Exercícios: Problemas com frações

Em uma turma do 3º ano do ESO, há 28 estudantes. Foi realizada uma pesquisa sobre suas preferências de lazer e descobriu-se que $\frac{3}{7}$ da turma prefere praticar esportes a assistir a séries.

Calcule quantos alunos preferem praticar desporto e quantos preferem ver séries, assumindo que todos escolheram uma das duas opções.

O teu telemóvel tem uma bateria de longa duração. Depois de o usares durante toda a manhã para ouvir música, observas que o indicador de bateria mostra que resta $25\%$ de carga, o que equivale à fração $\frac{1}{4}$.

Se o telemóvel indica que esse $\frac{1}{4}$ restante corresponde a 3 horas de uso:

1. a) Quantas horas de uso tem a bateria quando está carregada a $100\%$?
2. b) Quantas horas passaste a ouvir música?

Apoia-te no esquema visual a seguir para deduzires a resposta.

Dois amigos, Alex e Bea, estão a competir para ver quem completa primeiro os desafios semanais de uma app de idiomas. Na figura, cada barra completa representa o total de desafios.

• O Alex completou $\frac{2}{3}$ dos desafios.

• A Bea completou $\frac{5}{8}$ dos desafios.

Representa ambas as frações reduzindo-as ao mesmo denominador e determina: quem está a ganhar a competição atualmente?

Para a viagem de finalistas, os alunos estão a vender rifas.

• O grupo A vendeu $\frac{1}{3}$ do total das rifas.

• O grupo B vendeu $\frac{2}{5}$ do total.

• O grupo C vendeu o restante.

1. a) Calcule que fração do total de rifas foi vendida, no conjunto, pelo grupo A e pelo grupo B.
2. b) Que fração das rifas teve o grupo C de vender?

Depois de uma festa de aniversário, sobrou bolo. Ao observar a imagem, vemos que resta no prato $\frac{1}{4}$ do bolo original. Se o pedaço que sobrou pesa 300 gramas:

1. a) Quanto pesava o bolo inteiro antes de começar a festa?
2. b) Quantos gramas de bolo os convidados comeram?

Um streamer quer fazer uma transmissão em direto de 4 horas de duração. Planeou o tempo da seguinte maneira:

• Dedicará $\frac{1}{5}$ do tempo a conversar com o chat (Just Chatting).

• Dedicará $\frac{3}{4}$ do tempo a jogar o seu jogo preferido.

• O restante do tempo será usado para ver vídeos engraçados.

Calcule quantos minutos ele dedicará a cada uma das três atividades.

Um reservatório de água para a rega de uma horta escolar tem uma capacidade total de 1200 litros.

Durante uma semana muito quente, foram consumidos $\frac{5}{6}$ da água do reservatório.

1. a) Quantos litros de água foram gastos?
2. b) Representa graficamente a situação e calcula quantos litros restam no reservatório.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A Maria tem uma lista de reprodução de música com 120 músicas.

• $\frac{1}{2}$ das músicas são de Pop.

• $\frac{1}{3}$ das músicas são de Rock.

• O restante é de Música Eletrónica.

1. a) Quantas músicas são de Pop e quantas são de Rock?
2. b) Que fração do total representam as músicas de Música Eletrónica? (Lembra-te de simplificar o resultado, se possível).

O Marcos recebeu $60$ € de prenda pelo seu aniversário e planeia os seus gastos do fim de semana. No sábado gasta $\frac{1}{3}$ do dinheiro total na compra de um livro. No domingo decide gastar $\frac{1}{2}$ do que lhe sobrava num bilhete para um concerto. Para saber quanto dinheiro lhe sobra, o Marcos faz a seguinte operação: «Como gastei um terço e depois um meio, no total gastei $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ do meu dinheiro, por isso sobra-me $\frac{1}{6}$ de $60$ €, que são $10$ €».\na) Identifica o erro conceptual que o Marcos cometeu ao somar diretamente ambas as frações e explica por que razão $\frac{1}{2}$ não se refere à mesma quantidade de referência que $\frac{1}{3}$.\nb) Corrige o procedimento calculando, passo a passo, que fração do total real gastou no domingo, que fração do total lhe sobra no final e quanto dinheiro tem exatamente no bolso.

