Exercícios: Notação científica

Para que um número esteja corretamente expresso em notação científica, deve ter um único algarismo diferente de zero antes da vírgula decimal.

Indique quais dos seguintes números estão escritos corretamente em notação científica:

1. a) $12,5 \cdot 10^4$
2. b) $3,07 \cdot 10^8$
3. c) $0,95 \cdot 10^3$
4. d) $7 \cdot 10^{11}$

A baleia-azul é o maior animal do planeta e pode chegar a pesar cerca de $180\,000$ quilogramas. Escreva essa quantidade em notação científica.

Expressa em notação decimal (escrevendo todos os seus algarismos) as seguintes distâncias astronómicas dadas em notação científica:

1. a) Distância até à Lua: $3,84 \cdot 10^5$ km
2. b) Distância até ao Sol: $1,5 \cdot 10^8$ km

Um famoso influencer atingiu a marca de $2,4 \cdot 10^6$ seguidores na sua conta principal. Se na conta secundária tem $850\,000$ seguidores, quantos seguidores tem no total? Expresse o resultado final em notação científica.

Complete no seu caderno com o sinal $>$ (maior que) ou $<$ (menor que) comparando estes números em notação científica:

1. a) $4,2 \cdot 10^5$ ____ $1,8 \cdot 10^6$
2. b) $9,5 \cdot 10^3$ ____ $9,45 \cdot 10^3$
3. c) $3 \cdot 10^7$ ____ $2,99 \cdot 10^7$

Um computador realiza aproximadamente $5 \cdot 10^9$ operações por segundo. Quantas operações realizará num minuto ($60$ segundos)? Exprime o resultado em notação científica.

A velocidade da luz no vácuo é de $300\,000$ quilómetros por segundo. Se um raio de luz demora $100$ segundos a atingir um alvo, qual é a distância que percorreu? Expresse o resultado utilizando notação científica.

Numa reta numérica graduada de forma regular representam-se os números $2$, $3$ e $4$. Cada unidade está dividida em dez partes iguais através de marcas secundárias. Identifica que números decimais correspondem aos pontos marcados com as letras $A$ (situado na quinta marca entre $2$ e $3$) e $B$ (situado na quinta marca entre $3$ e $4$):

A Irene tem de calcular o produto $(4 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^3)$ e dar o resultado final em notação científica. No seu caderno escreveu o seguinte desenvolvimento:

Quando o professor lhe perguntou como tinha obtido o último passo, a Irene raciocina: «Como $20$ não é menor do que $10$, divido a mantissa por $10$ para que seja $2$, e para compensar, subtraio $1$ ao expoente, obtendo $10^7$».

1. a) Explica fundamentadamente qual é o erro na justificação da Irene sobre a compensação do expoente.
2. b) Escreve a correção completa do exercício, justificando o que deves fazer realmente com o expoente para que o valor numérico não se altere.

Consideram-se dois números, $A$ e $B$, expressos em notação científica: $A = 2,5 \cdot 10^n$ e $B = b \cdot 10^4$.

Sabendo que o seu produto é exatamente $A \cdot B = 10^8$ e que a mantissa $b$ é um algarismo inteiro positivo ($1 \le b < 10$):

1. a) Justifica que valor deve ter obrigatoriamente a mantissa $b$ para que, ao multiplicar as duas mantissas ($2,5 \cdot b$), o resultado se transforme numa potência exata de $10$.
2. b) Uma vez fixado esse valor de $b$, calcula fundamentadamente o valor do expoente inteiro $n$ mostrando os passos da tua dedução.

Calcule o resultado da seguinte expressão combinada, respeitando a ordem das operações e mostrando os passos intermédios:

$3^3 \cdot \sqrt{64} - [4^2 + (12 - 5 \cdot 2) \cdot 7]$

Um famoso streamer realiza um sorteio de inscrições a cada $14$ dias e uma transmissão em direto especial de perguntas e respostas a cada $21$ dias. Se hoje, segunda-feira, coincidiu ele realizar ambas as atividades, quantos dias devem passar, no mínimo, para que volte a realizar o sorteio e a transmissão em direto no mesmo dia? Que dia da semana será?

No clube de robótica da escola, há $54$ sensores de infravermelhos e $72$ servomotores. Eles querem organizar o material em caixas iguais com o maior número de componentes possível, sem misturar tipos e sem sobrar nada.

1. a) Quantos componentes haverá em cada caixa?
2. b) Quantas caixas de sensores e quantas de servomotores vão obter?

Reduza a uma única potência utilizando as propriedades das potências:

1. a) $(2^5 \cdot 2^3)^2 : 2^{10}$
2. b) $\frac{(3^4)^3 \cdot 9^2}{27^3}$ (Sugestão: exprime primeiro todos os números como potências de base 3)

A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente $149\,600\,000$ quilómetros.

