Exercícios: Variável estatística

Um grupo de investigadores quer saber qual é o grupo de música favorito dos adolescentes portugueses entre os 12 e os 16 anos. Para isso, realizam um inquérito a 500 alunos de várias escolas de Lisboa. Indique:

1. a) A população objeto de estudo.
2. b) A amostra escolhida.
3. c) O indivíduo.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas:

1. a) A cor preferida da capa de um telemóvel.
2. b) O número de seguidores de uma conta do TikTok.
3. c) O tempo, em minutos, que demoras da tua casa até à escola.
4. d) A marca de ténis que os alunos da tua turma preferem.

Dentro das variáveis quantitativas, devemos distinguir entre discretas e contínuas. Indique de que tipo é cada uma das seguintes:

1. a) O número de primos que cada aluno tem.
2. b) A capacidade, em litros, das garrafas de água vendidas no bar da escola.
3. c) O número de mensagens de WhatsApp que recebe ao longo de um dia.
4. d) O peso das mochilas dos alunos do 9.º ano.

Relacione cada uma das seguintes situações com a natureza da sua variável estatística (Qualitativa, Quantitativa Discreta ou Quantitativa Contínua):

1. Os desportos praticados no pavilhão desportivo municipal.

2. A temperatura máxima diária registada na tua cidade durante o mês de julho.

3. O número de canais de televisão sintonizados numa casa.

Imagine que quer realizar um estudo sobre a quantidade de dinheiro que os jovens do seu bairro gastam semanalmente em lazer.

1. a) Que tipo de variável é "dinheiro gasto"?
2. b) Se no bairro vivem $1\,200$ jovens e pergunta a $60$, qual é a dimensão da amostra?
3. c) Seria representativo se perguntasse apenas aos jovens que estão à porta de um cinema num sábado à tarde? Justifique a sua resposta.

Para cada uma das seguintes perguntas de um inquérito, identifique se a resposta daria origem a uma variável qualitativa nominal, quantitativa discreta ou quantitativa contínua:

1. a) "Qual a aplicação de redes sociais que usas com mais frequência?"
2. b) "Quantas horas por dia (com decimais) passas a estudar?"
3. c) "Quantas vezes foste ao cinema no último mês?"
4. d) "Qual é o teu sistema operativo preferido (Android ou iOS)?"

Deseja-se realizar um estudo sobre o consumo de fruta numa escola. Determine se as seguintes amostras são aleatórias (escolhidas ao acaso e representativas) ou enviesadas:

1. a) Perguntar aos 25 primeiros alunos que chegam à escola de manhã.
2. b) Escolher ao acaso 5 alunos da lista de cada uma das turmas da escola.
3. c) Perguntar apenas aos alunos que estão a comprar comida no bar.
4. d) Sortear 50 números de matrícula entre todos os alunos da escola e perguntar aos respetivos portadores.

Observe a seguinte tabela de dados recolhidos sobre os hábitos de leitura de um grupo de estudantes e classifique cada coluna de acordo com o tipo de variável estatística que representa:

Nome do aluno	Livros lidos por ano	Género favorito	Tempo médio de leitura (h)
Beatriz	$12$	Fantasia	$0,5$
Marcos	$4$	Ficção Científica	$1,2$
Inês	$0$	Não lê	$0$

1. a) Livros lidos por ano.
2. b) Género favorito.
3. c) Tempo médio de leitura diário.

O Marcos realizou um pequeno inquérito aos seus colegas de turma para um trabalho de Matemática sobre hábitos de vida e de lazer. No seu relatório preliminar, classificou as seguintes quatro variáveis:

1. Código postal do domicílio: «Quantitativa contínua, porque é formado por um número de cinco algarismos e pode tomar valores muito altos».

2. Número da camisola do seu desportista preferido: «Quantitativa discreta, porque é sempre um número inteiro sem decimais».

3. Tempo diário dedicado ao uso do telemóvel: «Quantitativa discreta, porque ao perguntar às pessoas todas respondem com números inteiros de minutos, como $45$ ou $60$ minutos».

4. Nível de satisfação com as instalações desportivas do bairro (Baixo, Médio, Alto): «Qualitativa».

Identifica os erros conceptuais que o Marcos cometeu, argumenta por que razão a sua justificação é incorreta em cada caso e escreve a classificação correta e completa das quatro variáveis.

