Exercícios: Razão

Numa rede social, um vídeo de um influencer conseguiu $450$ "gostos" após ser visualizado por $3000$ pessoas. Calcule a razão entre o número de "gostos" e o número de visualizações, simplifique o resultado e interprete o que significa o valor obtido.

Uma loja de videojogos oferece um pacote de $3$ capas para comandos por $12,60$ €. Exprime a razão entre o preço e o número de capas. Como chamaríamos habitualmente a esse resultado na linguagem quotidiana?

Calcule a razão entre a base e a altura do ecrã do seguinte tablet e explique se o resultado seria o mesmo se o tablet fosse duas vezes maior mantendo a mesma forma.

Num teste de Matemática com $20$ questões, a Beatriz respondeu corretamente a $15$ e errou $5$. Escreve a razão entre:

1. a) O número de respostas certas e o número de respostas erradas.
2. b) O número de respostas certas e o total de questões.

Indica em cada caso qual é o antecedente e qual é o consequente.

Para preparar uma mistura de tinta de cor laranja, um artista utiliza $3$ latas de tinta vermelha por cada $2$ latas de tinta amarela.

1. a) Exprime a razão entre a tinta vermelha e a amarela.
2. b) Se ele quiser manter o mesmo tom e utilizar $6$ latas de tinta amarela, quantas latas de vermelha precisará?

Uma trotinete elétrica percorre $12$ quilómetros em $30$ minutos. Calcule a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto (expresso em horas). Que grandeza física representa essa razão?

Num treino de basquetebol, o João encestou $8$ lançamentos em $12$ tentativas, enquanto a Paula encestou $6$ em $9$ tentativas.

1. a) Escreve a razão de acertos de cada um.

1. b) Verifica se as duas razões formam uma proporção. Quem tem melhor pontaria?

Dada a razão $\frac{4}{5}$, inventa um contexto real para adolescentes (por exemplo, relacionado com cinema, roupa ou desporto) em que essas quantidades sejam utilizadas e explica o seu significado. Indica quais são as grandezas que estão a ser comparadas.

Numa turma do 2.º ano do Ensino Básico há $12$ raparigas e $18$ rapazes. O Marcos afirma em voz alta: «A razão entre raparigas e rapazes é $\dfrac{12}{30}$, que ao simplificar fica $\dfrac{2}{5}$, o que significa que por cada $2$ raparigas há $5$ rapazes na nossa turma».

1. a) Deteta e explica o erro conceptual que o Marcos cometeu ao construir os termos da razão. Que grandeza colocou ele no denominador, na verdade?
2. b) Escreve a razão correta entre raparigas e rapazes, simplifica-a até obteres uma fração irredutível e interpreta por palavras tuas o que significa o resultado neste contexto.
3. c) Se na escola vizinha se mantiver exatamente essa mesma razão entre raparigas e rapazes e soubermos que há $24$ rapazes, quantas raparigas há nessa escola? Escreve a proporção correspondente e calcula o valor desconhecido.

Numa oficina de doçaria artesanal de Évora elabora-se maçapão tradicional utilizando unicamente amêndoa moída e açúcar. O mestre pasteleiro indica que a razão entre a massa de amêndoa e a massa de açúcar deve ser exatamente de $3$ para $2$ (ou seja, $\dfrac{3}{2}$).

1. a) Propõe duas combinações distintas de quantidades de amêndoa e açúcar (em gramas) que respeitem exatamente essa razão, de modo que a massa total da mistura não ultrapasse em nenhum caso os $600\text{ g}$.
2. b) Se tiveres um pacote fechado de $450\text{ g}$ de amêndoa moída e quiseres utilizá-lo por completo sem que sobre nada, que quantidade exata de açúcar deves adicionar para manter a proporção? Apresenta a proporção formal antes de isolar a incógnita.
3. c) Um aprendiz afirma que misturando $350\text{ g}$ de amêndoa com $250\text{ g}$ de açúcar se mantém a proporção porque «somou $50\text{ g}$ a cada ingrediente em relação à mistura de $300\text{ g}$ e $200\text{ g}$». Justifica matematicamente através de razões por que motivo o seu raciocínio é erróneo.

