Exercícios: Produtos notáveis

Desenvolva o quadrado da seguinte soma utilizando o caso notável correspondente: $(4x + 7)^2$.

Desenvolva o quadrado da seguinte diferença aplicando o caso notável adequado: $(5a^2 - 2b)^2$.

Calcule o produto da soma pela diferença para a seguinte expressão: $(3m^3 + 8n)(3m^3 - 8n)$.

Fatorize o seguinte trinómio quadrado perfeito, expressando-o como o quadrado de um binómio: $x^2 + 14x + 49$.

Expressa o seguinte polinómio como o quadrado de uma diferença: $25y^2 - 60y + 36$.

Decomponha em fatores a seguinte diferença de quadrados: $81z^2 - 100w^6$.

Determine o termo que falta para que o seguinte polinómio seja um trinómio quadrado perfeito: $9x^2 - \dots + 64y^2$.

Aplique os casos notáveis para calcular mentalmente o valor exato de $53^2$ utilizando a expressão $(50 + 3)^2$.

A Maria está a calcular a superfície de uma chapa metálica quadrada cujo lado mede $(2x - 3)\text{ metros}$ e precisa de desenvolver a expressão algébrica para um relatório de oficina. No seu caderno, escreve o seguinte:

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$

1. a) Identifica os dois erros conceptuais que a Maria cometeu ao aplicar o caso notável.
2. b) Explica à Maria por que razão o desenvolvimento do quadrado de uma diferença deve dar como resultado um trinómio e não um binómio, baseando-te na propriedade distributiva.
3. c) Escreve o desenvolvimento correto e verifica que o teu resultado não coincide com o da Maria, substituindo $x = 4$ tanto na expressão inicial como em ambas as respostas.

Um lagar cooperativo em Santarém vai cobrir uma zona de descarga instalando painéis fotovoltaicos sobre uma cobertura retangular que mede exatamente $52\text{ m}$ de comprimento por $48\text{ m}$ de largura.

1. a) Sem utilizar calculadora nem papel, estima mentalmente a área arredondando ambas as medidas para $50\text{ m}$. Raciocina se esperas que a área real da cobertura seja maior, menor ou igual aos $2500\text{ m}^2$ que resultam dessa aproximação.
2. b) Escreve as dimensões como o produto de uma soma por uma diferença, $(50 + 2)\cdot(50 - 2)$, e calcula mentalmente a área exata aplicando o caso notável correspondente.
3. c) Comprova a tua estimativa inicial calculando a diferença entre o valor exato e o estimado. Por que razão essa diferença coincide exatamente com $2^2\text{ m}^2$?

Um arquiteto projeta uma praça quadrada de lado $3x + 5$ metros. No seu interior, coloca uma fonte também quadrada de lado $x - 2$ metros. Obtém o polinómio ordenado e reduzido que representa a área da zona transitável da praça.

Desenvolva a seguinte expressão algébrica com coeficientes fracionários e reduza os termos: $\left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{4}y\right)^2$.

Simplifique a seguinte fração algébrica fatorando previamente o numerador e o denominador mediante casos notáveis: $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$.

Uma empresa estima que, se fixar o preço de um produto em $150 + 3x$ euros, conseguirá vender $150 - 3x$ unidades. Determine o polinómio que modela a receita total e calcule a quanto corresponderá a receita se $x = 10$.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão combinada reduzindo os termos semelhantes: $(2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$.

Um terreno de cultivo tem forma circular com um raio de $R$ metros. Decide-se construir um caminho perimetral exterior de largura $x$ metros. Expresse a área do caminho em função de $R$ e $x$ desenvolvendo a expressão mediante casos notáveis.

Desenvolva o cubo da seguinte diferença aplicando a fórmula dos casos notáveis correspondente: $(2x - 3)^3$.

Sabendo que a soma de dois números é $S = x+y = 12$ e o seu produto é $P = xy = 35$, calcule o valor de $x^2 + y^2$ sem descobrir o valor individual de $x$ e $y$. (Sugestão: utilize o desenvolvimento de $(x+y)^2$).

O departamento de urbanismo de um município projeta uma zona de recreio infantil retangular cuja superfície é dada pelo polinómio $A(x) = 25x^2 - 36$, com as medidas expressas em metros e $x > \frac{6}{5}$.

1. a) Determina as expressões algébricas da base e da altura da referida zona infantil, fatorizando o polinómio através do caso notável adequado.
2. b) Numa segunda fase, decide-se transformar o recinto numa praça totalmente quadrada cuja área seja representada pelo trinómio $25x^2 + kx + 36$. Encontra o valor positivo do parâmetro $k$ para que este trinómio seja um quadrado perfeito e deduz a expressão do lado da praça em função de $x$.
3. c) Se para uma determinada fase de obras a área da zona retangular original for de $64\text{ m}^2$, calcula o valor numérico de $x$, as medidas dos seus lados e a área que terá a nova praça quadrada.

