Exercícios: Teorema de Tales

Calcule o valor do segmento desconhecido $x$ na figura seguinte, sabendo que as retas horizontais são paralelas entre si.

Duas retas secantes são cortadas por duas retas paralelas. Na primeira reta secante, os segmentos determinados pelas paralelas medem $12$ cm e $15$ cm. Na segunda reta secante, o segmento correspondente ao de $12$ cm mede $8$ cm. Calcule o comprimento do segmento correspondente ao de $15$ cm.

Os triângulos da figura estão em posição de Tales. Calcule os comprimentos dos lados $x$ e $y$.

Explique os passos geométricos necessários para dividir um segmento de $11$ cm em $5$ partes exatamente iguais utilizando régua, compasso e o Teorema de Tales.

Três retas paralelas são cortadas por duas retas secantes $r$ e $s$. Na reta $r$, os segmentos medem $3,5$ cm e $5$ cm. Na reta $s$, o segmento correspondente ao de $3,5$ cm mede $4,2$ cm. Quanto mede o segmento correspondente ao de $5$ cm na reta $s$?

Num triângulo $\Delta ABC$, traça-se um segmento $MN$ paralelo ao lado $BC$, de modo a que $M$ pertença ao lado $AB$ e $N$ ao lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm e $AN = 6$ cm. Calcule o comprimento do lado completo $AC$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Verifique se os segmentos determinados por três retas sobre duas secantes são proporcionais. Na primeira secante medem $15$ cm e $20$ cm. Na segunda secante medem $24$ cm e $32$ cm. As três retas são paralelas? Justifique a sua resposta usando o recíproco do Teorema de Tales.

Num triângulo $ABC$, traça-se um segmento $DE$ paralelo ao lado $BC$, com o ponto $D$ situado no lado $AB$ e o ponto $E$ no lado $AC$. Conhecem-se as seguintes medidas: $AD = 6\text{ cm}$, $DB = 3\text{ cm}$ e a base $BC = 12\text{ cm}$. O Marcos tenta calcular o comprimento do segmento paralelo $DE$ e escreve no seu caderno:

1. a) Sem realizar nenhum cálculo numérico, explica que evidência geométrica imediata demonstra que o resultado de $24\text{ cm}$ obtido pelo Marcos é impossível.
2. b) Identifica o erro conceptual que o Marcos cometeu ao escrever a proporção entre os lados laterais e as bases paralelas.
3. c) Escreve a proporção correta aplicando as relações de semelhança derivadas do teorema de Tales e determina a medida real do segmento $DE$.

Num parque urbano projeta-se um canteiro triangular $ABC$. No lado $AB$, que mede $15\text{ m}$, coloca-se um aspersor no ponto $M$, a $9\text{ m}$ de distância do vértice $A$. Traça-se uma tubagem secundária $MN$ paralela ao lado $BC$, de modo que o ponto $N$ fica situado sobre o outro lado, $AC$, cujo comprimento total é de $14\text{ m}$.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo exato, estima se o segmento $AN$ medirá mais ou menos do que a metade do lado $AC$ ($7\text{ m}$) e justifica entre que dois valores inteiros se deveria situar aproximadamente, observando que proporção representa $AM$ relativamente ao comprimento total de $AB$.
2. b) Aplica o teorema de Tales para calcular com exatidão o comprimento do segmento $AN$ e o do segmento restante $NC$.
3. c) Verifica se o valor obtido coincide com a tua estimativa inicial e argumenta por que razão a razão $\dfrac{AM}{MB}$ deve coincidir numericamente com a razão $\dfrac{AN}{NC}$.

Numa câmara escura, a luz entra por um pequeno orifício e projeta a imagem invertida de um objeto na parede do fundo. Se uma árvore de $4$ m de altura se encontra a $15$ m do orifício, calcule a altura da imagem projetada $h$ se a profundidade da câmara é de $0,3$ m.

Para medir a largura de um rio de margens paralelas, um topógrafo coloca três estacas $A, B$ e $C$ alinhadas por essa ordem numa das margens, situando $A$ mesmo em frente a uma árvore $T$ na margem oposta (de modo que o segmento $TA$ é perpendicular às margens), e uma quarta estaca $D$ tal que os pontos $T, B$ e $D$ estão alinhados. Sabendo que o segmento $TA$ é paralelo ao segmento $CD$, que $AB = 8$ m, $BC = 12$ m e a distância perpendicular de $D$ até ao rio é de $2$ m, calcula a largura do rio aplicando a semelhança de triângulos.

Uma rampa de acesso para cadeiras de rodas vence um desnível de $1,2$ m numa distância horizontal de $15$ m. Se se quiser colocar um suporte vertical intermédio quando a distância horizontal percorrida a partir do início da rampa for de $6$ m, qual deve ser a altura desse suporte?

Num jogo de ténis, um jogador bate na bola a uma altura de $2,4$ m. A bola viaja em linha reta, roça exatamente a fita superior da rede (que está a $0,9$ m de altura) e cai no campo adversário. Se a distância horizontal do jogador até à rede é de $12$ m, a que distância da rede a bola vai ressaltar?

