Exercícios: Estudo das retas

Um grupo de amigos está a projetar um novo logótipo para o seu clube de videojogos num papel quadriculado. Escreve as coordenadas dos pontos destacados no gráfico que formam os vértices do projeto.

Para que um gráfico represente uma função, a cada valor da variável independente $x$ deve corresponder um único valor da variável dependente $y$. Observa os seguintes gráficos e indica, justificando, qual deles não é uma função. Para o justificares, imagina retas verticais que percorrem cada gráfico e repara em quantos pontos o intersetam.

Um novo serviço de streaming de música oferece uma subscrição que custa $3 \text{ €}$ por cada mês contratado.

• a) Complete a seguinte tabela de valores que relaciona o tempo em meses ($x$) com o custo total ($y$):

Meses ($x$)	1	2	3	4	5
Custo (€) ($y$)	$3$

• b) Escreva a equação da função de proporcionalidade direta que representa esta situação.

Dada a função linear $y = -2x$, indique de forma justificada:

• a) Qual é o valor do seu declive ($m$)?

• b) A função é crescente ou decrescente?

• c) O gráfico passa pela origem das coordenadas $(0, 0)$?

Encontra o declive ($m$) e a ordenada na origem ($n$) da reta representada no gráfico a seguir. Em seguida, escreve a sua equação na forma $y = mx + n$.

Um parque de estacionamento de bicicletas no centro da cidade cobra uma tarifa fixa de $2 \text{ €}$ por dia, independentemente de quantas horas deixes a bicicleta estacionada.

• a) Representa esta situação por meio de uma tabela de valores (horas vs custo).

• b) Que tipo de função é: linear, afim ou constante?

• c) Qual seria a sua equação?

O aluguer de um trotinete elétrico tem um custo de $1 \text{ €}$ pelo desbloqueio inicial e $0,5 \text{ €}$ por cada minuto de utilização. A função que relaciona o custo ($y$) com o tempo em minutos ($x$) é $y = 0,5x + 1$.

Calcule quanto custará uma viagem que dure $10$ minutos.

Observe o gráfico a seguir que mostra o percurso de uma pessoa que caminha a velocidade constante. Indique se a relação entre a distância percorrida e o tempo é de proporcionalidade direta e calcule a sua constante de proporcionalidade (o declive).

Duas empresas de aluguer de trotinetes elétricas têm tarifas diferentes. A empresa EcoRolling cobra $0,20\ €$ por cada minuto de utilização sem taxa fixa. A empresa FastGlide cobra uma taxa fixa de $2\ €$ por desbloquear a trotinete e depois $0,10\ €$ por cada minuto. No gráfico estão representadas as duas tarifas.

1. a) Escreve a função que relaciona o custo total ($y$) com o tempo de utilização em minutos ($x$) para cada uma das empresas.

1. b) Indica qual das duas é uma função de proporcionalidade direta (linear) e qual é uma função afim.

1. c) A partir de quantos minutos de percurso começa a ser mais barata a opção da FastGlide?

Observa o gráfico de uma função afim. Cada quadrado da quadrícula mede 1 unidade em cada eixo.

Realiza os seguintes passos:

1. a) Identifica visualmente a ordenada na origem ($n$), isto é, o valor de $y$ no ponto onde a reta corta o eixo vertical.

1. b) Calcula o declive ($m$) utilizando dois pontos da reta que estejam exatamente sobre cruzamentos da quadrícula (os pontos marcados a laranja podem servir-te).

1. c) Escreve a equação explícita da reta da forma $y = mx + n$.

Determine a equação da reta que passa pelos pontos $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$. Para isso:

1. Calcule primeiro o declive $m$ por meio da fórmula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

2. Substitua o declive e um dos pontos na equação $y = mx + n$ para encontrar o valor de $n$.

3. Escreva a equação final e diga se a função é crescente ou decrescente, justificando a sua resposta de acordo com o valor do declive.

Um drone encontra-se inicialmente a uma altura de $40$ metros. Ao premir o botão de "regresso à base", o drone começa a descer de forma constante a uma velocidade de $4$ metros por segundo. A figura mostra apenas o início da descida.

1. a) Define as variáveis independente e dependente deste problema.

1. b) Escreve a equação da função que relaciona a altura do drone ($y$) com o tempo decorrido ($x$) desde que se premiu o botão.

1. c) Qual é a altura do drone passados $6$ segundos? Quanto tempo demora a aterrar totalmente (altura $0$)?

Determine a equação da reta que cumpre as seguintes duas condições:

• É paralela à reta $y = -3x + 5$.

• Passa pelo ponto $P(0, 4)$.

Explique que característica duas retas devem partilhar para serem paralelas e como utilizou o ponto $P$ para encontrar a ordenada na origem.

Associa cada uma das seguintes equações de retas à sua descrição correspondente:

1. $y = 3$

2. $x = -2$

3. $y = 3x$

4. $y = -x + 3$

A) Reta que passa pela origem e tem declive positivo.

B) Função constante que representa uma linha horizontal.

C) Reta com declive negativo e ordenada na origem igual a $3$.

D) Linha vertical que não representa uma função.

A Kénia está a poupar dinheiro num mealheiro. Inicialmente tem $15\ €$ e, em cada semana, decide colocar $2,50\ €$ da sua mesada.