Dentro do plano de hortas urbanas comunitárias de Lisboa, parte-se de um terreno experimental quadrado de lado $x\text{ metros}$. Os técnicos de ambiente propõem duas alterações independentes a esse desenho:

• Horta A: Aumentar um lado em $4\text{ m}$ e encurtar o lado perpendicular em $4\text{ m}$, obtendo um recinto retangular de dimensões $(x + 4)$ e $(x - 4)$ metros.

• Horta B: Aumentar ambos os lados em $4\text{ m}$, obtendo uma parcela quadrada maior de lado $(x + 4)$ metros.

1. a) Desenvolve e reduz os polinómios que representam a área da Horta A e a área da Horta B aplicando os casos notáveis pertinentes.
2. b) Obtém o polinómio ordenado que exprima em quantos metros quadrados a superfície da Horta B supera a da Horta A.
3. c) Um porta-voz dos moradores assegura que a Horta A tem exatamente a mesma superfície que a horta original de lado $x$ porque «o que se acrescenta no comprimento tira-se na largura». Justifica algebricamente se esta afirmação é verdadeira ou falsa e determina quantos metros quadrados se ganham ou se perdem em relação ao terreno inicial.

Calcule o valor ou os valores do parâmetro $k$ para que o polinómio $49x^4 + kx^2y^3 + 144y^6$ seja um trinómio quadrado perfeito.

Dispõe-se de uma chapa de cartão quadrada de lado $L$ centímetros. Para construir uma caixa sem tampa, recortam-se quatro quadrados iguais de lado $x$ em cada canto e dobram-se as abas. Obtenha o polinómio que expressa a área da base da caixa e o polinómio que expressa o seu volume.

Demonstre algebricamente que a soma do quadrado da diferença de dois números com quatro vezes o seu produto é igual ao quadrado da soma desses números. Ou seja, desenvolva e simplifique para provar que $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$.

Fatorize completamente o polinómio $16x^4 - 81y^4$, aplicando o caso notável da diferença de quadrados tantas vezes quanto possível no conjunto dos números reais.

Simplifique a seguinte expressão algébrica, desenvolvendo primeiro os numeradores e fatorizando os denominadores: $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a-b}{4}$.

Demonstre que a diferença dos quadrados de dois números ímpares consecutivos é sempre um múltiplo de $8$. Utilize as expressões $2n+1$ e $2n-1$ para representar esses números.

Desenvolva e simplifique ao máximo a seguinte expressão aninhada: $\left( (x+2)^2 - (x-2)^2 \right)^2$.

Uma anilha mecânica tem a forma de uma coroa circular. O seu raio externo é dado pela expressão $R = 5x + 3$ milímetros, e o seu raio interno por $r = 5x - 3$ milímetros. Determine o polinómio reduzido que expressa a área da face plana da anilha.

Para calcular o valor numérico da expressão $E(x) = (2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$ quando $x = 12,5$, dois alunos do 4.º ano do ESO propõem estratégias distintas:

• Método do Marcos: Desenvolver o quadrado da soma e o quadrado da diferença de forma independente, subtrair ambos os trinómios agrupando termos semelhantes e, finalmente, substituir $x = 12,5$.

• Método da Sara: Considerar a expressão completa como uma diferença de quadrados da forma $A^2 - B^2$, transformá-la no produto de uma soma pela sua diferença, simplificar os fatores resultantes e substituir $x = 12,5$.

1. a) Aplica o método do Marcos indicando com clareza o tratamento dos sinais ao subtrair.
2. b) Aplica o método da Sara trabalhando a estrutura $[(2x + 5) + (2x - 5)]\cdot[(2x + 5) - (2x - 5)]$.
3. c) Compara ambos os procedimentos e justifica qual se revela mais vantajoso e seguro para evitar erros típicos de sinal. Explica como se manteria esta vantagem se as bases fossem polinómios mais compridos, por exemplo $(x^2 + 2x + 1)^2 - (x^2 + 2x - 1)^2$.

Num parque eólico do Alentejo, os protocolos técnicos estabelecem à volta de cada aerogerador uma zona de segurança com forma de coroa circular (a superfície plana compreendida entre duas circunferências concêntricas). O raio do círculo interior de exclusão de maquinaria é $R_1 = (2x - 3)\text{ metros}$ e o raio do círculo exterior que delimita o alcance das pás é $R_2 = (2x + 3)\text{ metros}$, com $x > 3$.

1. a) Apresenta a fórmula da área da referida coroa circular colocando o número $\pi$ em evidência: $A = \pi \cdot (R_2^2 - R_1^2)$.
2. b) Sem desenvolver cada quadrado separadamente, aplica o caso notável da diferença de quadrados para fatorizar $(R_2^2 - R_1^2)$ e obtém a expressão polinomial reduzida da área da coroa em função de $x$ e $\pi$.
3. c) Se a medição topográfica certificar que a área da referida coroa circular é exatamente $144\pi\text{ m}^2$, formula uma equação, calcula o valor de $x$ e determina o raio exterior $R_2$. Raciocina se um diâmetro de rotor de $2\cdot R_2 = 30\text{ m}$ é plausível para um aerogerador de média potência em Portugal.