Encontra o valor de $x$ aplicando o Teorema de Tales no diagrama seguinte, onde as três retas verticais são paralelas. Exprime o resultado como um número inteiro ou uma fração simplificada.

Durante um eclipse solar, a Lua interpõe-se exatamente entre a Terra e o Sol, bloqueando a sua luz. Sabendo que o diâmetro do Sol é de aproximadamente $1,4 \times 10^6$ km e que este se encontra a $1,5 \times 10^8$ km da Terra, e que a Lua está a $384000$ km da Terra, calcule o diâmetro aproximado da Lua usando a semelhança de triângulos.

Na estrutura de um telhado de duas águas, coloca-se um prumo vertical de reforço. A base do telhado mede $10$ m no total (do centro ao beiral há $5$ m). A altura máxima no centro é de $3$ m. Se o prumo é colocado a $1,5$ m do centro em direção ao beiral, qual deve ser o seu comprimento?

Na planta de ordenamento urbano de um município, duas avenidas retas partem de uma mesma rotunda $O$. Para ligar ambas as avenidas, a câmara municipal projeta três passadeiras retilíneas e paralelas entre si: Passadeira 1, Passadeira 2 e Passadeira 3.

Sobre a primeira avenida, a distância da rotunda $O$ até à Passadeira 1 é de $40\text{ m}$; a distância entre a Passadeira 1 e a Passadeira 2 é de $24\text{ m}$; e a distância entre a Passadeira 2 e a Passadeira 3 é de $32\text{ m}$.

Na segunda avenida, uma equipa de topografia mede que a distância total da rotunda $O$ até à Passadeira 3 é de exatamente $120\text{ m}$.

1. a) Modela a situação identificando que elementos geométricos correspondem às retas secantes e quais às retas paralelas do teorema de Tales.
2. b) Calcula o comprimento de cada um dos três troços em que a segunda avenida fica dividida pelas passadeiras (da rotunda à Passadeira 1, da Passadeira 1 à Passadeira 2, e da Passadeira 2 à Passadeira 3).
3. c) O regulamento municipal de acessibilidade recomenda que a distância entre duas passadeiras consecutivas não ultrapasse os $35\text{ m}$. Determina fundamentadamente se o troço entre a Passadeira 2 e a Passadeira 3 na segunda avenida cumpre a referida recomendação.

Pretende-se projetar a estrutura metálica de uma vidraça triangular delimitada por dois perfis secantes $r$ e $s$, unidos por três tirantes transversais horizontais paralelos $a$, $b$ e $c$. Estes tirantes determinam dois troços contíguos $AB$ e $BC$ sobre o perfil $r$, e dois troços contíguos $A'B'$ e $B'C'$ sobre o perfil $s$, cumprindo o teorema de Tales com uma razão de projeto pré-estabelecida de $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'} = \dfrac{2}{5}$.

1. a) Se o comprimento total do troço envidraçado sobre o primeiro perfil deve ser $AC = 35\text{ cm}$, deduz os valores exatos que devem ter os segmentos $AB$ e $BC$.
2. b) Para o segundo perfil $s$, propõe dois comprimentos inteiros distintos para $A'B'$ e $B'C'$ de modo que a sua soma total seja estritamente maior do que $60\text{ cm}$ e conservem com exatidão a proporção requerida.
3. c) Escreve uma expressão matemática geral que permita calcular diretamente o comprimento do segmento superior $A'B'$ em função do comprimento total $L = A'C'$ do perfil $s$, válida para qualquer estrutura que deva manter esta mesma proporção de projeto.

Num sistema de duas retas secantes cortadas por três retas paralelas, os segmentos da primeira secante medem $x$ e $x+3$. Na segunda secante, os segmentos correspondentes medem $x-2$ e $x$. Escreva a proporção, resolva a equação resultante e determine o valor dos quatro segmentos.

Um refletor de teatro ilumina um ator, projetando a sua sombra no pano de fundo. O refletor está ao nível do solo. O ator, de $1,80$ m de altura, caminha em direção ao pano de fundo. Quando está a $4$ m do refletor, a sua sombra mede $h_1$. Se caminha mais $2$ m em direção ao pano de fundo, a sua sombra mede $h_2$. Sabendo que a distância total do refletor ao pano de fundo é de $10$ m, calcule a diferença de altura entre as duas sombras projetadas ($h_1 - h_2$).

Num trapézio $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm e $CD = 15$ cm, traça-se um segmento $MN$ paralelo às bases, com $M$ em $AD$ e $N$ em $BC$. Sabemos que o segmento $MN$ divide os lados não paralelos na proporção $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcule o comprimento do segmento $MN$. (Dica: Trace uma paralela a um dos lados oblíquos a partir de um vértice.)