A equipa diretiva da tua escola quer levar a cabo um estudo estatístico sobre a mobilidade sustentável e os hábitos de transporte da comunidade escolar. Desenha tu mesmo o questionário do estudo cumprindo exatamente as seguintes condições:

1. a) Redige uma pergunta cuja resposta seja uma variável qualitativa nominal (sem qualquer ordem hierárquica natural).
2. b) Redige uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa discreta, esclarecendo que elemento concreto está a ser contado.
3. c) Redige uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa contínua, indicando a unidade física de medida que será utilizada.
4. d) Define com precisão qual é a população completa do estudo, qual é um indivíduo concreto e propõe uma dimensão de amostra razoável se na escola estiverem matriculados $750$ estudantes no total.

Uma equipa de investigadores quer realizar um estudo sobre o consumo de bebidas energéticas entre os adolescentes de uma cidade de $50\,000$ habitantes. Para isso, selecionam $250$ alunos entre $12$ e $18$ anos de diferentes escolas e perguntam-lhes quantas latas consumiram na última semana.

Identifique os seguintes elementos do estudo estatístico:

1. a) A população em estudo.
2. b) A amostra escolhida.
3. c) O indivíduo.
4. d) A dimensão da amostra.
5. e) A variável estatística e o seu tipo.

Na tabela seguinte apresentam-se várias variáveis recolhidas num inquérito realizado num clube de e-sports. Classifique cada uma delas em qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua:

Variável	Tipo de Variável
Jogo eletrónico favorito
Horas semanais de treino
Número de periféricos (teclado, rato...) que possui
Marca do monitor utilizado
Velocidade da ligação à internet (Mbps)
Posição no ranking mundial

Para conhecer a opinião dos cidadãos sobre a construção de uma nova ciclovia no centro da cidade, um jornal local realiza um inquérito à porta de uma loja especializada em ciclismo de montanha.

1. a) Considera que a amostra escolhida é representativa da população da cidade? Justifique a sua resposta.
2. b) Existe algum tipo de enviesamento nesta escolha? Explique porquê.
3. c) Proponha um método de amostragem mais adequado para que os resultados sejam fiáveis.

Numa escola há $600$ alunos matriculados. Pretende-se extrair uma amostra representativa de $60$ alunos por meio de uma amostragem estratificada por anos de escolaridade para realizar um estudo sobre hábitos de leitura. A distribuição por anos é a seguinte:

• $1º$ ano: $180$ alunos.

• $2º$ ano: $160$ alunos.

• $3º$ ano: $140$ alunos.

• $4º$ ano: $120$ alunos.

Calcule quantos alunos de cada ano se deveriam escolher para que a amostra mantenha a proporcionalidade da população.

Um biólogo está a medir o crescimento de uma espécie de feto numa estufa. Ao fim de um mês, anota as alturas (em cm) de $20$ exemplares. Os dados obtidos são uma variável quantitativa contínua. O histograma mostra as alturas agrupadas em intervalos de $5$ cm.

1. a) Explica a diferença entre uma variável quantitativa discreta e uma contínua usando este exemplo.

1. b) Se os dados se agruparem em intervalos como $[10, 15), [15, 20), [20, 25)$..., qual seria a marca de classe do segundo intervalo?

1. c) Que valor representa a marca de classe nos cálculos estatísticos?

Realiza-se um estudo sobre a qualidade do ar em diferentes pontos de uma região. Para isso, instalam-se estações de medição que registam a concentração de partículas $PM_{10}$ (em $\mu g/m^3$).

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta:

1. a) A variável "concentração de partículas" é qualitativa porque indica a qualidade do ar.
2. b) Se medirmos a concentração em $15$ pontos escolhidos ao acaso, o indivíduo é cada um desses pontos de medição.
3. c) O número de habitantes das zonas onde se mede é uma variável quantitativa contínua.
4. d) A variável "nível de contaminação" com valores (Baixo, Médio, Alto) é uma variável qualitativa ordinal.

Uma câmara municipal quer saber o número de animais de estimação que existem nos lares de um bairro recém-construído onde vivem $1\,200$ famílias. Para não perguntar a todos, decidem enviar um inquérito às $120$ famílias que moram nos primeiros endereços da lista alfabética de ruas.