1. a) Expresse essa quantidade em metros utilizando a notação científica.
2. b) Indique qual é a ordem de grandeza dessa distância expressa em metros.

Escreva em notação decimal (forma expandida) os seguintes dados científicos extraídos de uma revista de tecnologia:

1. a) O número de transístores num microprocessador avançado é de $4,5 \cdot 10^9$.
2. b) A velocidade de transferência de um cabo de fibra ótica é de $2,4 \cdot 10^7$ bits por segundo.
3. c) A capacidade de armazenamento de um servidor é de $1,25 \cdot 10^{12}$ bytes.

Um glóbulo vermelho tem um diâmetro aproximado de $7,5 \cdot 10^{-6}$ metros. Se pudéssemos colocar em fila $100$ milhões de glóbulos vermelhos um ao lado do outro, que comprimento total atingiriam? Exprime o resultado final em notação científica e em quilómetros.

Considera o número $N = 3 \cdot 10^a$. Se sabemos que o quadrado desse número é $90\,000$:

1. a) Encontra o valor do expoente $a$.
2. b) Escreve o número $N$ em notação decimal.
3. c) $N$ é um quadrado perfeito? Justifica a tua resposta calculando a sua raiz quadrada.

De acordo com dados publicados pelo Instituto Nacional de Estadística (INE), a população residente em Espanha é de aproximadamente $4,8 \cdot 10^7$ pessoas. Num ano completo, o conjunto das famílias e municípios espanhóis gera cerca de $2,4 \cdot 10^7$ toneladas métricas de resíduos urbanos.

1. a) Sabendo que $1\text{ tonelada} = 10^3\text{ kg}$, escreve em notação científica a quantidade total de resíduos gerados por ano em quilogramas.
2. b) Calcula a quantidade média de resíduos que um habitante espanhol gera num ano (em $\text{kg/habitante}$). Expressa a operação e o resultado em notação científica.
3. c) Considerando o ano com $365$ dias, calcula quantos gramas de lixo produz diariamente uma pessoa, em média, em Espanha. Escreve o resultado final em notação decimal e interpreta se o resultado obtido é coerente com a realidade.

Uma equipa de investigação ambiental recolhe uma amostra de sedimento nos pauis da Reserva Natural do Estuário do Tejo. A análise microscópica determina que existe uma concentração média de $3,8 \cdot 10^8$ microrganismos por cada grama de solo. A massa total da amostra recolhida é de $4,2 \cdot 10^2\text{ gramas}$.

1. a) Estima: Sem usar calculadora nem realizar operações detalhadas no papel, arredonda as mantissas às unidades mais próximas e deduz mentalmente a ordem de grandeza (o expoente da potência de $10$) que terá o total de microrganismos na amostra. Explica brevemente como raciocinaste.
2. b) Calcula: Realiza a multiplicação com todos os seus passos aplicando as propriedades da notação científica e expressa o resultado com a sua mantissa adequada.
3. c) Verifica: Compara a tua estimativa inicial com o resultado exato obtido. A ordem de grandeza coincidiu? Justifica por que razão realizar uma estimativa prévia ajuda a detetar erros de cálculo.

No corpo de um adolescente há aproximadamente $2,5 \cdot 10^{13}$ glóbulos vermelhos. Se cada um destes glóbulos tem um diâmetro de apenas $7 \cdot 10^{-6}$ metros, imagina se fosse possível colocá-los todos em fila, um atrás do outro, formando uma corrente muito longa.

Calcule o comprimento total dessa corrente em quilómetros e expresse o resultado em notação científica. Quantas voltas à Terra essa corrente poderia dar se a circunferência da Linha do Equador mede, aproximadamente, $4 \cdot 10^4$ km?

A distância média da Terra ao Sol é de $1,496 \cdot 10^8$ km, enquanto a distância média de Marte ao Sol é de $2,279 \cdot 10^8$ km. Num dado momento, os três astros encontram-se perfeitamente alinhados, com a Terra situada entre o Sol e Marte.

Calcule a distância que separa a Terra de Marte nesse instante. Expresse o resultado em notação científica e em metros.

Um servidor de uma rede social popular de vídeos recebe a cada segundo uma média de $4,5 \cdot 10^5$ megabytes (MB) de informação.

1. a) Quantos gigabytes (GB) de informação o servidor recebe numa hora? (Lembra-te de que $1$ GB = $10^3$ MB).
2. b) Se o servidor tem uma capacidade total de armazenamento de $1,2 \cdot 10^9$ GB, quantos dias levaria a encher completamente se nenhum dado fosse apagado? Expressa o resultado final arredondado às unidades.

