Exercícios: Equação ponto-coeficiente angular da reta

Escreva a equação da reta que passa pelo ponto $P(3, -2)$ e tem declive $m = 4$.

Calcule o declive da reta que passa pelos pontos $A(-1, 5)$ e $B(2, 11)$. Em seguida, escreva a sua equação na forma ponto-declive utilizando o ponto $A$.

Dada a reta de equação $y - 5 = -2(x + 1)$, indique qual é o seu declive e obtenha diretamente da fórmula as coordenadas de um ponto pelo qual ela passa.

Transforme a equação ponto-declive $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ para a sua forma reduzida $y = mx + n$.

Escreva a equação reduzida da reta paralela a $y = 3x - 7$ que passa pelo ponto $Q(-4, 1)$.

Um canalizador cobra $30$ € pela deslocação ao domicílio e $20$ € por cada hora de trabalho. Sabendo que por um trabalho de $2$ horas cobrou um total de $70$ €, escreva a equação da reta na forma ponto-declive que relaciona o custo total com as horas trabalhadas, tomando como referência este ponto conhecido.

No gráfico de uma reta destacam-se os pontos $(0, 0)$ e $P(2, 3)$. A partir dos pontos destacados, calcula o declive da reta e escreve a sua equação na forma ponto-declive tomando como referência o ponto $P$.

Escreve a equação ponto-declive da reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Depois, escreve a equação ponto-declive da reta bissetriz do segundo e quarto quadrantes, utilizando em ambos os casos a origem dos eixos coordenados.

O Afonso tem de encontrar a equação geral da reta perpendicular a $r: 3x - 6y + 2 = 0$ que passa pelo ponto $A(1, -2)$. No seu exame escreve o seguinte:

«Passo 1: O declive da reta $r$ é $m_1 = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{3}{-6} = \dfrac{1}{2}$.

Passo 2: Como as retas perpendiculares têm declives opostos, o declive da reta procurada deve ser $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Passo 3: Aplico a forma ponto-declive: $y - (-2) = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$, que ao operar dá $y + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$, e na forma geral fica $x + 2y + 3 = 0$».

1. a) Identifica de forma precisa em que passo comete o erro e explica a falha concetual que o Afonso comete sobre a condição de perpendicularidade.
2. b) Corrige o exercício a partir desse passo e escreve a equação geral ($Ax + By + C = 0$) correta da reta perpendicular.

Constrói as equações gerais ($Ax + By + C = 0$) de duas retas distintas, $r$ e $s$, que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições:

1. Ambas devem ser perpendiculares à reta dada $t: 2x + 5y - 10 = 0$.

2. A reta $r$ deve intersetar o eixo das ordenadas ($Y$) num ponto com coordenada $y$ negativa (escolhe tu esse valor e justifica-o).

3. A reta $s$ deve passar exatamente pelo ponto $P(4, 1)$.

Mostra fundamentadamente como deduzes o declive comum de $r$ e $s$ a partir da reta $t$, e obtém a equação geral de cada uma.

Uma empresa de aluguer de bicicletas cobra uma taxa fixa pelo serviço mais um preço constante por hora de utilização. Sabe-se que por um aluguer de $3$ horas se pagam $14$ € e por um aluguer de $5$ horas se pagam $20$ €. Determine o declive da função afim do custo e escreva a sua equação da reta na forma ponto-declive tomando os dados do primeiro cliente.

Determine a equação da reta, na forma ponto-declive, que é perpendicular à reta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ e que passa pela origem do referencial.

Verifique analiticamente se os pontos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ e $C(5, -10)$ estão alinhados. Para isso, determine primeiro a equação reduzida da reta que passa por $A$ e $B$ e, depois, verifique se as coordenadas de $C$ satisfazem essa equação.

Um carro circula por uma estrada reta a velocidade constante. Às $10:00$ horas encontra-se no quilómetro $45$ e às $12:30$ horas passa pelo quilómetro $245$. Escreva a equação reduzida da reta que modela a posição do carro em função do tempo decorrido desde as $10:00$ horas, expressando o tempo em horas.

A partir da equação geral da reta $3x - 5y + 15 = 0$, encontre um ponto dela cuja coordenada $x$ seja inteira, calcule o seu declive e escreva a equação correspondente na forma ponto-declive.

O gráfico seguinte mostra o perfil de descida a velocidade constante de um submarino. A partir dos pontos indicados, determine a equação da reta, na forma ponto-declive, que representa a sua trajetória.

O valor de um equipamento informático deprecia-se linearmente com o tempo. Se foi comprado por $1200$ € e ao fim de $4$ anos o seu valor contabilístico é de $400$ €, escreva a equação ponto-declive que relaciona o valor do equipamento com os anos decorridos, utilizando o ponto correspondente ao quarto ano.

Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelo ponto $P(-3, 5)$ e é paralela à reta que une os pontos $M(1, -2)$ e $N(4, 7)$.

Numa região do Alentejo, duas localidades situam-se sobre um mapa cartográfico nas coordenadas $A(1, 2)$ e $B(7, 4)$ (medidas em quilómetros). Uma operadora de telecomunicações deve instalar uma antena repetidora que equidiste de ambos os municípios, o que exige localizá-la sobre a reta mediatriz do segmento $AB$.