Uma praticante de caminhada realiza uma etapa de $30\text{ km}$ do Passadiço do Paiva, em Arouca. Durante a manhã percorre $\frac{3}{5}$ do trajeto total. À tarde, devido ao cansaço, só avança $\frac{1}{4}$ da distância que lhe faltava percorrer, momento em que decide parar para descansar até ao dia seguinte.\na) Antes de realizares os cálculos com quilómetros exatos, faz uma estimativa fundamentada: a praticante de caminhada percorreu no total mais ou menos de três quartos ($75\,\%$) da etapa completa? Justifica a tua previsão.\nb) Calcula com exatidão que fração do total da etapa percorreu à tarde e quantos quilómetros lhe faltam ainda para chegar ao fim.\nc) Verifica se a tua estimativa inicial da alínea a) estava correta calculando a diferença exata em quilómetros relativamente aos $75\,\%$ da etapa.

Imagina que tens um plano de dados móveis mensal. Durante a primeira semana do mês, consumiste $\frac{1}{3}$ do total dos teus dados a ver vídeos em streaming. Durante a segunda semana, gastaste $\frac{2}{5}$ do que sobrou a navegar nas redes sociais.

1. a) Que fração do total dos teus dados consumiste nestas duas semanas?
2. b) Se ainda restam 2 GB disponíveis para o resto do mês, quantos GB tinha inicialmente o teu plano?

Um grupo de estudantes está a organizar uma viagem de fim de ano. Para a financiar, decidem vender bilhetes para um sorteio. No primeiro mês, vendem $\frac{3}{8}$ do total de bilhetes. No segundo mês, fazem um esforço e vendem $\frac{2}{3}$ dos bilhetes que ainda faltavam vender.

1. a) Que fração do total de bilhetes ainda resta vender após o segundo mês?
2. b) Se no final sobraram 150 bilhetes por vender, quantos bilhetes tinham no início para o sorteio?

Numa fábrica de perfumes, há um reservatório grande com 24 litros de essência de lavanda. É preciso embalar todo o conteúdo em frascos pequenos para venda.

1. a) Se cada frasco tem uma capacidade de $\frac{3}{4}$ de litro, quantos frascos conseguem encher completamente?
2. b) Se mudarem de formato e usarem frascos menores de $\frac{3}{8}$ de litro, de quantos frascos precisarão agora? Explica a relação entre o resultado da alínea a) e o da alínea b).

Uma bola de borracha muito elástica é largada de uma certa altura. Devido à perda de energia, a cada ressalto ela sobe apenas $\frac{3}{5}$ da altura de que caiu no ressalto anterior.

Após ressaltar duas vezes (cai, ressalta, sobe, volta a cair, ressalta e sobe), a bola atinge uma altura de 54 cm.

1. a) Que fração da altura inicial representa a altura após o segundo ressalto?
2. b) De que altura inicial foi largada a bola?

Na final de um torneio de basquetebol, são comparadas as estatísticas de lances livres de dois jogadores. O jogador A acertou 12 dos 15 lances livres que lançou. O jogador B lançou 20 lances livres e acertou 17.

1. a) Escreva a fração de acertos de cada jogador e simplifique-as, se possível.
2. b) Reduza as frações ao mesmo denominador para determinar qual jogador teve melhor pontaria (maior proporção de acertos).
3. c) Se o jogador A tivesse lançado os mesmos 20 lances que o jogador B, mantendo a sua proporção de acerto, quantos cestos teria convertido?

Uma horta urbana comunitária de $600 m^2$ é dividida para cultivar diferentes hortaliças. Dedicam-se $\frac{1}{4}$ do terreno a tomates e $\frac{2}{5}$ do terreno a pimentos. O resto do terreno é dividido em partes iguais para plantar alfaces e cenouras.

