Exercícios: Planos e escala

Num mapa rodoviário de Portugal, a escala indicada é $1:250\,000$. Se utilizares uma régua para medir a distância entre duas cidades e obtiveres exatamente $8\text{ cm}$, quantos quilómetros separam essas duas cidades na realidade?

Pretende-se fazer um desenho no caderno de uma nova tablete gráfica. A tablete tem um comprimento real de $30\text{ cm}$. Se for utilizada uma escala de redução de $1:3$, quanto medirá de comprimento o desenho no caderno?

Um grupo de arqueólogos desenhou um vaso antigo num papel. No desenho, o vaso mede $15\text{ cm}$ de altura. Se sabemos que o vaso real tem uma altura de $75\text{ cm}$, qual é a escala que os arqueólogos utilizaram?

Na planta de uma casa realizada na escala $1:100$, o quarto principal aparece representado como um retângulo que mede $4\text{ cm}$ de comprimento e $3\text{ cm}$ de largura. Calcule as dimensões reais do quarto expressas em metros.

Um colecionador de carros em miniatura tem um modelo na escala $1:24$. Se o comprimento da miniatura é de $18\text{ cm}$, quanto medirá o carro real em metros?

Ao observar uma escala gráfica num mapa de trilhos na qual um segmento de $1\text{ cm}$ equivale a $500\text{ metros}$ na realidade, se o percurso a ser feito mede $12\text{ cm}$ no mapa, quantos quilómetros serão percorridos no total?

Um biólogo fotografa uma pequena formiga-rainha utilizando uma escala de ampliação de $5:1$. Se na fotografia a formiga mede $45\text{ mm}$ de comprimento, qual é o seu tamanho real em milímetros?

Num folheto de um centro desportivo, desenhou-se um campo de basquetebol na escala $1:200$. Se o campo real mede $28\text{ metros}$ de comprimento, quantos centímetros medirá o comprimento do campo no desenho do folheto?

O Marcos está a desenhar na aula de Tecnologia a planta do seu quarto à escala $1:50$. Ao medir com a régua a parede principal onde colocará a cama, anota um comprimento de $7,2\text{ cm}$. De seguida, realiza a seguinte operação para calcular a medida na realidade: $7,2 \cdot 50 = 360$, e conclui no seu caderno: «A parede do meu quarto mede $360\text{ metros}$ de comprimento».

1. Explica fundamentadamente por que motivo o resultado a que o Marcos chega não tem sentido físico para uma habitação.

2. Identifica o erro concreto de unidades ou conceito que ele cometeu ao interpretar a escala.

3. Corrige o seu procedimento e determina o comprimento real correto da parede expresso em metros.

Estás a planear um percurso pedestre pela Serra da Estrela utilizando um mapa topográfico à escala $1:40\,000$. Com uma régua, medes uma distância de $7,5\text{ cm}$ em linha reta entre duas lagoas.

1. Estima: Sem utilizar calculadora nem realizar multiplicações complexas com decimais, faz uma estimativa mental prévia. Sabendo que à escala $1:40\,000$ cada centímetro equivale a algo menos de meio quilómetro ($0,4\text{ km}$), a distância real estará mais perto de $1\text{ km}$, de $3\text{ km}$ ou de $10\text{ km}$? Explica em que te baseias.

2. Calcula: Aplica as relações de escala para encontrar o valor exato da distância real em quilómetros.

3. Verifica: Contrasta o cálculo com a tua estimativa inicial e argumenta se uma pessoa a caminhar a um ritmo constante de $4\text{ km/h}$ demoraria mais ou menos de uma hora a percorrer esse trajeto em linha reta.

Num mapa de caminhada da Serra da Estrela, a escala indicada é $1:25\,000$. Se a distância medida com uma régua entre a Torre e o Covão d'Ametade for de $12,4$ cm sobre o papel, quantos quilómetros reais um grupo de caminhantes terá de percorrer para ir de um ponto a outro em linha reta?

Uma jovem arquiteta está a projetar um novo skate park para a sua cidade. Na planta técnica, a pista principal de saltos tem um comprimento de $15$ cm. Se o parque vai ser construído numa escala de $1:150$, calcule o comprimento real da pista em metros.

Foi decidido mudar a decoração do quarto e quer-se desenhar uma planta à escala $1:20$ para ver se cabe uma nova secretária. Se o quarto for retangular e medir $4,2$ metros de comprimento por $3,4$ metros de largura, quais serão as dimensões (comprimento e largura) que o retângulo terá no desenho, expressas em centímetros?

Na maqueta de uma famosa torre de comunicações, a altura da réplica é de $85$ cm. Se sabemos que a altura real da torre é de $255$ metros, determine a escala numérica simplificada na qual a maqueta foi construída.

Um mapa rodoviário tem uma escala gráfica na qual um segmento de $2$ cm representa uma distância real de $15$ km. Se a distância entre duas cidades nesse mapa é de $9,4$ cm, qual é a distância real em quilómetros entre ambas as cidades?

Um biólogo observa uma formiga através de um microscópio. No seu desenho técnico, a formiga tem um comprimento de $12$ cm. Se a escala do desenho é de ampliação $25:1$, qual é o comprimento real da formiga, expresso em milímetros?