1. a) Modela analiticamente a situação calculando passo a passo a equação geral dessa reta mediatriz.
2. b) Uma estrada regional segue o traçado retilíneo da reta $r: x - y + 1 = 0$. Se a empresa decidir instalar a antena junto à berma desta estrada para facilitar o seu acesso, calcula as coordenadas exatas do ponto onde deve ser colocada.
3. c) Analisa os declives da estrada $r$ e do segmento $AB$ para justificar matematicamente se a estrada cruza perpendicularmente, de forma oblíqua ou se é paralela à linha reta que une diretamente ambas as povoações.

Consideram-se os três pontos do plano $P(-3, 8)$, $Q(1, 0)$ e $R(4, -6)$. Para averiguar se os três pontos estão alinhados, propõem-se dois procedimentos distintos:

• Método 1: Encontrar a equação reduzida da reta que passa por $P$ e $Q$, e verificar depois se as coordenadas de $R$ satisfazem essa equação.

• Método 2: Calcular diretamente o declive do segmento $PQ$ ($m_{PQ}$) e o do segmento $QR$ ($m_{QR}$), comparando se ambos os valores coincidem.

1. a) Justifica qual dos dois métodos é mais direto e eficiente, indicando que vantagens apresenta relativamente ao número de operações e ao risco de erro algébrico.
2. b) Aplica o método escolhido para justificar se $P$, $Q$ e $R$ estão ou não alinhados.
3. c) Utiliza a abordagem dos declives para determinar o valor da coordenada desconhecida $k$ de modo a que o ponto $S(k, -10)$ também esteja alinhado com eles.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $y - 3 = k(x + 2)$ passe pelo ponto de interseção das retas $r: 2x + y - 8 = 0$ e $s: x - 3y + 3 = 0$.

Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de extremidades $A(-4, 2)$ e $B(2, 6)$. Lembra-te de que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

Dado o triângulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ e $C(3, 7)$, determine a equação reduzida da reta que contém a altura correspondente ao vértice $C$.

As escalas de temperatura Celsius ($^\circ C$) e Fahrenheit ($^\circ F$) têm uma relação linear. Sabendo que a água congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) e ferve a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), deduza a equação reduzida da reta, em função do declive e de um ponto, que permite converter graus Celsius para Fahrenheit utilizando o ponto de congelação. Em seguida, use-a para calcular a temperatura em Fahrenheit equivalente à temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.

Calcule a área do triângulo formado pela reta de equação $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ com os eixos coordenados. Para isso, determine em primeiro lugar os pontos de interseção da reta com os eixos.

Num modelo económico simples, a quantidade procurada de um produto diminui linearmente à medida que o seu preço aumenta. A um preço de $20$ €, são procuradas $500$ unidades, e observou-se que, por cada aumento de $2$ € no preço, a procura desce $50$ unidades. Escreva a equação da reta que passa por um ponto e tem um dado declive, que traduz a procura, tomando o primeiro dado como referência, e calcule a que preço a procura será nula.

Um raio de luz segue uma trajetória em linha reta dada pela equação $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Ao chegar ao eixo das abcissas (que atua como um espelho plano perfeito), o raio reflete-se. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, determine a equação reduzida do raio refletido, tomando como referência o ponto de impacto no espelho.

Escreva a equação reduzida da reta que passa pelo ponto $P(2, -1)$ e que, ao intersetar os semieixos coordenados (semieixo positivo das abscissas e semieixo negativo das ordenadas), forma um triângulo retângulo de área $4$ unidades quadradas.

Numa operação no mar Cantábrico, o Salvamento Marítimo deteta duas embarcações à deriva nas posições $A(-6, -2)$ e $B(2, 4)$ (em milhas náuticas relativamente ao centro de controlo em $(0,0)$). Um helicóptero de resgate deve patrulhar ao longo da reta mediatriz do segmento $AB$ para se manter sempre à mesma distância de ambos os sinais.

1. a) Antes de realizar cálculos analíticos, faz uma estimativa fundamentada: deduz qual deve ser o sinal do declive da mediatriz e se a sua ordenada na origem será positiva ou negativa, justificando a tua previsão a partir das posições de $A$, $B$ e do seu ponto médio no plano cartesiano.
2. b) Calcula a equação reduzida ($y = mx + n$) da mediatriz e verifica se os valores obtidos de $m$ e $n$ confirmam com precisão as tuas deduções da alínea anterior.
3. c) A base costeira do helicóptero situa-se em $C(6, -8)$. Se a aeronave descolar seguindo a trajetória retilínea dada por $4x + 3y = 0$, justifica através da análise de declives que relação geométrica essa trajetória de saída tem com a reta que une diretamente as duas embarcações ($AB$) e com a linha de patrulha (a mediatriz).

Considera-se a reta fixa $s: 4x - 6y + 5 = 0$ e uma família de retas dependentes de um parâmetro real $k$, definidas por $r_k: (k - 1)x + 2y - 4 = 0$.

1. a) Determina de forma fundamentada o valor de $k$ para o qual a reta $r_k$ é paralela a $s$.
2. b) Determina o valor de $k$ para o qual a reta $r_k$ é perpendicular a $s$.
3. c) Um colega de turma afirma: «Se uma terceira reta $t$ qualquer for perpendicular a $s$, então obrigatoriamente $t$ será concorrente com $r_k$, independentemente do valor que tome o parâmetro $k$». Justifica geométrica e algebricamente se a afirmação do teu colega é verdadeira ou falsa, analisando o que acontece com o declive de $t$ em comparação com os casos calculados nas alíneas a) e b).