1. a) Complete a seguinte tabela de valores:

Semanas ($x$)	$0$	$1$	$2$	$4$	$10$
Dinheiro poupado ($y$)	$15$

1. b) Escreva a equação da função.
2. c) Se a Kénia quer comprar uma consola de videojogos que custa $55\ €$, quantas semanas terá de esperar de acordo com esta função?

Desenha nos mesmos eixos coordenados os gráficos das funções $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$.

1. a) Que relação geométrica observas entre as duas retas?

1. b) Justifica a tua resposta anterior comparando as suas equações.

1. c) Estas duas retas cortar-se-ão nalgum ponto? Justifica a tua resposta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um criador de conteúdos digitais analisou o crescimento dos seus seguidores. Durante o primeiro mês, o seu crescimento seguiu uma função afim que passava pelos pontos $A(2, 500)$ e $B(5, 1250)$, onde $x$ é o dia do mês e $y$ o número de seguidores. No entanto, a partir do dia 15, devido a um vídeo viral, o seu crescimento passou a ser outra função afim paralela à anterior, mas que no dia $x = 16$ já alcançava $5000$ seguidores.

a) Determine a equação da função afim do primeiro troço (dias 1 a 15).

b) Determine a equação da nova função a partir do dia 15.

c) Quantos seguidores tinha no dia 20, segundo essa segunda função?

Numa competição de drones, o "Drone A" segue uma trajetória retilínea representada pela função $y = \frac{3}{2}x + 2$. Quer-se lançar um "Drone B" cuja trajetória seja uma linha reta paralela à do "Drone A", mas que passe obrigatoriamente pelo ponto onde se encontra um sinalizador situado nas coordenadas $P(-4, -1)$.

a) Determine a equação da função afim que descreve a trajetória do "Drone B".

b) Em que ponto a trajetória do "Drone B" cortará o eixo das ordenadas (eixo $Y$)?

c) Represente graficamente ambas as trajetórias e indique se alguma delas é uma função de proporcionalidade direta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Duas empresas de fibra ótica oferecem as seguintes tarifas mensais:

• NetRápido: $20$ € fixos por mês mais $0,50$ € por cada GB de descarga extra.

• FibraTotal: Sem custo fixo, mas cobra $1,30$ € por cada GB de descarga.

a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo mensal ($y$) com os GB extra ($x$) para cada empresa.

b) A partir de quantos GB de descarga extra começa a ser mais vantajosa a empresa NetRápido? (Encontre o ponto de interseção de ambas as retas).

c) Se num mês consumir $30$ GB extra, qual é a diferença de preço entre as duas?

Determina a equação da reta $r$ que cumpre simultaneamente as seguintes condições:

1. É decrescente.

2. O seu declive é o dobro (em valor absoluto) do declive da reta que passa pelos pontos $C(0, 1)$ e $D(2, 2)$.

3. Passa pelo ponto de interseção das retas $y = 2x - 5$ e $y = 3$.

a) Calcula primeiro o declive da reta que passa por $C$ e $D$.

b) Determina o ponto de interseção mencionado na condição 3.

c) Escreve a equação final da reta $r$.

A bateria de um computador portátil descarrega de forma linear. Às 10:00 da manhã, a bateria estava em $90\%$. Às 12:30 da manhã, o nível tinha caído para $45\%$.

a) Se chamarmos $x$ ao tempo decorrido em horas desde as 10:00, determina a equação da função que nos dá a percentagem de bateria restante.

b) Qual é o declive da função? Explica o seu significado neste contexto realista.

c) A que horas exatas se esgotará por completo a bateria se o consumo continuar o mesmo?

Sabe-se que uma função afim tem como representação gráfica uma reta que passa pelo ponto $A(3, -2)$. Além disso, sabemos que essa reta forma um triângulo com os eixos coordenados cuja área é de $4$ unidades quadradas, e a sua ordenada na origem é um número inteiro positivo.

a) Determine o valor da ordenada na origem ($n$).

b) Calcule o declive ($m$) da reta.

c) Escreva a equação da reta e verifique que o ponto $A$ pertence a ela.

Dadas as funções $f(x) = ax + 3$ e $g(x) = -2x + b$:

a) Se ambas as retas são paralelas e a reta $g(x)$ passa pelo ponto $P(1, 4)$, calcule os valores de $a$ e $b$.

b) Uma vez encontrados $a$ e $b$, calcule o ponto onde a reta $f(x)$ corta o eixo das abcissas (eixo $X$).

c) Alguma dessas funções é uma função constante? Justifique a sua resposta.

Um depósito de água de $1000$ litros tem uma fuga. A cada hora que passa, o volume de água diminui numa quantidade constante. Passadas $3$ horas desde que se detetou a fuga, restam $850$ litros.

a) Determina a equação da função afim que relaciona o tempo decorrido ($x$) com o volume de água no depósito ($y$).

b) Se a fuga não for reparada, quanta água restará às $10$ horas?

c) Representa a função num referencial como o da figura e indica o domínio e o contradomínio da função, tendo em conta o contexto físico do problema (o tempo não pode ser negativo e o volume não pode ser inferior a zero).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.