial menor.

Viste um anúncio de "microcréditos rápidos" na internet. Emprestam-te $300$ € para uma despesa urgente e deves devolver $315$ € ao cabo de exatamente um mês.

1. a) Calcula a taxa de juro mensal em percentagem.
2. b) Calcula a TAE deste empréstimo se fossem mantidas as mesmas condições durante todo um ano. Parece-te uma taxa de juro razoável comparada com a de um empréstimo bancário habitual?

O banco PoupançaFácil liquida os juros das suas contas em cada trimestre. Se um cliente quiser obter um rendimento real (TAE) de $5\%$, que taxa de juro nominal anual deveria o banco oferecer?

Compare as seguintes três ofertas de investimento para um capital de $5\,000$ € durante um ano:

• Oferta A: $4,2\%$ de juros nominais anuais, com capitalização trimestral.

• Oferta B: $4,15\%$ de juros nominais anuais, com capitalização mensal.

• Oferta C: $4,25\%$ de juros anuais simples (os juros não são reinvestidos).

Calcule a TAE de cada uma (no caso C, a TAE coincide com os juros simples por ser um ano) e ordene-as da melhor para a pior.

Uma empresa de telecomunicações oferece financiamento para um smartphone de topo de gama. O telefone custa $1\,100$ € a pronto pagamento. O financiamento consiste em $12$ prestações mensais de $98$ €.

1. a) Calcule o total pago no final do ano.
2. b) Se o excesso pago sobre o preço a pronto pagamento for considerado como juros vencidos no final do ano, que taxa de juro simples anual estaria a pagar?
3. c) Se a instituição financeira nos disser que a TAE da operação é de $13,5\%$, verifique se o capital final de investir $1\,100$ € a esses juros compostos mensais coincide aproximadamente com o total das prestações pagas.

Um neobanco que opera em Portugal pretende lançar uma conta poupança remunerada sem despesas de manutenção. A equipa de comercialização tem como objetivo fixar uma $\text{TAE}$ exata de $3,50\,\%$, creditando os juros mês a mês ($n = 12$).

1. a) Escreve a equação que permite obter a $\text{TIN}$ anual ($r$) a partir da $\text{TAE}$ fixada e do número de períodos de liquidação anuais.
2. b) Isola algebricamente a variável $r$ e calcula a $\text{TIN}$ que a instituição deve publicar na sua documentação pré-contratual, arredondando a duas casas decimais de percentagem.
3. c) Se o banco decidisse alterar a periodicidade de pagamento para diária ($n = 365$), a $\text{TIN}$ necessária para manter essa mesma $\text{TAE}$ de $3,50\,\%$ teria de ser maior ou menor do que a obtida na alínea anterior? Justifica a tua resposta analisando a relação entre a frequência de capitalização e a acumulação de juros.

Dispões de $10\,000\text{ €}$ e propõem-te duas opções de depósito a prazo de $1$ ano sem comissões:

• Opção A: $\text{TIN}$ de $3,20\,\%$ com capitalização semestral ($n = 2$).

• Opção B: $\text{TIN}$ de $3,18\,\%$ com capitalização diária ($n = 365$).

Para decidir que produto contratar, dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• Método 1 (Via TAE): Calcular diretamente a $\text{TAE}$ de cada alternativa através da sua fórmula e escolher a que apresentar uma percentagem mais elevada.

• Método 2 (Via Capital Final): Calcular o capital final acumulado no termo do ano aplicando a capitalização composta período a período sobre os $10\,000\text{ €}$ e escolher a que proporcionar mais euros de ganho.

1. a) Aplica numericamente ambos os métodos e confirma se os dois conduzem à mesma decisão.
2. b) Justifica que método se revela mais eficiente e generalizável caso se tivesse de prestar aconselhamento a um conjunto de clientes com montantes muito diversos (desde $500\text{ €}$ até $500\,000\text{ €}$).
3. c) Imagina que a Opção A acrescenta uma comissão de manutenção de conta de $12\text{ €}$ no final do ano. Explica por que razão o Método 1 exigiria adaptar o cálculo e qual seria o impacto qualitativo desse custo na rentabilidade efetiva real.