1. a) Indique qual é a população e qual é a amostra.
2. b) Este é um método de amostragem aleatória simples? Porquê?
3. c) Identifique a variável e diga de que tipo é.
4. d) Se na amostra $15\%$ das famílias não têm animal de estimação, quantas famílias do bairro se estima que tenham pelo menos um animal de estimação?

Imagina que trabalhas no departamento de marketing de uma plataforma de streaming de música. Queres investigar a relação entre a idade dos utilizadores e o estilo de música que mais ouvem.

Para isso, crias uma base de dados com os seguintes campos para cada utilizador:

1. Idade (anos completos).

2. Minutos diários de audição.

3. Género musical preferido (Pop, Rock, Trap, Outros).

4. Grau de satisfação com o serviço (de $1$ a $5$).

1. a) Classifica cada uma das quatro variáveis anteriores (qualitativa ou quantitativa; e, dentro de cada tipo, nominal ou ordinal, discreta ou contínua).

1. b) Explica que tipo de gráfico (diagrama de barras, diagrama de setores ou histograma) achas que seria mais adequado para representar os dados da variável "Género musical preferido" e porquê. Indica também se algum dos três não seria adequado e justifica a resposta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) dispõe de estações automáticas de medição distribuídas por todo o país. Durante um episódio de onda de calor em julho, uma equipa de analistas recolhe dados às $16:00\text{ h}$ de $45$ estações selecionadas no Alentejo para estudar o impacto das temperaturas extremas. De cada estação anotam-se os seguintes dados:

• O distrito onde se localiza.

• A temperatura do ar registada à sombra (em $^{\circ}\text{C}$, com precisão de décimas).

• O número de rajadas de vento superiores a $40\text{ km/h}$ registadas nas últimas três horas.

• A altitude acima do nível do mar a que a estação está instalada (em metros).

• O nível do aviso meteorológico em vigor emitido para essa zona (Verde, Amarelo, Laranja, Vermelho).

1. a) Identifica a população do estudo, a amostra selecionada, a dimensão da amostra e o indivíduo.
2. b) Classifica cada uma das cinco variáveis registadas em qualitativa (especificando se é nominal ou ordinal) ou quantitativa (especificando se é discreta ou contínua).
3. c) Justifica se faria sentido substituir este estudo amostral por um recenseamento completo e argumenta uma vantagem e um inconveniente que teria a realização de tal recenseamento.

Numa escola secundária com $800$ estudantes ($200$ do $1.^{\circ}$ ano do ESO, $200$ do $2.^{\circ}$, $150$ do $3.^{\circ}$, $150$ do $4.^{\circ}$ e $100$ do Ensino Secundário pós-obrigatório), o Conselho Escolar quer averiguar o grau de satisfação com o menu e os preços do bar da escola para decidir se renova o contrato do serviço. Dispõem de tempo e orçamento para inquirir $80$ estudantes.

Propõem-se três métodos de amostragem:

• Método A: Entrevistar os primeiros $80$ alunos que estejam na fila do bar na próxima segunda-feira durante o intervalo.

• Método B: Deixar uma urna com boletins na portaria e pedir pelo sistema de som que compareçam para votar voluntariamente $80$ pessoas.

• Método C: Obter a lista oficial da escola e selecionar por sorteio aleatório $20$ alunos do $1.^{\circ}$ ano, $20$ do $2.^{\circ}$, $15$ do $3.^{\circ}$, $15$ do $4.^{\circ}$ e $10$ do ensino secundário.

1. c) Se o bar apenas fosse utilizado por alunos do $3.^{\circ}$, $4.^{\circ}$ e ensino secundário, a população definida inicialmente continuaria a ser adequada? Redefine a população para esse caso.

Um programador de videojogos está a analisar o comportamento dos jogadores numa fase Beta. Para otimizar o desempenho, regista os seguintes dados de cada utilizador:

1. O nome do servidor ao qual se ligam (Norte, Sul, Leste, Oeste).

2. O código identificador único da conta (um número de 8 algarismos).

3. O tempo de resposta ou ping medido em milissegundos.

4. O número de vezes que o jogador premiu o botão de "pausa" numa hora.

5. O nível de satisfação do utilizador, pontuado como: "Muito insatisfeito", "Insatisfeito", "Neutro", "Satisfeito" ou "Muito satisfeito".

