Exercícios: Operações com monômios

Calcule o resultado da seguinte adição e subtração de monómios semelhantes:

$3x^2y - 5x^2y + \frac{1}{2}x^2y$

Multiplique os seguintes monómios e simplifique o resultado:

$(2ab^2) \cdot (-3a^2b) \cdot (4a)$

Realize a divisão dos seguintes monómios:

$\frac{-15x^4y^3z}{5x^2y}$

Calcule a potência do seguinte monómio:

$(-2x^3y^2)^4$

Identifica quais dos seguintes monómios são semelhantes e reduz a expressão:

$4m^3n - 2mn^3 + 5m^3n + mn^3$

Calcule o valor numérico do monómio $-3x^2y^3$ para os valores $x = 2$ e $y = -1$.

Encontra o monómio que falta na seguinte operação para que a igualdade seja verdadeira:

$7x^3 + (\dots) = -2x^3$

Determine por qual monómio se deve multiplicar $4x^2$ para obter como resultado $-20x^5$.

Numa aula do 4.º ano do Ensino Secundário (ESO), o Marcos tem de simplificar a seguinte operação combinada com monómios: $5x^3 + 3x^3 - (2x^2)^3$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento passo a passo:

• Passo 1: $5x^3 + 3x^3 = 8x^6$

• Passo 2: $(2x^2)^3 = 6x^5$

• Passo 3: $8x^6 - 6x^5 = 2x$

Realiza as seguintes tarefas:

1. a) Identifica os três erros cometidos pelo Marcos e explica, para cada um, que propriedade das operações com monómios (adição, potência ou subtração) aplicou de forma incorreta.
2. b) Corrige o exercício no teu caderno, resolvendo-o passo a passo de forma adequada e indicando a prioridade das operações que seguiste.

Uma empresa de energias renováveis projeta uma nova instalação fotovoltaica sobre o solo no Alentejo. Cada painel solar padrão tem uma largura de $x$ metros e um comprimento de $1,8x$ metros.

1. a) Calcula o monómio que expressa a área de um único painel solar em função da variável $x$.
2. b) O projeto inclui a colocação de uma fila contínua de $250$ painéis iguais. Obtém o monómio simplificado que representa a superfície total de captação dessa fila, multiplicando o número de painéis pelo monómio da área unitária.
3. c) O caderno de encargos técnicos exige deixar uma faixa de manutenção e refrigeração perimetral cuja superfície é dada pelo monómio $110x^2$. Justifica por que razão é possível somar a superfície de captação e a de manutenção num único monómio utilizando o conceito de monómios semelhantes, e determina o monómio que representa a superfície total ocupada pela instalação.

Efetue as seguintes operações combinadas com monómios, respeitando a hierarquia das operações:

$2x \cdot (3x^2)^2 - 5x^2 \cdot (x^3)$

Um terreno de forma retangular tem dimensões dadas por monómios. A sua base mede $4xy^2$ e a sua altura $3x^2y$. Expresse a área e o perímetro do terreno mediante expressões algébricas reduzidas.

Na física, a energia cinética de um corpo é calculada pela fórmula $E_c = \frac{1}{2} m v^2$. Se a massa de um veículo pode ser expressa como $m = 4x$ e a sua velocidade como $v = 3xy$, exprime a sua energia cinética como um monómio simplificado.

Realiza a seguinte operação combinada com monómios que incluem coeficientes fracionários e simplifica o resultado:

$\left( \frac{2}{3} a^2b \right)^3 : \left( \frac{4}{9} a^4b^2 \right)$

Um reservatório de água tem forma cilíndrica. O raio da sua base é $r = 2x^2$ e a sua altura é $h = 5xy$. Sabendo que o volume de um cilindro é $V = \pi r^2 h$, expresse o volume do reservatório como um monómio.