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um espelho plano é colocado no solo horizontal. Uma pessoa cujos olhos estão a $1,60$ m do solo posiciona-se a $1,20$ m do centro do espelho e vê exatamente refletida nele a antena de um edifício. Se a distância do espelho até à base do edifício é de $18$ m, e tanto a pessoa como o edifício são perpendiculares ao solo, qual é a altura total da antena a partir do solo?

Na estrutura de uma grua de torre, o braço principal forma um triângulo com os cabos tensores. A partir de um nó $A$ no braço principal traça-se um tirante vertical até ao braço inferior horizontal, medindo $3$ m. A partir de um nó $B$, situado $4$ m mais à frente no braço principal, traça-se outro tirante vertical que mede $4,5$ m. A que distância do nó $A$ se encontra o ponto de articulação (onde se unem os dois braços da grua)?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Duas retas paralelas distam entre si $H$. Dois segmentos transversais cruzam-se num ponto $P$ entre as paralelas, formando uma figura em forma de ampulheta. Os segmentos de uma das transversais medem $x$ e $x+5$, enquanto a base do triângulo superior mede $12$ cm e a base do triângulo inferior mede $27$ cm. Calcule o valor de $x$ e o comprimento total dessa transversal.

Para medir a altura de uma montanha inacessível sem usar trigonometria, um topógrafo utiliza duas hastes verticais de $2$ m de altura. Crava a primeira haste no solo e, deitando-se, alinha visualmente a ponta da haste com o topo da montanha. A distância do seu olho até à haste é de $1,5$ m. Depois recua $150$ m em linha reta, crava a segunda haste, e alinha novamente o seu olho com a ponta da haste e o topo. Desta vez, a distância do seu olho à haste é de $1,6$ m. Calcule a altura da montanha.

Demonstre, utilizando o recíproco do Teorema de Tales, que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado. Se o terceiro lado mede $L$, qual é o comprimento deste segmento em função de $L$? Argumente a sua resposta com base na semelhança de triângulos.

Numa estrutura triangular de madeira $ABC$, os lados laterais medem $AB = 15\text{ cm}$ e $AC = 20\text{ cm}$. Para a reforçar, coloca-se uma ripa interior $MN$ unindo um ponto $M$ do lado $AB$ a um ponto $N$ do lado $AC$, de forma que $AM = 6\text{ cm}$ (ficando $MB = 9\text{ cm}$) e $AN = 8\text{ cm}$ (ficando $NC = 12\text{ cm}$). Quer-se verificar se a ripa $MN$ ficou estritamente paralela à base $BC$.

• Método A: Verificar a igualdade de razões entre segmentos contíguos: $\dfrac{AM}{MB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{NC}$.

• Método B: Verificar a igualdade de razões entre o segmento parcial e o lado completo: $\dfrac{AM}{AB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{AC}$.

1. a) Aplica numericamente ambos os métodos e determina se a ripa $MN$ é paralela à base $BC$ de acordo com o recíproco do teorema de Tales.
2. b) Demonstra algebricamente que, se em qualquer triângulo se verificar a igualdade do Método A (chamando $AM = x$, $MB = a - x$, $AN = y$, $NC = b - y$), verifica-se necessariamente a igualdade do Método B, justificando por que razão ambos os critérios são matematicamente equivalentes.
3. c) Se a base mede $BC = 25\text{ cm}$ e se pretende calcular o comprimento da ripa $MN$, justifica qual dos dois métodos se relaciona diretamente com a semelhança de triângulos para calcular $MN$ e explica que erro conceptual cometeria quem tentasse calculá-lo a partir da proporção do Método A.

Uma parcela rústica de forma triangular $ABC$ confina com um canal de rega reto no lado $AC$ ($180\text{ m}$) e com um caminho reto no lado $AB$ ($150\text{ m}$). O terceiro limite, $BC$, mede $210\text{ m}$. Num projeto de reorganização, os técnicos traçam duas vedações divisórias retas, $D_1E_1$ e $D_2E_2$, ambas paralelas ao limite $BC$, situando os pontos $D_1$ e $D_2$ sobre o caminho $AB$ de modo que este fica dividido em três partes iguais de $50\text{ m}$ cada uma ($D_1$ mais próximo do vértice $A$).

1. a) Modela a posição das fixações $E_1$ e $E_2$ sobre o canal $AC$ calculando o comprimento dos três troços resultantes sobre esse limite através do teorema de Tales.
2. b) Calcula o comprimento exato de cada uma das duas vedações divisórias interiores ($D_1E_1$ e $D_2E_2$), justificando detalhadamente por que razão não se pode utilizar diretamente a razão de segmentos sobre os lados $\dfrac{AD_1}{D_1D_2}$ e que razão geométrica deve ser utilizada.
3. c) Um dos proprietários afirma: «Como as vedações dividem ambos os limites laterais em três partes de igual comprimento, a parcela inteira ficou dividida em três zonas de igual superfície». Determina fundamentadamente se esta afirmação é verdadeira ou falsa comparando a área do triângulo superior $AD_1E_1$ com a área do trapézio inferior delimitado por $D_2E_2$ e pelo limite $BC$ a partir da razão de semelhança.