Raciocina e classifica cada uma das variáveis anteriores. Presta especial atenção à variável número 2: o facto de ser um número implica que seja uma variável quantitativa? Justifica a tua resposta.

Uma empresa de entregas quer melhorar a sua eficiência. Para isso, define a população como "todos os pacotes enviados em Espanha durante um ano". Como é impossível estudá-los todos, selecionam uma amostra de 500 pacotes.

De cada pacote anotam: peso em kg, volume em $m^3$, distrito de destino e número de tentativas de entrega.

1. a) Identifique a população, a amostra e os indivíduos do estudo.
2. b) Classifique as variáveis registadas.
3. c) Se dos 500 pacotes da amostra, 450 foram recolhidos apenas numa agência de uma zona nobre de Lisboa, podemos dizer que a amostra é representativa para tirar conclusões sobre o serviço em todo o país? Justifique a sua resposta usando o conceito de viés estatístico.

Num laboratório de biologia, estuda-se o crescimento de uma colónia de bactérias. O investigador decide registar a temperatura da cultura a cada hora. A temperatura pode assumir valores como $36,42 ^\circ C$, $36,45 ^\circ C$, etc. No entanto, para simplificar o relatório final, o investigador agrupa os resultados em três categorias: "Frio" (menos de $30 ^\circ C$), "Ótimo" (entre $30 ^\circ C$ e $40 ^\circ C$) e "Excesso de calor" (mais de $40 ^\circ C$).

1. a) Que tipo de variável é a temperatura medida originalmente?
2. b) Que tipo de variável é a que finalmente aparece no relatório após agrupar os dados?
3. c) Perdeu-se informação neste processo? Explique qual a vantagem e qual o inconveniente que traz a realização desta transformação do ponto de vista estatístico.

Imagina que queres realizar um estudo estatístico sobre o uso de redes sociais entre os adolescentes da tua cidade. Deves elaborar um inquérito que contenha exatamente:

1. Uma variável qualitativa nominal.

2. Uma variável qualitativa ordinal.

3. Uma variável quantitativa discreta.

4. Uma variável quantitativa contínua.

Redige uma pergunta para cada caso que seja realista e útil para o teu inquérito. Explica porque é que cada pergunta corresponde ao tipo de variável solicitado.

Uma câmara municipal quer saber o grau de aceitação de uma nova norma de trânsito. Para isso, colocam um posto de informação à porta de uma escola às 9:00 da manhã e perguntam aos 100 primeiros adultos que passam por ali.

1. a) Defina a população em estudo.
2. b) Descreva a amostra selecionada.
3. c) Analise criticamente o método de seleção da amostra. Considera que todos os cidadãos tiveram a mesma probabilidade de ser escolhidos? Proponha um método de amostragem aleatória estratificada que seja mais justo para este estudo.

Frequentemente, as variáveis quantitativas contínuas são apresentadas como discretas devido à precisão dos instrumentos de medição. Um sensor de precisão mede a espessura de chapas de aço produzidas numa fábrica. O sensor mostra valores como $2,00$ mm, $2,01$ mm, $2,02$ mm...

1. a) Embora o sensor mostre apenas duas casas decimais, porque é que a espessura é considerada uma variável quantitativa contínua e não discreta?
2. b) Se a fábrica produz 10 000 chapas por dia e o controlo de qualidade decide medir apenas as chapas fabricadas entre 12:00 e 12:15, a amostra será representativa da produção total do dia? Justifica a tua resposta mencionando possíveis fatores que poderiam variar ao longo do dia de trabalho.

Realiza-se um estudo sobre a saúde auditiva dos jovens. Mede-se a intensidade do volume a que ouvem música com auscultadores (em decibéis, dB).

A figura mostra o intervalo em que se encontram os valores medidos e o limiar de 85 dB que fixa a equipa médica.

1. Classifica a variável "Intensidade do som em dB".

2. Se os valores obtidos oscilam entre $65,4$ dB e $105,9$ dB, explica porque não faria sentido tratar esta variável como uma variável qualitativa nominal.

3. A equipa médica decide que, se a intensidade ultrapassar os $85$ dB, o risco é "Alto", e se for inferior, o risco é "Baixo". Classifica esta nova variável "Risco auditivo".