Numa plataforma de streaming, um moderador contabilizou que nos últimos $45$ minutos surgiram $1350$ mensagens no chat da transmissão.

1. a) Calcule a razão entre o número de mensagens e o tempo decorrido em minutos.
2. b) Explique o que significa o resultado obtido no contexto do problema.
3. c) Se a razão se mantiver constante, quantas mensagens serão recebidas numa hora completa?

Para uma festa de fim de ano, os alunos estão a comparar duas ofertas de pacotes de batatas fritas para ver qual é mais económica. A marca "Crunch" oferece um pacote de $250$ g por $1,75$ €, enquanto a marca "Snack" vende um pacote de $400$ g por $2,60$ €.

1. a) Calcule a razão entre o preço e o peso (em euros por grama) para cada marca.
2. b) Utilizando as razões obtidas, indique qual das duas marcas é mais barata.

Um designer gráfico está a trabalhar com dois formatos de imagem. O primeiro formato tem dimensões de $12$ cm de largura e $18$ cm de altura. O segundo formato tem $20$ cm de largura e $30$ cm de altura.

1. a) Calcule a razão entre a largura e a altura para cada um dos formatos.
2. b) Estas dimensões são proporcionais? Justifique a sua resposta comparando as razões.

Para obter um tom de tinta verde-oliva, um pintor mistura latas de tinta branca, amarela e preta. A razão entre a quantidade de tinta amarela e tinta branca é de $3/4$, e a razão entre a tinta preta e a amarela é de $1/5$.

Se para uma divisão ele utilizou $2$ litros de tinta branca:

1. a) Quantos litros de tinta amarela ele necessitou?
2. b) Qual é a razão entre a tinta preta e a tinta branca nesta mistura?

Num treino de basquetebol, a Beatriz acertou $18$ dos seus $30$ lançamentos ao cesto, enquanto o Marcos acertou $14$ dos seus $20$ lançamentos.

1. a) Calcule a razão de acertos (lançamentos convertidos em relação ao total de lançamentos) de cada jogador na forma de número decimal.
2. b) Qual dos dois jogadores teve melhor rendimento no treino?

Foi construída uma maquete de um novo centro desportivo municipal. O edifício real tem um comprimento total de $75$ metros, enquanto na maquete essa mesma distância mede $30$ centímetros.

1. a) Calcule a razão entre a medida da maquete e a medida real (lembre-se de expressar ambas na mesma unidade).
2. b) Qual é a escala utilizada na maquete?

A densidade populacional é a razão entre o número de habitantes de um território e a sua superfície expressa em $km^2$. Observe os dados destas duas regiões fictícias:

• Região A: $450\,000$ habitantes e $15\,000$ $km^2$.

• Região B: $280\,000$ habitantes e $7\,000$ $km^2$.

1. a) Calcule a densidade populacional de cada região e interprete o resultado.
2. b) Qual das duas regiões está mais "povoada" em relação ao seu tamanho?

Numa escola, a razão entre o número de alunos e o número de professores é de $18$.

1. a) Explique, numa frase, o que significa este valor da razão.
2. b) Se na escola há atualmente $32$ professores, quantos alunos estão inscritos?
3. c) Se para o próximo ano se espera que o número de alunos aumente para $630$, quantos professores deveria haver para manter a mesma razão?

Numa etapa de média montanha da Volta a Portugal analisam-se duas contagens de montanha:

• O Alto do Carvalho tem uma extensão horizontal de $6\text{ km}$ e vence um desnível acumulado de $420\text{ m}$.

• O Alto das Várzeas tem uma extensão horizontal de $9\text{ km}$ e vence um desnível acumulado de $540\text{ m}$.

(A razão entre o desnível em metros e a distância em quilómetros determina a exigência média da subida em $\text{m/km}$).

1. a) Antes de calculares qualquer quociente exato, arredonda mentalmente os dados e estima de forma fundamentada qual das duas subidas achas que é mais inclinada (maior razão desnível/distância). Explica em que reparaste para formular a tua estimativa.
2. b) Calcula com precisão a razão entre o desnível e a distância para cada subida, expressando o resultado como número decimal. Verifica se a tua estimativa inicial estava correta.
3. c) A organização quer desenhar um novo troço de ligação de $5\text{ km}$ com a mesma razão desnível/distância que o Alto do Carvalho. Formula a proporção e calcula quantos metros de desnível deve ter esse troço. Avalia se o resultado obtido é coerente com as inclinações da etapa.