Uma conhecida rede de lojas de tecnologia oferece uma promoção para comprar um computador de última geração que custa $1\,500 \text{ €}$. A oferta consiste num empréstimo de $12$ meses com $0 \%$ de juros nominais ($TIN$), mas com uma comissão de abertura de $75 \text{ €}$ que é paga na primeira prestação. Se compararmos esta oferta com um empréstimo bancário tradicional que não tem comissões, mas aplica juros compostos mensais, qual deveria ser o $TIN$ deste segundo empréstimo para que a sua Taxa Anual Equivalente ($TAE$) seja idêntica à da oferta da loja?

Um jovem investidor está a analisar dois produtos financeiros para as suas poupanças. O primeiro é uma conta de poupança que oferece $4,5 \%$ de taxa de juro nominal anual com capitalização diária. O segundo é um fundo de investimento que garante $4,6 \%$ de taxa de juro nominal anual, mas com capitalização semestral. Demonstre algebricamente qual dos dois produtos gera uma maior rentabilidade real anual através do cálculo das respetivas $TAE$ e determine a diferença percentual entre ambas em base anual.

Um "microcrédito" pela internet oferece $300 \text{ €}$ a ser devolvido num único pagamento aos $15$ dias. O mutuante cobra $12 \text{ €}$ a título de "taxas de gestão", mas na publicidade indica que a taxa de juro é de $0 \%$. Calcule a $TAE$ real desta operação financeira considerando que um ano tem $365$ dias. Reflita sobre o porquê de este dado ser obrigatório por lei na publicidade destes produtos.

Uma instituição bancária anuncia uma conta de depósito com uma $TAE$ de $5,116125 \%$. Se o banco realizar a liquidação de juros de forma mensal, calcule a Taxa de Juro Nominal ($TIN$) anual que está a aplicar. Uma vez obtida, calcule quanto dinheiro receberia um cliente que deposita $10\,000 \text{ €}$ durante um trimestre se decidir não reinvestir os juros gerados em cada mês (juros simples durante esse período).

Ao solicitar um empréstimo hipotecário de $180\,000 \text{ €}$ a amortizar em 20 anos através do sistema francês, o banco oferece-nos uma $TIN$ de $3,2 \%$ com capitalização mensal. No entanto, para o conceder, obriga-nos a contratar um seguro de vida anual de $250 \text{ €}$ (pago de forma repartida mensalmente juntamente com a prestação durante os 20 anos) e a pagar uma comissão de abertura de $0,5 \%$ sobre o capital solicitado. Calcula a $TAE$ da operação, integrando todas estas despesas adicionais no custo efetivo do capital.

Comparamos dois cartões de crédito. O Cartão Platina cobra uma taxa de juro nominal mensal de $1{,}8\,\%$ sem comissão de manutenção. O Cartão Ouro cobra $1{,}5\,\%$ nominal mensal, mas tem uma comissão fixa de manutenção de $45\text{ €}$ por ano. Um utilizador mantém uma dívida média constante de $1\,200\text{ €}$ durante todo o ano.

1. a) Calcula a $TAE$ do Cartão Platina e a $TAE$ dos juros do Cartão Ouro (sem contar a comissão de manutenção).

1. b) Calcula o custo anual total de cada cartão (juros e comissão) para uma dívida média de $1\,200\text{ €}$.

1. c) Escreve o custo anual de cada cartão em função da dívida média $D$ e determina a partir de que montante de dívida média anual o Cartão Ouro começaria a ser mais rentável.