A planta de um campo de futebol municipal está desenhada na escala $1:400$. Na planta, a área ocupada pelo relvado é um retângulo de $25$ cm de comprimento por $15$ cm de largura. Calcule a área real do campo de futebol em metros quadrados.

Há dois mapas diferentes da mesma região. No Mapa A, a distância entre duas aldeias é de $6$ cm e a escala é $1:50\,000$. No Mapa B, a distância entre essas mesmas aldeias é de $15$ cm. Calcule qual é a escala numérica do Mapa B.

O departamento de Desporto de um município vai editar um folheto informativo com a planta de um campo polidesportivo regulamentar ao ar livre. As dimensões reais do campo são $40\text{ m}$ de comprimento por $20\text{ m}$ de largura. No modelo de impressão reservaram um retângulo fechado de $12\text{ cm}$ de comprimento por $8\text{ cm}$ de largura para inserir a referida planta. O designer só pode escolher entre quatro escalas padrão normalizadas: $1:200$, $1:300$, $1:400$ e $1:500$.

1. Analisa cada escala e determina qual é a maior escala (a de maior nível de detalhe) que permite desenhar o campo na íntegra dentro do retângulo sem ultrapassar nenhuma das suas margens.

2. Com a escala adequada que selecionaste, calcula as dimensões exatas (comprimento e largura) que terá o retângulo desenhado no papel, em centímetros.

3. Quantos centímetros de margem livre sobrarão ao longo do comprimento e da largura dentro do retângulo do folheto?

Através do portal eletrónico do Cadastro, uma cooperativa agrícola de Évora consulta uma parcela de olival retangular representada num mapa à escala $1:5\,000$. No ecrã, o retângulo da propriedade mede $8\text{ cm}$ de comprimento e $5\text{ cm}$ de largura.

1. Modela matematicamente a situação e calcula as dimensões reais da propriedade (comprimento e largura) expressas em metros.

2. Obtém a área real total da parcela expressa em metros quadrados ($\text{m}^2$) e converte-a para hectares ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

3. Os relatórios agronómicos da zona indicam um rendimento médio de $4\,200\text{ kg}$ de azeitona por hectare, e sabe-se que no lagar se obtém $20\,\%$ do seu peso em azeite virgem extra. Calcula quantos quilogramas de azeite prevê produzir a cooperativa com a colheita dessa parcela.

Um drone de vigilância florestal percorre uma rota retangular sobre um parque natural. No centro de controlo, os técnicos visualizam a rota num ecrã digital onde a escala é $1:50\,000$. Nesse ecrã, o retângulo mede $12\text{ cm}$ de comprimento e $8\text{ cm}$ de largura. No entanto, para o relatório impresso, devem reduzir o mapa de modo que o comprimento da rota meça apenas $4\text{ cm}$.

Calcule:

1. A área real do parque natural em quilómetros quadrados ($\text{km}^2$).

2. A escala numérica que o mapa do relatório impresso deve ter.

Estás a projetar a tua própria "Gaming Room" numa planta à escala $1:40$. No desenho, o quarto tem uma superfície de $75\text{ cm}^2$. Viste uma secretária profissional que ocupa uma superfície real de $1,28\text{ m}^2$ e uma cadeira que ocupa $0,6\text{ m}^2$.

Se decidires colocar a secretária e duas cadeiras iguais, que superfície real ficará livre no quarto? Expressa o resultado em metros quadrados ($\text{m}^2$).

Num mapa rodoviário de Portugal com escala $1:2\,500\,000$, a distância medida com uma régua entre Lisboa e Faro é de $14,2\text{ cm}$. Um camião de entregas sai de Lisboa às $08:00\text{ h}$ e viaja em direção a Faro a uma velocidade média de $90\text{ km/h}$.

A que horas se espera que chegue ao seu destino se parar meia hora a meio do caminho para descansar?

Uma aplicação de mapas num smartphone mostra uma zona da cidade. Quando o zoom está no nível A, a escala é $1:15\,000$ e a distância entre duas estações de metro é de $6\text{ cm}$. Se for feito "zoom out" até que a escala seja $1:50\,000$ (nível B):

1. Qual será a distância, em centímetros, entre essas mesmas estações no ecrã?

2. Se o ecrã do telemóvel tiver uma área de $80\text{ cm}^2$, quantos quilómetros quadrados reais de superfície urbana estão a ser visualizados no nível B?

Um arquiteto construiu uma maquete de um novo auditório em escala $1:250$. O volume total da maquete é de $0,64\text{ dm}^3$.

Sabendo que a massa volúmica dos materiais reais é diferente, mas o volume se mantém proporcional ao cubo da escala, calcule o volume real do auditório em metros cúbicos ($\text{m}^3$).

(Nota: Lembre-se de que se a escala de comprimento for $k$, a escala de volume será $k^3$).

A planta de uma piscina municipal está desenhada numa escala tal que uma das suas paredes, que mede $25\text{ metros}$ na realidade, está representada por um segmento de $12,5\text{ cm}$. Na planta, o fundo da piscina tem uma área de $120\text{ cm}^2$.