Em química, sabe-se que um mol de qualquer substância contém $6,022 \cdot 10^{23}$ moléculas (Número de Avogadro). Se temos um depósito que contém $2,5 \cdot 10^2$ mols de água e sabemos que a massa de uma única molécula de água é, aproximadamente, $3 \cdot 10^{-23}$ gramas:

1. a) Calcule o número total de moléculas de água no depósito.
2. b) Calcule a massa total da água no depósito em quilogramas. Expresse ambos os resultados em notação científica.

A luz viaja a uma velocidade constante de $3 \cdot 10^8$ metros por segundo. Um processador de última geração realiza uma operação básica a cada $0,5$ nanossegundos (um nanossegundo é $10^{-9}$ segundos).

Que distância a luz percorre no tempo exato que o processador leva para realizar uma única operação? Exprime o resultado em milímetros e em notação científica.

Uma central elétrica produz anualmente $2,8 \cdot 10^{10}$ quilowatts-hora (kWh). Numa cidade, há $5 \cdot 10^5$ residências, e cada residência consome em média $3,5 \cdot 10^3$ kWh por ano.

Calcule quanta energia sobra depois de abastecer toda a cidade. Exprima o resultado em notação científica e reflita: esta energia restante poderia abastecer outra cidade de $2 \cdot 10^5$ residências com o mesmo consumo médio? Justifique a resposta realizando os cálculos necessários.

Se esticássemos todo o ADN de uma única célula humana, ele mediria aproximadamente $2 \cdot 10^0$ metros (ou seja, 2 metros). O corpo humano tem cerca de $3,7 \cdot 10^{13}$ células.

1. a) Qual seria o comprimento total de todo o ADN de uma pessoa se pudéssemos uni-lo? Expresse-o em quilómetros e em notação científica.
2. b) Sabendo que a distância da Terra à Lua é de $3,84 \cdot 10^5$ km, quantas vezes poderíamos ir e voltar à Lua com todo esse ADN?

Ordena os seguintes valores do menor para o maior, mas, antes de o fazeres, expressa-os todos como um número decimal "normal" (notação padrão) para comparares a tua precisão:

• $A = 345 \cdot 10^6$

• $B = 0,034 \cdot 10^{10}$

• $C = 3,5 \cdot 10^8$

• $D = 3,400 \cdot 10^5$

Depois de ordenados, realiza a seguinte operação e expressa o resultado final em notação científica: $\frac{A + C}{D}$. (Nota: tem muito cuidado com os expoentes ao somar).

Numa aula de 2.º de ESO propõe-se calcular o resultado da seguinte subtração: $R = 3,2 \cdot 10^{14} - 7,5 \cdot 10^{11}$. Dois estudantes defendem estratégias diferentes:

• O Sergio diz: «Eu prefiro escrever os dois números com todos os seus algarismos e zeros no sistema decimal tradicional, colocar um por baixo do outro, subtrair e depois voltar a passar o resultado para notação científica».

• A Lucía responde: «Isso é muito arriscado. É muito melhor igualar os expoentes em notação científica transformando um dos termos para poder colocar em evidência a potência de $10$ e subtrair apenas as mantissas».

1. a) Analisa os inconvenientes e riscos de cálculo que o método do Sergio apresenta neste caso concreto, indicando quantos zeros teria de escrever para cada número.
2. b) Aplica o método da Lucía passo a passo: iguala os expoentes ao maior deles ($10^{14}$), efetua a subtração e indica a solução em notação científica correta.
3. c) Descreve em que situação particular de uma adição ou subtração seria razoável aplicar o método do Sergio e apresenta um exemplo numérico com potências de $10$ que o justifique.

Num observatório astronómico são analisados dois corpos celestes, $X$ e $Y$, cujas massas estimadas são dadas por $M_X = 4,8 \cdot 10^k\text{ kg}$ e $M_Y = 1,6 \cdot 10^{k-2}\text{ kg}$, onde $k$ é um número inteiro positivo do qual se sabe que é maior do que $5$.

1. a) Sem conhecer o valor numérico concreto de $k$, calcula quantas vezes o corpo $X$ é mais massivo do que o corpo $Y$. Justifica detalhadamente por que razão o resultado obtido é independente do valor de $k$.
2. b) Se ambos os corpos colidissem e ficassem fundidos formando um único objeto de massa $M_T = M_X + M_Y$, calcula essa massa combinada expressa em notação científica em função de $k$ (com a sua mantissa corretamente compreendida entre $1$ e $10$).
3. c) Se os astrónomos afirmam que a massa combinada $M_T$ é estritamente menor do que $10^{19}\text{ kg}$, descobre qual é o maior valor inteiro possível que o expoente $k$ pode tomar. Fundamenta a tua dedução utilizando uma desigualdade.