Um banco oferece um produto de investimento no qual os juros são capitalizados trimestralmente. Se um cliente desejar que o seu capital inicial duplique exatamente em $10$ anos, qual deve ser a $TAE$ mínima que o produto deve oferecer? Expresse o resultado com quatro casas decimais e calcule também o $TIN$ anual correspondente a essa operação.

Uma plataforma de crowdlending permite emprestar dinheiro a PME. Uma empresa solicita $5\,000 \text{ €}$ e compromete-se a devolver $5\,600 \text{ €}$ ao cabo de $9$ meses num único pagamento. Calcule a $TAE$ que os investidores obterão se a plataforma cobrar uma comissão de gestão de $1 \%$ sobre o capital final recebido no momento do vencimento. Compare este resultado com a $TAE$ que seria obtida se não existisse essa comissão de gestão.

Num concessionário de veículos de mobilidade urbana propõem financiar um ciclomotor elétrico de $3\,000\text{ €}$ para devolver o montante integral num único pagamento ao fim de $1$ ano, apresentando duas promoções alternativas:

• Promoção 'Sem Juros': É publicitada com uma $\text{TIN}$ de $0\,\%$. Contudo, o contrato inclui uma comissão de estudo e abertura de $3\,\%$ sobre o preço do veículo ($90\text{ €}$) que é somada à dívida a amortizar ao fim de um ano, e despesas iniciais de gestão de $60\text{ €}$ que devem ser pagas a pronto no momento da entrega ($t = 0$).

• Promoção 'Financiamento Padrão': $\text{TIN}$ de $4,50\,\%$ anual com liquidação trimestral de juros acumulativos ($n = 4$), sem qualquer tipo de comissões de abertura nem despesas iniciais, pagando-se capital mais juros no termo do ano.

1. a) Modela o fluxo monetário da Promoção 'Sem Juros': determina a quantia líquida de dinheiro que o comprador efetivamente recebe financiada em $t = 0$ e o montante total que desembolsa ao fim de $1$ ano. Com estes dois montantes, calcula a $\text{TAE}$ efetiva do empréstimo.
2. b) Modela e calcula a $\text{TAE}$ correspondente à Promoção 'Financiamento Padrão'.
3. c) Determina fundamentadamente qual das duas propostas é financeiramente mais vantajosa para o comprador e reflete sobre o motivo pelo qual a regulamentação de transparência bancária exige destacar a $\text{TAE}$ em qualquer anúncio publicitário, mesmo quando a $\text{TIN}$ publicitada seja de $0\,\%$.

Um folheto de investimento publicita um produto estruturado a $1$ ano com uma $\text{TAE}$ de $5,00\,\%$. Um consultor comercial financeiro afirma perante um cliente: «Se acordarmos liquidar os juros de forma instantânea e contínua em vez de mensalmente, mantendo a mesma $\text{TIN}$ anual, a rentabilidade efetiva ($\text{TAE}$) aumentará substancialmente, podendo atingir os $6\,\%$ ou até os $7\,\%$.»

1. a) Supondo que o produto oferece uma $\text{TAE}$ de $5,00\,\%$, calcula a $\text{TIN}$ ($r$) que corresponderia caso a capitalização fosse mensal ($n = 12$) e a que corresponderia sob capitalização contínua, utilizando a expressão limite $\text{TAE} = e^{r/100} - 1$. Arredonda ambos os valores às milésimas de percentagem.
2. b) Supõe agora que o banco fixa previamente uma $\text{TIN}$ de $4,88\,\%$. Demonstra analiticamente que existe um limite superior finito para a $\text{TAE}$ que não se pode ultrapassar, independentemente de quão grande seja o número de períodos de liquidação $n$. Determina o valor exato desse limite superior máximo.
3. c) Com base nos resultados das alíneas anteriores, refuta com argumentos matemáticos a afirmação do consultor comercial e explica que conclusão prática deve retirar um aforrador sobre a verdadeira influência de aumentar a frequência de liquidação na rentabilidade do seu dinheiro.