Pretende-se cobrir o fundo real com azulejos quadrados de $20\text{ cm}$ de lado. Quantos azulejos será necessário comprar?

Um mapa antigo perdeu a sua indicação de escala numérica. No entanto, mostra uma escala gráfica em que um segmento que mede $3,5\text{ cm}$ no papel representa uma distância real de $17,5\text{ quilômetros}$.

1. Determine a escala numérica do mapa.

2. Se dois povoados estão separados no mapa por $12\text{ cm}$, quantas horas levará um ciclista para ir de um ao outro a uma velocidade constante de $24\text{ km/h}$?

Foi feita uma fotocópia de uma planta original que estava na escala $1:200$. Devido a um erro na configuração, a fotocópia saiu reduzida a $75\%$ do seu tamanho original.

Na fotocópia, a sala do imóvel mede $6\text{ cm}$ de comprimento.

1. Qual é a escala real da fotocópia em relação à realidade?

2. Qual é o comprimento real da sala em metros?

O departamento de urbanismo tem a planta de uma futura praça pedonal à escala $1:200$. Na referida planta, a praça ocupa uma área de $64\text{ cm}^2$. Para uma exposição local, precisam de desenhar uma ampliação da mesma praça num painel à escala $1:50$. Dois desenhadores discutem sobre qual é o método mais conveniente para descobrir a área que a praça ocupará no novo painel:

• Método A (Passagem pela realidade): Calcular a área real da praça em $\text{m}^2$ a partir da primeira planta e da sua escala ($1:200$) e, a partir desse dado real, deduzir a área que ocupará no painel à escala $1:50$.

• Método B (Razão direta de áreas): Comparar diretamente as duas escalas observando que $200 \div 50 = 4$ (os comprimentos no painel quadruplicam) e aplicar diretamente a relação entre áreas multiplicando a área inicial por $4^2 = 16$.

• Resolve o problema aplicando o Método A passo a passo, indicando a área real em $\text{m}^2$ e a área final no painel em $\text{cm}^2$.

• Resolve o problema aplicando o Método B e verifica se ambos os resultados coincidem exatamente.

• Compara ambos os procedimentos: qual deles reduz o risco de cometer erros com as mudanças de unidade e qual seria imprescindível se nos pedissem também para orçamentar o custo de pavimentar a praça real?

Durante um período de temperaturas elevadas, a Proteção Civil monitoriza um incêndio florestal ativo através de uma aplicação de emergência configurada à escala $1:25\,000$. No mapa tático, a zona ardida aproxima-se de um trapézio com bases de $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, e uma altura de $4\text{ cm}$.

1. Calcula a área ocupada pelo incêndio no mapa em $\text{cm}^2$ e, recorrendo à relação quadrática de escalas ($\text{Área real} = \text{Área na planta} \cdot k^2$), calcula a área real ardida expressa diretamente em hectares ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$). Justifica o fator de conversão utilizado.

2. No mesmo mapa tático, a frente de avanço que as brigadas terrestres devem combater mede um segmento de $12\text{ cm}$. O comando solicita a impressão de uma ficha de mão para as equipas numa folha plastificada cujo espaço útil máximo disponível é de $15\text{ cm}$. Se for obrigatório utilizar uma escala técnica normalizada $1:k$ em que $k$ seja um múltiplo exato de $5\,000$ ($1:15\,000$, $1:20\,000$, $1:25\,000$, $1:30\,000$...), determina qual é a escala de máximo detalhe (menor valor de $k$) que permite representar essa frente completa sem ultrapassar os $15\text{ cm}$ e calcula o comprimento exato que terá essa frente na ficha.

Desafio do tema. Planeia a remodelação do teu quarto!

1. Planta e escala: Mede com uma fita métrica as dimensões reais do teu quarto. Desenha a sua planta à escala $1:50$ (à mão ou com o GeoGebra) e calcula a razão entre a superfície real e a do desenho.

2. Orçamento e rendimento: Procura num site comercial o preço de uma lata de tinta. Sabendo que $2$ latas cobrem $15,5\text{ m}^2$ aplicando $2$ demãos com $4$ horas de trabalho, calcula através de uma regra de três composta quantas latas e horas precisarias para pintar o teto do teu quarto (com a mesma área da planta) com $3$ demãos. Aplica ao custo final um desconto de $10\%$ e adiciona-lhe os $21\%$ de IVA.

3. Repartição e modelação: Numa folha de cálculo, tabula e constrói o gráfico da função de proporcionalidade inversa $t = k/n$ (tempo despendido em função do número $n$ de pessoas a pintar). Por último, simula o financiamento da despesa total através de uma repartição diretamente proporcional entre dois familiares consoante as suas idades.

Apresenta um relatório breve com a planta, a tabela com o gráfico e os cálculos detalhados.

Avaliar-se-á:

• Precisão no cálculo da escala, da razão e no traçado da planta.

• Correção e rigor na regra de três composta e no tratamento de percentagens.

• Representação adequada da função inversa e resolução da repartição proporcional.

• Clareza expositiva e apresentação dos dados no relatório.