Segundo os dados do Padrón Municipal publicados pelo Instituto Nacional de Estadística (INE), a província de Soria conta com cerca de $90\,000$ habitantes numa superfície aproximada de $10\,300\text{ km}^2$, enquanto a província de Pontevedra conta com cerca de $945\,000$ habitantes numa superfície de cerca de $4500\text{ km}^2$.

1. a) Modela matematicamente esta situação apresentando a razão que define a densidade populacional (número de habitantes por quilómetro quadrado) para cada uma das duas províncias. Calcula o seu valor decimal arredondando às décimas.
2. b) Interpreta o significado real de ambos os valores decimais: o que representa esse número na vida quotidiana e na distribuição espacial dos habitantes de cada província?
3. c) Se uma comarca do interior de Pontevedra tiver uma superfície de $350\text{ km}^2$ e mantiver exatamente a mesma densidade média provincial, quantos habitantes residem nela? Apresenta a proporção formal $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ e calcula a incógnita através da propriedade dos produtos cruzados.

Numa oficina de pintura artística, estão a ser criadas duas tonalidades da cor verde-esmeralda misturando tinta azul e amarela. A Mistura A contém $5$ partes de tinta azul para cada $3$ de tinta amarela. A Mistura B utiliza $8$ partes de tinta azul para cada $5$ de tinta amarela.

1. a) Determine a razão entre o azul e o amarelo em ambas as misturas, expressando-a na forma de número decimal.

1. b) Se quisermos que o mural seja o mais "azulado" possível, qual mistura deveríamos escolher? Justifique a sua resposta comparando as razões.

1. c) Se na Mistura A decidirmos adicionar mais $2$ partes de cada cor, a razão inicial mudará? Justifique matematicamente.

Um designer de videojogos está a comparar dois monitores para a sua nova estação de trabalho. O primeiro monitor tem um formato "panorâmico padrão" com uma razão entre a sua largura e a sua altura de $16:9$. O segundo é um monitor "ultrapanorâmico" com uma razão de $21:9$.

1. a) Se ambos os monitores têm exatamente a mesma altura de $36$ cm, qual é a diferença entre as suas larguras?

1. b) Calcule a razão entre a área do monitor ultrapanorâmico e a área do monitor padrão. Exprima o resultado como uma fração irredutível.

Num mapa de alta precisão dos Pirenéus, a escala vem indicada como uma razão de $1:50\thinspace000$. Um caminhante mede no mapa a distância entre dois abrigos e obtém $14,2$ cm. No entanto, ao consultar uma aplicação digital, observa que a distância real é de $7,5$ km.

1. a) Calcule a razão real (escala) que existe entre a medida do mapa e a medida da aplicação digital.

1. b) Qual é o erro, em centímetros, que o mapa apresenta em relação à distância da aplicação?

Uma empresa de entregas utiliza drones para distribuir pacotes. Sabe-se que a razão entre o peso do pacote ($P$, em kg) e o consumo de bateria ($B$, em % por quilómetro) segue uma relação constante de $1,5 : 0,4$.

1. a) Se um pacote pesa $4,5$ kg, qual será o consumo de bateria por cada quilómetro percorrido?

1. b) Se um drone dispõe de apenas $12\%$ de bateria restante e deve realizar um envio a $5$ km de distância, qual é o peso máximo (razão peso/distância) que poderia transportar para chegar exatamente ao destino?

Num estudo sobre arquitetura bioclimática, analisa-se a razão entre a superfície das janelas e a superfície total das paredes de uma divisão para otimizar a luz natural. Numa divisão de $25$ $m^2$ de paredes, há duas janelas: uma de $120$ cm $\times$ $150$ cm e outra circular de $80$ cm de raio.

1. a) Calcule a razão entre a superfície total envidraçada e a superfície das paredes. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

1. b) Se a recomendação ideal é uma razão de $1:5$, quantos $m^2$ de vidro sobram ou faltam para a cumprir?

O "índice de massa corporal" (IMC) é a razão entre a massa de uma pessoa ($m$, em kg) e o quadrado da sua altura ($h$, em metros), ou seja, $IMC = \frac{m}{h^2}$.