1. a) Que fração do total da horta é dedicada a alfaces?
2. b) Quantos metros quadrados ocupa o cultivo de cenouras?

Estás a descarregar um videojogo novo que ocupa muito espaço no disco rígido. Quando a barra de descarregamento atinge $\frac{2}{7}$ concluídos, a tua ligação à internet vai abaixo. Ao voltar a ligar, o descarregamento continua e avança $\frac{3}{5}$ do que faltava descarregar.

1. a) Que fração do total do jogo foi descarregada após a segunda etapa?
2. b) Se ainda faltam 4 GB para terminar o descarregamento completo, quanto ocupa o videojogo no total?

Numa turma do 9.º ano, realiza-se uma votação para escolher o destino do passeio de fim de ano. $\frac{1}{3}$ dos alunos vota em ir a um parque de diversões. $\frac{2}{9}$ vota em ir à montanha. O resto da turma, composto por 12 alunos, vota em ir à praia.

1. a) Que fração da turma votou em ir à praia?
2. b) Quantos alunos há no total na turma?
3. c) Quantos alunos votaram no parque de diversões e quantos na montanha?

De acordo com os dados do boletim hidrológico do Ministério para a Transição Ecológica, uma albufeira peninsular acumulava uma determinada reserva de água no início da primavera. Ao longo da estação, as regas e o consumo urbano gastaram $\frac{3}{8}$ da água armazenada. Posteriormente, durante os meses de verão, evaporou-se $\frac{1}{5}$ da água que ainda restava na albufeira. Finalmente, para manter o caudal ecológico do rio, libertaram-se $20\text{ hm}^3$, ficando na albufeira um volume final de $60\text{ hm}^3$.\na) Modela a situação apresentando uma única expressão encadeada com operações de frações que represente a fração de água inicial que restava imediatamente antes de libertar o caudal ecológico.\nb) Determina de forma fundamentada quantos hectómetros cúbicos ($hm^3$) de água estavam armazenados na albufeira no início da primavera.\nc) Se a capacidade máxima absoluta da referida albufeira é de $250\text{ hm}^3$, a que percentagem da sua capacidade total se encontrava ao começar a primavera? Expressa o resultado sob a forma de fração irredutível e como percentagem.

Para organizar a biblioteca da escola, os alunos do 3.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (ESO) encarregam-se de catalogar um lote de livros recém-recebidos. Na segunda-feira catalogam $\frac{2}{7}$ do total de livros. Na terça-feira catalogam $\frac{3}{5}$ dos que faltavam registar. Na quarta-feira concluem o trabalho catalogando os últimos $40$ livros. Para descobrir quantos livros tinha o lote no total, duas alunas propõem caminhos diferentes:\n- A Lucía propõe calcular dia a dia a fração restante relativamente ao total multiplicando as frações que vão sobrando: $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$, e depois calcular a fração do total que representam os livros de quarta-feira.\n- A Sara propõe formular uma equação do primeiro grau chamando $x$ ao número total de livros: $\frac{2}{7}x + \frac{3}{5}\left(x - \frac{2}{7}x\right) + 40 = x$.\na) Resolve o problema aplicando o método aritmético de frações encadeadas da Lucía até encontrares o número total de livros.\nb) Resolve o problema aplicando o método algébrico da equação da Sara e verifica que se chega à mesma solução.\nc) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois te parece mais direto e com menor risco de cometer erros com os denominadores neste tipo de enunciados.

Um reservatório de água para a rega de uma horta ecológica é cheio por meio de duas torneiras. A torneira A, que tem um caudal maior, é capaz de encher o reservatório vazio em 4 horas. A torneira B, mais antiga e lenta, demora 6 horas a enchê-lo por completo. Um dia, o reservatório está vazio e o agricultor abre ambas as torneiras ao mesmo tempo, mas, após uma hora e meia (1,5 h), a torneira A avaria e deixa de deitar água.