Uma empresa de tecnologia vende componentes eletrónicos. O preço de venda de cada componente é dado pelo monómio $P = 15x^2y$ euros. Se num mês conseguem vender uma quantidade de componentes equivalente a $Q = 4xy^3$, expresse a receita total da empresa como um monómio.

A base de um triângulo mede exatamente o triplo da sua altura $h$. Expresse a área desse triângulo como um monómio em função da variável $h$.

Subtraia o monómio $5a^3b^4$ do resultado de multiplicar os monómios $-2ab^2$ e $3a^2b^2$. Expresse o resultado final simplificado.

Para simplificar a expressão com monómios $\left(\frac{6x^4y^3}{2x^2y}\right)^3$, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método da Alba: Efetua primeiro o quociente de monómios que se encontra dentro dos parênteses e, em seguida, eleva o monómio resultante ao cubo.

• Método do Bruno: Aplica primeiro a propriedade da potência de uma fração, elevando o numerador e o denominador ao cubo (desenvolvendo as potências de monómios) e, finalmente, efetua a divisão dos monómios obtidos.

1. a) Resolve a expressão seguindo passo a passo o método proposto pela Alba.
2. b) Resolve a expressão seguindo passo a passo o método proposto pelo Bruno e verifica que ambos os resultados coincidem.
3. c) Compara ambos os caminhos avaliando a magnitude dos coeficientes numéricos e a dificuldade dos expoentes intermédios. Justifica qual dos dois métodos consideras mais conveniente para minimizar o risco de cometer erros de cálculo.

Uma cooperativa de olivicultores de Santarém armazena o azeite virgem extra em depósitos cilíndricos de aço. O volume de um depósito cilíndrico calcula-se através da fórmula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura. Nos seus modelos habituais, os engenheiros fixam um raio de $r = x$ metros e uma altura de $h = 2,5x$ metros (tomando a aproximação $\pi \approx 3,14$).

1. a) Multiplica os coeficientes e as potências da variável para obteres o monómio simplificado que representa o volume $V_1(x)$ de um depósito padrão.
2. b) Se o lagar dispuser de uma fileira de $8$ depósitos padrão, escreve o monómio simplificado que expressa a capacidade total de armazenamento dessa fileira.
3. c) Para aumentar a capacidade, a cooperativa encomenda um protótipo gigante no qual se duplica o raio da base ($r = 2x$) e se triplica a altura ($h = 7,5x$). Desenvolve o monómio que descreve o volume $V_2(x)$ do novo protótipo e calcula o quociente de monómios $\frac{V_2(x)}{V_1(x)}$ para determinar fundamentadamente a quantos depósitos padrão equivale exatamente um único depósito gigante.

Encontra o monómio $M(x,y)$ que satisfaz a seguinte equação algébrica:

$\frac{(3x^2y)^2 \cdot M(x,y)}{-2xy^3} = 18x^5y^2$

O design de um logótipo é formado por um quadrado externo de lado $4x^2y$ que contém no seu interior outro quadrado de lado $3x^2y$. Expresse a área da região compreendida entre ambos os quadrados (a zona sombreada) como um monómio simplificado.

Pretende-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma chapa de cartão retangular de dimensões $10x$ por $8x$. Para isso, recorta-se um quadrado de lado $x$ em cada um dos quatro cantos e dobram-se as abas para cima. Demonstre que o volume da caixa resultante é um monómio e calcule-o.

A lei da gravitação universal de Newton estabelece que a força de atração entre duas massas é $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Se a massa do primeiro corpo é $m_1 = 2x^2$, a do segundo é $m_2 = 8x^3$, e a distância que os separa é $d = 4x$, exprime a força $F$ como um monómio em função da constante $G$ e da variável $x$.