Uma plataforma de streaming analisa os dados dos seus subscritores para melhorar as suas recomendações. Classifique as seguintes variáveis que o seu algoritmo utiliza:

1. a) Tempo total (em segundos) que um utilizador permanece a ver um vídeo antes de o fechar.
2. b) Tipo de dispositivo utilizado (Smart TV, Smartphone, Tablet, PC).
3. c) Número de vezes que um utilizador partilhou uma ligação da plataforma no último mês.
4. d) Classificação média dos filmes vistos (de 1 a 5 estrelas, permitindo meias estrelas como 3,5).
5. e) Posição que uma série ocupa no "Top 10" das mais vistas no país.

Discuta se a variável (d) poderia ser considerada contínua ou discreta dependendo de como os dados originais são recolhidos (votos individuais vs. média calculada).

De acordo com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), a estrutura demográfica por idades de um município de $30\,000$ habitantes divide-se em: menores de $18$ anos ($18\,\%$), adultos de $18$ a $64$ anos ($62\,\%$) e pessoas de $65$ ou mais anos ($20\,\%$). O pelouro da mobilidade encomenda uma sondagem na rua com uma dimensão de amostra de $n = 300$ pessoas para estimar a frequência semanal com que os munícipes utilizam a ciclovia.

Antes de realizar o trabalho de campo, o técnico estima que uma amostra de $300$ pessoas será plenamente representativa desde que reflita proporcionalmente as três faixas etárias do município. Os inquiridores realizam as entrevistas num dia útil, uma terça-feira, entre as $10:00$ e as $12:30$ da manhã na praça central da localidade, obtendo uma amostra com os seguintes participantes reais: $12$ menores de $18$ anos, $114$ pessoas entre os $18$ e os $64$ anos, e $174$ pessoas de $65$ ou mais anos.

1. a) Realiza a verificação matemática: calcula quantos indivíduos de cada grupo etário deveriam ter formado a amostra de $300$ pessoas para que representasse fielmente a população do município segundo os dados do INE.
2. b) Verifica a composição percentual da amostra que realmente se obteve e determina que grupo populacional está severamente sobrerrepresentado e qual está sub-representado.
3. c) Justifica detalhadamente que fatores da conceção da recolha de dados (horário, dia e localização) provocaram este desvio e, supondo que as pessoas com $65$ ou mais anos utilizam a ciclovia com menos frequência do que os restantes munícipes, justifica se a variável objeto de estudo («frequência de utilização da ciclovia») ficará sobrestimada ou subestimada relativamente à realidade do município.

Uma equipa de sociologia da educação quer investigar os hábitos digitais dos jovens de entre $12$ e $16$ anos de uma região que conta com $120\,000$ pessoas nessa faixa etária. Antes de iniciar a recolha de dados surgem dois debates metodológicos:

Debate 1: Definição operacional da variável

• A investigadora A propõe perguntar: «Quantas horas inteiras dedicas por dia aos ecrãs? (Opções fechadas: $1$, $2$, $3$, $4$ ou mais de $4$)».

• O investigador B propõe solicitar aos participantes que consultem o registo da aplicação de 'Bem-estar digital' do seu telemóvel e anotem o tempo total exato de ecrã do dia anterior, registado em minutos e segundos (por exemplo, $194\text{ min } 35\text{ s}$).

Classifica rigorosamente o tipo de variável estatística que gera cada proposta. Argumenta qual das duas opções traz maior precisão matemática e que perda de informação ou distorção sofre o estudo se for adotada a proposta de A.

Debate 2: Escolha do método de amostragem

Dispõe-se de recursos para inquirir $600$ jovens. Consideram-se duas opções:

• Opção 1: Lançar uma campanha patrocinada nas redes sociais com um formulário web aberto, interrompendo o inquérito assim que forem atingidas as $600$ respostas recebidas.

• Opção 2: Selecionar por sorteio $15$ escolas secundárias da região garantindo que haja estabelecimentos públicos e com contrato de associação, de âmbito rural e urbano, e escolher em cada um $40$ estudantes ao acaso das listas de matrícula.

Compara ambas as opções analisando os três requisitos de uma amostra representativa: seleção aleatória, cobertura de grupos relevantes e controlo das não respostas. Justifica qual das duas opções deve ser escolhida.