Calcule que fração do reservatório falta encher nesse momento e quanto tempo a torneira B demorará, a trabalhar sozinha, a terminar de o encher.

Três amigos, Alex, Bea e Carlos, decidem comprar um presente em conjunto para um aniversário. Alex contribui com $\frac{2}{5}$ do preço total do presente. Bea decide colocar $\frac{3}{4}$ do que faltava pagar pelo presente após a contribuição de Alex. Finalmente, Carlos coloca os $15$ € restantes para completar o preço.

Determine:

1. a) Que fração do total Carlos pagou?
2. b) Qual era o preço total do presente?
3. c) Quanto dinheiro cada um dos outros dois amigos colocou?

Uma bola de basquetebol de competição é largada de uma certa altura. Devido à perda de energia, a cada ressalto a bola sobe até $\frac{2}{3}$ da altura da qual caiu no ressalto anterior. Depois de atingir o chão pela terceira vez, a bola sobe até uma altura de $56$ cm.

Calcule a altura inicial da qual a bola foi largada. Expresse o resultado em metros.

Estamos a preparar duas misturas de tinta para um mural de arte urbana.

• A Lata A contém uma mistura de $1\frac{1}{2}$ litros, onde $\frac{1}{3}$ é tinta azul e o resto é tinta branca.

• A Lata B contém $\frac{3}{4}$ de litro de uma mistura onde $\frac{2}{5}$ é tinta azul e o resto é branca.

Se despejarmos o conteúdo de ambas as latas num balde grande para criar uma mistura única:

1. a) Qual é o volume total de tinta que temos?
2. b) Que fração do volume total da nova mistura corresponde à tinta azul?

Um ciclista está a realizar uma etapa de montanha. Ele percorreu $\frac{3}{7}$ do trajeto total quando para para se reabastecer. Continua o seu trajeto e percorre $\frac{2}{5}$ do que faltava até chegar a um topo de montanha. Nesse ponto, consulta o seu GPS e vê que ainda faltam $18$ km para chegar à linha de meta.

Quantos quilómetros tem a etapa no total e quantos quilómetros percorreu ele no primeiro troço antes do reabastecimento?

Numa escola, está a ser organizada a viagem de fim de ano. Inicialmente, $\frac{1}{6}$ dos alunos do 9.º ano decidem não ir. Do resto dos alunos que estavam interessados, acabam por desistir $\frac{2}{15}$ porque as datas não são convenientes. Se no final vão à viagem $130$ alunos:

1. a) Que fração do total de alunos do 9.º ano foi finalmente à viagem?
2. b) Quantos alunos há no total no 9.º ano?
3. c) Quantos alunos desistiram devido às datas?

Um agricultor tem um terreno retangular. Dedica $\frac{2}{5}$ da superfície ao cultivo de trigo. Do terreno restante, utiliza $\frac{3}{4}$ para cultivar milho. O resto do terreno, que corresponde a $600\text{ m}^2$, é deixado em pousio (sem cultivar).

Sabendo que o terreno tem uma largura de $40$ metros, calcule o comprimento (a extensão) do terreno.

Uma famosa streamer de videojogos observa como diminuem as visualizações de um dos seus vídeos antigos ao longo do tempo.

No primeiro mês, o vídeo recebe uma certa quantidade de visualizações.

No segundo mês, as visualizações diminuem $\frac{1}{4}$ em relação ao mês anterior.

No terceiro mês, as visualizações diminuem $\frac{2}{5}$ em relação às que houve no segundo mês.

Se no terceiro mês o vídeo teve $10\,800$ visualizações.

Quantas visualizações o vídeo teve no primeiro mês?