1. a) Se um atleta de $1,80$ m tem um IMC de $22,5$, qual é a sua massa?

1. b) Se outro atleta pesa $85$ kg e mede $1,92$ m, calcule o seu IMC. Qual é a razão entre o IMC do segundo atleta e o do primeiro? Exprima o resultado com duas casas decimais.

Pretende-se construir uma maqueta de um arranha-céus. A razão de semelhança entre a maqueta e o edifício real é de $1:250$.

1. a) Se a superfície da base do edifício real é de $1\thinspace200$ $m^2$, qual é a razão entre a superfície da base da maqueta e a do arranha-céus real?

1. b) Calcule a área da base da maqueta em centímetros quadrados. (Atenção: lembre-se de que a razão das superfícies é o quadrado da razão dos comprimentos).

Numa competição de tiro com arco, a pontuação de um arqueiro é analisada por meio da razão entre "setas no centro" e "total de setas lançadas".

• O Arqueiro A obteve uma razão de $7:12$ em $48$ lançamentos.

• O Arqueiro B obteve uma razão de $5:8$ em $40$ lançamentos.

1. a) Qual dos dois arqueiros teve uma maior eficácia? Justifique comparando as razões através do denominador comum.

1. b) Se o Arqueiro A quiser igualar a razão de eficácia do Arqueiro B na sua próxima ronda de $24$ setas, quantas dessas novas setas deverá acertar obrigatoriamente no centro?

Para verificar se duas razões formam uma proporção (ou seja, se $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$), podem utilizar-se três métodos distintos:

• Método 1 (Valor decimal): Calcular o quociente decimal de cada razão e verificar se coincidem.

• Método 2 (Fração irredutível): Simplificar ambas as razões dividindo pelo seu máximo divisor comum e comparar as frações irredutíveis.

• Método 3 (Produtos cruzados): Verificar se se verifica a igualdade $a \cdot d = b \cdot c$.

Apresentam-se dois pares de razões obtidas ao comparar o consumo de combustível de diferentes veículos:

• Par A: $\dfrac{7}{13}$ e $\dfrac{21}{39}$

• Par B: $\dfrac{1200}{1800}$ e $\dfrac{1400}{2100}$

1. a) Para o Par A, aplica o Método 1 e o Método 3. Explica por que razão o Método 1 pode gerar dúvidas ao arredondar dízimas infinitas periódicas, enquanto o Método 3 garante uma resposta exata.
2. b) Para o Par B, compara o esforço de cálculo entre o Método 2 e o Método 3 se tivesses de o resolver à mão sem calculadora. Justifica qual dos dois é claramente mais rápido e seguro nesse caso.
3. c) Estabelece uma conclusão fundamentada: em que condições convém escolher o método dos produtos cruzados e em quais é preferível simplificar para a fração irredutível?

No serviço de urgência de um hospital regional, a direção médica estabelece que a razão ótima entre o número de doentes em espera e o número de médicos de serviço deve ser, no máximo, de $8$ para $1$ (ou seja, uma razão de $\dfrac{8}{1}$).

Numa noite com grande afluência de doentes há $78$ pessoas a aguardar atendimento na sala e apenas $6$ médicos de serviço.

1. a) Modela a situação calculando a razão atual de doentes por médico sob a forma de número decimal. Interpreta o resultado obtido e determina se o serviço cumpre a recomendação ou se a equipa se encontra sobrecarregada.
2. b) Se ao longo dessa noite não for possível integrar nenhum médico adicional, quantos doentes, no máximo, deveriam estar em espera para que a razão fosse exatamente a recomendada de $8:1$? Quantos doentes teriam de ser reencaminhados para outros centros de saúde para o conseguir?
3. c) Supõe que durante a madrugada chegam novos doentes e o total de pessoas em espera sobe para $96$. Para responder à situação com maior qualidade assistencial, a direção fixa uma nova razão mais exigente de $6$ doentes por médico. Apresenta uma equação a partir da proporção $\dfrac{96}{6 + x} = \dfrac{6}{1}$ para calcular quantos médicos de reforço ($x$) devem ser chamados imediatamente, e explica cada passo da resolução.