Demonstre algebricamente que, se tomar um cubo de aresta $2a^2$, elevar o seu volume ao quadrado e dividir o resultado pela área de uma das suas faces, obtém sempre um monómio. Calcule qual é esse monómio.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão encadeada com monómios, aplicando as propriedades das potências e as operações com monómios:

$\left[ \frac{(-2x^3y^2)^3 \cdot (x^2y)^2}{(4x^5y^3)^2} \right]^2$

Uma fábrica têxtil produz lotes de t-shirts. O custo de fabricar um lote de $N = 5x^2$ t-shirts é de $C = 20x^3$ euros por cada t-shirt. Posteriormente, vendem-se todas as t-shirts fabricadas a um preço de $V = 35x^3$ euros a unidade. Expresse o lucro total obtido pela fábrica (Receita menos Custos) como um monómio simplificado.

O volume de um cone é dado por $V_c = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ e o de uma esfera por $V_e = \frac{4}{3}\pi R^3$. Tem-se um cone cujo raio da base é $r = 2x$ e a sua altura é $h = 4x$. Por outro lado, tem-se uma esfera de raio $R = x$. Calcule a razão (o quociente) entre o volume do cone e o volume da esfera, demonstrando que o resultado é um número inteiro independente de $x$.

Uma estação de tratamento de águas residuais comarcal faz a gestão do tratamento de águas residuais através de um sistema de impulsão e filtragem. Os técnicos modelam o caudal tratado (em metros cúbicos por hora) através da seguinte operação combinada com monómios:

onde $x$ é a pressão de entrada em bar, $y$ é o diâmetro das condutas em decímetros e $M(x)$ é um monómio desconhecido que representa o rendimento do motor principal (que depende apenas da pressão $x$).

1. a) Para que a água circule a uma velocidade segura sem desgastar as membranas, os engenheiros estabelecem que o caudal resultante deve ser exatamente igual ao monómio $\frac{12x^5}{y}$ (ou expresso com expoente: $12x^5y^{-1}$). Aplica as regras do produto, da potência e do quociente de monómios para isolar e deduzir a expressão algébrica do monómio $M(x)$.
2. b) Indica qual é o coeficiente, a parte literal e o grau do monómio $M(x)$ obtido, e verifica que, ao substituí-lo na expressão original, se confirma a igualdade.
3. c) Se, devido a uma avaria, o motor for temporariamente substituído por outro cujo rendimento é dado pelo monómio $M'(x) = 4x^2$, calcula o quociente entre o caudal original calibrado e o novo caudal para justificar por que fator se reduz o ritmo de tratamento da água.

De acordo com dados técnicos da REN (Rede Elétrica Nacional) sobre energia eólica, a potência teórica em watts ($W$) gerada por um aerogerador é aproximada pelo monómio $P = 0,6 \cdot S \cdot v^3$, onde $S$ é a área circular de varrimento das pás ($S \approx 3,14 \cdot R^2$, sendo $R$ o comprimento de cada pá) e $v$ é a velocidade do vento incidente. Num parque eólico, o projeto dos moinhos estabelece pás com comprimento $R = 2x$ metros e uma velocidade média do vento modelada como $v = 1,5x$ metros por segundo.

1. a) Estima antes de calcular: Se, por condições atmosféricas ou de projeto, a variável de escala $x$ for multiplicada por $2$ (duplicar), por que fator aproximado pensas intuitivamente que a potência $P$ será multiplicada: por 2, por 4, por 8 ou por mais de 20? Justifica a tua estimativa prévia prestando atenção aos expoentes que afetarão a variável $x$ em cada fator da fórmula.
2. b) Efetua algebricamente todas as operações de potências e produtos com monómios que compõem a potência:

Escreve o monómio resultante arredondando o seu coeficiente às centésimas (duas casas decimais) e especifica o seu grau total.

1. c) Verifica e reflete: Utilizando o monómio obtido, calcula o quociente $\frac{P(2x)}{P(x)}$ substituindo algebricamente $x$ por $2x$. Compara o fator exato resultante com a estimativa que fizeste na alínea a) e explica que implicações práticas tem este resultado quanto à importância de instalar os aerogeradores em zonas com ventos ligeiramente mais intensos.