Num complexo desportivo municipal analisa-se a inscrição dos seus sócios em três áreas exclusivas: natação, sala de musculação ou aulas de grupo.\nSão conhecidas as seguintes condições:\n1. Uma fração unitária $\frac{1}{n}$ (com $n$ inteiro maior que $1$) dos sócios pratica natação. Além disso, sabe-se que menos de metade dos sócios pratica esta modalidade e que $n$ é um número par.\n2. Dos restantes sócios, outra fração unitária $\frac{1}{m}$ pratica musculação.\n3. Os $180$ sócios que sobram frequentam aulas de grupo, o que representa exatamente $\frac{3}{8}$ do total de sócios do complexo.\na) A partir do dado das aulas de grupo, calcula o número total de sócios que o complexo desportivo tem.\nb) Formula a equação fracionária correspondente e deduz os únicos valores inteiros de $n$ e $m$ que tornam o problema coerente, demonstrando por que razão não pode haver outras soluções.\nc) Redige o «problema direto» inverso: escreve o enunciado completo tal como o apresentarias a um colega, utilizando os valores de $n$, $m$ e o total que obtiveste, de modo a que a incógnita a calcular sejam os $180$ sócios finais.

Duas cooperativas agrícolas alentejanas, OleoSul e MonteOlivo, obtiveram exatamente a mesma colheita em quilogramas de azeitona no início da campanha. Cada uma adota uma estratégia comercial diferente para vender a sua produção em duas fases:\n- A OleoSul vende em novembro $\frac{2}{5}$ da sua colheita total. Em janeiro vende $\frac{1}{3}$ do que lhe sobrava após a primeira venda.\n- A MonteOlivo vende em novembro $\frac{1}{3}$ da sua colheita total. Em janeiro vende $\frac{2}{5}$ do que lhe sobrava após essa primeira venda.\na) Antes de calcular quilos, vários sócios da MonteOlivo afirmam que a eles lhes sobrará mais azeitona para autoconsumo do que à OleoSul porque em novembro venderam uma fração menor do total ($\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$). Demonstra algebricamente que fração do total da sua colheita conserva cada cooperativa no final de janeiro e indica se essa afirmação é verdadeira ou falsa.\nb) Se à MonteOlivo sobraram exatamente $24\,000\text{ kg}$ de azeitona por vender, calcula quantos quilogramas colheu no total cada cooperativa e quantos quilos vendeu cada uma delas em novembro e em janeiro.\nc) A partir dos resultados obtidos, explica de forma fundamentada o seguinte aparente paradoxo: como é possível que a ambas as cooperativas lhes sobre exatamente a mesma quantidade final de azeitona se em nenhum dos dois meses venderam o mesmo número de quilogramas?

Desafio do tema. O prognóstico meteorológico é realmente fiável? Torna-te analista de dados climáticos consultando o site oficial do IPMA para o teu concelho.

1. Recolha de dados: Regista a probabilidade de precipitação prevista para os próximos $4$ dias. Transforma cada percentagem em fração irredutível e expressa-a também sob a forma decimal, identificando o tipo de dízima obtida.

2. Aproximação e erros: Regista as temperaturas máximas previstas (com decimais, se houver, ou dá-te ao trabalho de medir a temperatura real com um termómetro à mesma hora). Arredonda os valores às unidades e calcula o erro absoluto e o erro relativo cometidos em cada aproximação.

3. Cálculo de probabilidades: Supõe que a probabilidade de acerto diário da previsão é $p = \frac{4}{5} = 0,8$ e que o acerto de cada dia é independente do dos restantes. Utilizando as propriedades das potências de números racionais, calcula a probabilidade de acertar no prognóstico durante os $4$ dias consecutivos: $(\frac{4}{5})^4$. Compara o resultado fracionário e decimal.

4. Produto final: Reúne as tuas tabelas e cálculos numa folha de cálculo digital e redige uma breve conclusão argumentando a fiabilidade das previsões.

Será valorizado:

• Precisão na passagem entre frações e decimais.

• Correto cálculo e interpretação dos erros absoluto e relativo.

• Aplicação rigorosa de potências de racionais ao cálculo probabilístico.

• Organização, clareza e uso adequado da folha de cálculo.